摘 要：UbD理論強(qiáng)調(diào)有效理解、合理評(píng)估和有意義學(xué)習(xí). 它以預(yù)期結(jié)果為起點(diǎn)，評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)先于學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)，指向目標(biāo)的達(dá)成. 以“平面直角坐標(biāo)系”單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述如何運(yùn)用UbD理論明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果、確定合適的評(píng)估證據(jù)、設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，凸顯單元教學(xué)的整體意義，助力教學(xué)目標(biāo)清晰化、評(píng)估方式可視化、素材選取多元化和核心素養(yǎng)操作化.

關(guān)鍵詞：UbD理論；教學(xué)設(shè)計(jì)；平面直角坐標(biāo)系

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）08-0022-06

引用格式：王勤，余慶純. 基于UbD理論的單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐：以“平面直角坐標(biāo)系”單元為例［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（8）：22-27.

一、引言

“Understanding by Design”（以下簡稱“UbD”）是由美國課程專家格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰于1998年創(chuàng)立的，逐漸形成了完善的教學(xué)設(shè)計(jì)方法. 其主要觀點(diǎn)為理解才是教學(xué)的真正目的，基于理解的課程設(shè)計(jì)才能幫助學(xué)生習(xí)得各個(gè)學(xué)科的關(guān)鍵概念和要素. 同時(shí)，提出了理解有解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入和自知六個(gè)側(cè)面. UbD理論提供了清晰的“逆向設(shè)計(jì)”框架，即從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，先設(shè)置相應(yīng)的評(píng)估方式，再安排相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì). 這樣的先后順序有效確保了整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)始終圍繞學(xué)科的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和遷移.

本研究旨在探討如何IdlEyKqwDocWby9Ec7qP1g==在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效融入U(xiǎn)bD理論. 以“平面直角坐標(biāo)系”單元為例，通過呈現(xiàn)具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，展示如何明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果、制定合適的評(píng)估證據(jù)、設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，驗(yàn)證UbD理論的有效性，并探索其在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值. 希望通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的提煉過程，結(jié)合弗賴登塔爾所言的數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，在具體問題情境中，通過讓學(xué)生開展動(dòng)手操作、實(shí)踐、參與、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，落實(shí)“理解”的教學(xué)目標(biāo).

二、基于UbD理論的教學(xué)設(shè)計(jì)框架

UbD理論提供了一個(gè)設(shè)計(jì)框架，分為三個(gè)階段（如圖1）. 第一階段為明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果或教學(xué)目標(biāo)，提煉學(xué)生應(yīng)該思考的基本問題，厘清學(xué)生應(yīng)該掌握的知識(shí)和技能，以及獲得什么樣的長期遷移目標(biāo). 第二階段為評(píng)估學(xué)生是否理解了核心概念和學(xué)習(xí)遷移，以什么樣的證據(jù)來檢驗(yàn)第一階段的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果，以什么樣的方式讓學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)與有效反饋. 第三階段為解讀教學(xué)內(nèi)容，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng). 基于UbD理論的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以將課程標(biāo)準(zhǔn)與單元教學(xué)目標(biāo)、基本問題和期望掌握的知識(shí)技能遷移相掛鉤，并且將目標(biāo)轉(zhuǎn)變第二階段的基本評(píng)估要求. 基于UbD理論的教學(xué)設(shè)計(jì)比通常的教學(xué)設(shè)計(jì)目的性更強(qiáng)、目標(biāo)更清晰，同時(shí)提出了更恰當(dāng)?shù)脑u(píng)估方法，對(duì)達(dá)成教育的首要目的（學(xué)習(xí)遷移）更為有效.

三、研究設(shè)計(jì)

下面以“平面直角坐標(biāo)系”單元的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，回答如何評(píng)、學(xué)、教，達(dá)成理解為先、評(píng)價(jià)為先的設(shè)計(jì).

1. 明確預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果

這一環(huán)節(jié)具有導(dǎo)向性作用. 教師要確定預(yù)期的知識(shí)和技能，核心概念和基本問題，以及理解和遷移.

（1）預(yù)期的知識(shí)和技能.

為保證學(xué)習(xí)結(jié)果的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性，依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）確定預(yù)期的知識(shí)目標(biāo)和技能目標(biāo).

預(yù)期的知識(shí)：平面上物體位置的表示方法和步驟，平面直角坐標(biāo)系及橫、縱軸的概念，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的位置表示方法和步驟，四個(gè)象限及各個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符號(hào)特征，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)學(xué)家笛卡兒的生平及其在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn).

預(yù)期的技能：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎酒矫嫔衔矬w的位置；會(huì)畫平面直角坐標(biāo)系；在給定的平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)的位置寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)畫出點(diǎn)的位置；根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的長度單位、原點(diǎn)的實(shí)際意義解決簡單的實(shí)際問題；根據(jù)所要表示的簡單幾何圖形，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，寫出幾何圖形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)用坐標(biāo)刻畫一個(gè)簡單的幾何圖形；會(huì)用坐標(biāo)、描點(diǎn)、連線的方法在平面直角坐標(biāo)系中作出簡單的幾何圖形.

（2）確定核心概念和基本問題.

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的要求對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步篩選，確定最核心、最需要持久理解的核心概念和基本問題. 本單元需要學(xué)生理解的核心概念是“位置”，即在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如何通過代數(shù)特征刻畫和體現(xiàn)點(diǎn)的“位置”.“位置”是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容. 平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是抽象的、非直觀的，需要我們?nèi)ソ沂? 研究“位置”有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和潛能. 由此可以確立本單元研究的基本問題是：如何描述平面上的點(diǎn)的位置？在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)與位置是否唯一確定呢？如何表示特殊位置的點(diǎn)？通過讓學(xué)生持續(xù)思考和探究基本問題，尋找答案加以論證，加深學(xué)生對(duì)“位置”的理解，促進(jìn)理解性學(xué)習(xí)的發(fā)生.

（3）預(yù)期的理解和遷移.

遷移是指學(xué)習(xí)者能夠高效地、獨(dú)立地從知識(shí)庫中提取需要的經(jīng)驗(yàn)，再加以運(yùn)用，從而應(yīng)對(duì)新的困境. 檢測學(xué)習(xí)者是否真正獲得理解，主要觀察其能否成功遷移所學(xué).

預(yù)期的理解：確定平面上物體位置的方法，平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)和位置之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

預(yù)期的遷移：學(xué)生能將生活中表示物體的位置的方法遷移到平面內(nèi)點(diǎn)的位置的表示；能將數(shù)軸上用數(shù)表示點(diǎn)的位置的方法遷移到平面內(nèi)通過建立平面直角坐標(biāo)系，用有序數(shù)對(duì)表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置；能將數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系遷移到平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；能將一維直線上用一個(gè)數(shù)表示的點(diǎn)遷移到二維平面上用一對(duì)有序數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)，甚至能推導(dǎo)出對(duì)三維乃至多維空間上的點(diǎn)用三個(gè)乃至多個(gè)有序數(shù)組表示.

在此階段，掌握知識(shí)和技能是實(shí)現(xiàn)理解目標(biāo)的手段，核心問題是達(dá)到理解意義和遷移知識(shí)和技能的關(guān)鍵.

2. 確定合適的評(píng)估證據(jù)

設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)之前，教師要先確定能夠證明學(xué)生已經(jīng)獲得了知識(shí)理解的有效證據(jù)，利用這些評(píng)估反饋了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)一步指導(dǎo)自身的教學(xué). 這與布盧姆強(qiáng)調(diào)要將課程目標(biāo)和課程評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)相結(jié)合的要求一致，且更具操作性. 在此階段，教師需要完成以下兩項(xiàng)任務(wù)：選擇合適的評(píng)估方式，開發(fā)理解所需的評(píng)估證據(jù).

除了傳統(tǒng)的紙筆測試外，評(píng)估方式還包括表現(xiàn)性任務(wù)和理解“六側(cè)面”的證據(jù).

（1）表現(xiàn)性任務(wù).

表現(xiàn)性任務(wù)包括以下幾點(diǎn).

① 描述出實(shí)際物體的位置：在城市中某區(qū)域的局部示意圖中，借助刻度尺、量角器，測量、計(jì)算后表示出某一地點(diǎn)相對(duì)于參照點(diǎn)的位置.

② 梳理坐標(biāo)系發(fā)展的時(shí)間線：梳理平面直角坐標(biāo)系的發(fā)展史，并將重要研究成果和人物表示在相應(yīng)的時(shí)間軸上.

③ 畫平面直角坐標(biāo)系：給簡單幾何圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，會(huì)根據(jù)所要表示的圖形建立適合的平面直角坐標(biāo)系，并用坐標(biāo)表示圖形上的點(diǎn).

④ 解決實(shí)際問題：會(huì)利用坐標(biāo)預(yù)測某城市是否在臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的主要路徑上；會(huì)根據(jù)藏寶圖提供的線索探究原點(diǎn)的位置，找到寶藏地點(diǎn).

（2）理解“六側(cè)面”.

確定理解性目標(biāo)的有效證據(jù)，就是運(yùn)用理解的六個(gè)維度來開發(fā)評(píng)估證據(jù)，即解釋、闡明、應(yīng)用、洞察、神入和自知.

① 解釋.

學(xué)生能夠通過歸納或推理，系統(tǒng)、合理地解釋現(xiàn)象、事實(shí)和數(shù)據(jù). 例如，對(duì)于“如圖2，你能描述黑板上（圖2中的邊框）點(diǎn)A的位置嗎？”之類的引導(dǎo)性問題，至少能夠用一種方法表示出點(diǎn)A的位置，并且能夠解釋這種表示的方法和步驟. 對(duì)于“若圖2中的點(diǎn)A并非正好落在格點(diǎn)上，又該如何表示？”之類的追問，至少能夠創(chuàng)造出一種方法，如區(qū)域定位法、量出點(diǎn)A距離黑板相鄰兩邊的距離、經(jīng)緯度法等，能解釋“有序”的含義，結(jié)合圖象指出點(diǎn)[4，3]和點(diǎn)[3，4]表示不同的位置.

② 闡明.

學(xué)生能夠用自己的語言從客觀或自己的角度來揭示事物的含義. 例如，在教師提出的問題串的引導(dǎo)下，使學(xué)生想到再引入一條數(shù)軸，使兩條數(shù)軸互相垂直且有公共原點(diǎn)，類比表示物體的位置的行列式法建立平面直角坐標(biāo)系，使學(xué)生能清晰地闡明以下觀點(diǎn)：當(dāng)一維數(shù)軸上的實(shí)數(shù)無法表示二維平面上的點(diǎn)的位置時(shí)，需要重新建立一個(gè)表示平面上的點(diǎn)的位置的方法和規(guī)則.

③ 應(yīng)用.

學(xué)生能夠?qū)⒅R(shí)遷移到實(shí)際情境中. 在確定物體位置的方法時(shí)，學(xué)生能找出生活中確定物體位置方法的實(shí)例，如電影院中座位的尋找、某景點(diǎn)的GPS定位、雷達(dá)定位某飛行物、棋譜記錄方式等，體會(huì)表示平面上物體的位置時(shí)需要兩個(gè)數(shù)據(jù). 學(xué)生能夠獨(dú)立且正確地完成相關(guān)的課內(nèi)練習(xí)；能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置，根據(jù)點(diǎn)的位置寫出該點(diǎn)的坐標(biāo)；會(huì)根據(jù)圖象判定點(diǎn)在某個(gè)區(qū)域的內(nèi)部還是外部；能根據(jù)某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)推導(dǎo)出原點(diǎn)的位置，從而推得其他點(diǎn)的位置. 例如，如圖3，根據(jù)藏寶地圖中兩塊巨石A，B在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是[2，4]和[8，1]，探究原點(diǎn)的位置，找到寶藏[6，5]所在地點(diǎn). 又如，給出某個(gè)零件的圖紙，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系等.

④ 洞察.

學(xué)TAuhhVE8d3HJgtr/rq6rsr/ev56yOQ1z5y2xnifY3NU=生能夠批判性地看待或聽取想法和觀點(diǎn)，能夠從整體上認(rèn)識(shí)并理解事物的本質(zhì)，能夠運(yùn)用多種不同的方式來分析問題，并從多個(gè)角度用不同的方法加以解決. 例如，理解位置一定是指兩個(gè)元素之間的相互關(guān)系，平面上的點(diǎn)的位置表示方法的共同特點(diǎn)是都找了一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，都需要用兩個(gè)數(shù)據(jù)來表示. 上述這些表示方法的一般步驟為：找基準(zhǔn)點(diǎn)—選方法—測量—表示點(diǎn). 理解抽象的意義，知道生活中物體位置的表示即可抽象為平面上點(diǎn)的位置的表示，可以用一對(duì)有序數(shù)對(duì)或方位距離來表示. 其中，有序數(shù)對(duì)法對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系，方位距離法對(duì)應(yīng)后面將要學(xué)習(xí)的極坐標(biāo)系. 理解在同一平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)具有共同的代數(shù)特征，在兩個(gè)不同區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的代數(shù)特征具有差異. 例如，四個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，x軸、y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平面上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離與坐標(biāo)的關(guān)系特征，發(fā)現(xiàn)給平面圖形建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)原點(diǎn)放在適當(dāng)?shù)奈恢每梢宰寛D形頂點(diǎn)的表示相對(duì)簡潔.

⑤ 神入.

學(xué)生能夠從他人的角度看待問題，既能夠深切體會(huì)他人的情感，又能夠很好地控制自身的情緒. 例如，閱讀笛卡兒的生平介紹材料，聆聽笛卡兒的故事，體會(huì)笛卡兒創(chuàng)立的坐標(biāo)思想對(duì)數(shù)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)；嘗試在幾何畫板軟件中操作心形線畫法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；在了解平面直角坐標(biāo)系的發(fā)展史后，體會(huì)平面直角坐標(biāo)系曲折的發(fā)展歷程，與古代數(shù)學(xué)家的思想產(chǎn)生共鳴，從而體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的意義，領(lǐng)悟坐標(biāo)思想及數(shù)形結(jié)合思想.

⑥ 自知.

學(xué)生能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行自我評(píng)估，并能夠意識(shí)到個(gè)人的探究風(fēng)格、思維習(xí)慣和未經(jīng)檢驗(yàn)的想法對(duì)理解可能帶來的影響. 例如，學(xué)生通過交流共享學(xué)習(xí)成果，練習(xí)糾錯(cuò)，填寫學(xué)習(xí)目標(biāo)自主評(píng)定表，了解自己在理解平面直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)的過程中所出現(xiàn)的思維困惑.

上述評(píng)價(jià)證據(jù)不是孤立存在的，而是滲透在教學(xué)設(shè)計(jì)的全過程中. 評(píng)價(jià)證據(jù)可以指向?qū)W習(xí)結(jié)果并引導(dǎo)教學(xué)活動(dòng)，是一種在教學(xué)過程中查找存在的問題、提供反饋信息、及時(shí)修改及提高實(shí)踐質(zhì)量的評(píng)價(jià). 同時(shí)，幫助教師利用評(píng)價(jià)的結(jié)果改善尚未成功但有補(bǔ)救機(jī)會(huì)的教學(xué).

3. 設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)

本階段從找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)、分析相關(guān)史料為出發(fā)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵性思考，組織有效的學(xué)習(xí)活動(dòng).

（1）把握認(rèn)知起點(diǎn).

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)會(huì)描述物體的相對(duì)位置，初步感悟到坐標(biāo)思想. 學(xué)生在七年級(jí)學(xué)習(xí)了數(shù)系擴(kuò)充和數(shù)軸，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng). 但學(xué)生在認(rèn)知從一維數(shù)軸過渡到二維平面直角坐標(biāo)系，以及在理解平面直角坐標(biāo)系的必要性和平面內(nèi)點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)方面，均有一定困難. 因此，在知識(shí)層面上，雖然學(xué)生知道確定物體位置的兩種基本方法，但其坐標(biāo)意識(shí)模糊，對(duì)兩類確定物體位置的方法（有序數(shù)對(duì)法、方位角度法）的認(rèn)識(shí)淺顯，定位步驟（設(shè)參、選法、測量、描述）模糊. 在能力層面上，雖然學(xué)生能用有序數(shù)對(duì)來表示位置，能在方格紙上用有序數(shù)對(duì)確定位置，但對(duì)這兩種方法的形成體驗(yàn)不深刻，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)尚淺，坐標(biāo)思想尚未形成.

（2）探尋知識(shí)源流.

平面直角坐標(biāo)系源于軌跡問題的研究，與解析幾何的產(chǎn)生密切相關(guān). 公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家們在研究軌跡問題時(shí)常用兩條參照線，類似于今天所說的坐標(biāo)軸（如圖4），其中一條參照線是長軸AB，另一條參照線是圓錐曲線在長軸一個(gè)端點(diǎn)處的切線（AC或BC）. 在17世紀(jì)前葉，費(fèi)馬結(jié)合韋達(dá)的代數(shù)方法繼續(xù)研究古希臘數(shù)學(xué)家們尚未解決的軌跡問題，提出并使用了坐標(biāo)系的概念，建立了只含一條軸（射線OZ）的坐標(biāo)系（如圖5），并指出對(duì)于任意一條曲線，曲線上的點(diǎn)J在平面上的位置可以由a，e來確定. 其中，a為點(diǎn)O到點(diǎn)Z的距離，e為點(diǎn)Z到點(diǎn)J的距離，該坐標(biāo)相當(dāng)于后來所說的斜坐標(biāo). 雖然費(fèi)馬提出的坐標(biāo)系中并未明確出現(xiàn)y軸，也沒有使用負(fù)數(shù)，但他將二元代數(shù)方程與幾何曲線對(duì)應(yīng)起來，成為解析幾何的發(fā)明者之一. 1637年，笛卡兒在研究古希臘圓錐曲線問題時(shí)，選定一條線AG作為基線，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AP的長為x，記PC的長為y（如圖6）. 笛卡兒解決了包含兩個(gè)未知長度的圖形軌跡問題. 這個(gè)坐標(biāo)系，我們現(xiàn)在叫作斜坐標(biāo)系. 18世紀(jì)時(shí)，數(shù)學(xué)家逐漸開始使用雙軸，但普遍采用斜坐標(biāo)系，后又經(jīng)過漫長的過程，才采用直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)、縱坐標(biāo)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨首先使用的，“橫坐標(biāo)”一詞則一直到18世紀(jì)才由德國數(shù)學(xué)家沃爾夫首次引進(jìn). 到19世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)家們普遍采用了直角坐標(biāo)系的說法.

坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁. 它使得幾何問題可以用代數(shù)方法來描述，代數(shù)問題可以借助幾何圖形來解決，由此形成了數(shù)形結(jié)合思想方法.

（3）學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì).

學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)建立在學(xué)習(xí)目標(biāo)和評(píng)估證據(jù)的基礎(chǔ)上，需要整體構(gòu)思學(xué)習(xí)內(nèi)容、活動(dòng)、作業(yè)和學(xué)習(xí)體驗(yàn). 按照以下順序進(jìn)行.

① 情境引入.

以科幻視頻《三體》中的“坐標(biāo)”概念作為引入情境，激發(fā)學(xué)生探究表示物體位置的興趣，幫助他們體會(huì)生活中有確定位置的實(shí)際需求.

② 合作探究.

對(duì)于圖2中點(diǎn)A的位置，通過小組合作探究的形式，讓學(xué)生理解平面上物體位置的表示方法及“有序數(shù)對(duì)”的概念.

③ 史海泛舟.

了解古巴比倫人和古代中國人用“黃道坐標(biāo)系”來確定夜空中星座的位置，了解亞歷山大的緯度法，克羅狄斯 · 托勒密的經(jīng)緯度法，以及費(fèi)馬、笛卡兒、牛頓和伯努利分別將有序數(shù)對(duì)法和方位距離法進(jìn)一步深入研究和應(yīng)用，創(chuàng)立了平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系. 通過以上史料，使學(xué)生理解平面上確定物體的位置常用的兩種方法及共同特征，體驗(yàn)古代數(shù)學(xué)家的智慧，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究興趣和信心，讓學(xué)生由模糊到精確地切身體驗(yàn)確定物體位置的方法的過程.

④ 新知建構(gòu).

學(xué)生通過類比平面上確定物體位置的方法，感悟建立平面直角坐標(biāo)系的必要性，經(jīng)歷平面直角坐標(biāo)系產(chǎn)生的過程，理解有序數(shù)對(duì)法與方位距離法的聯(lián)系和區(qū)別. 通過了解平面直角坐標(biāo)系的發(fā)展歷史、坐標(biāo)系的種類、象限譯名與《易經(jīng)》的聯(lián)系，豐富相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，了解數(shù)學(xué)概念發(fā)展的艱辛歷程，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和興趣.

⑤ 新知應(yīng)用.

通過課堂練習(xí)讓學(xué)生先練后評(píng)，先獨(dú)立思考后小組交流，再運(yùn)用新知，讓學(xué)生掌握用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置的方法，根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)，探究特殊點(diǎn)的坐標(biāo)與位置之間的關(guān)系，歸納四個(gè)象限及橫、縱軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征. 通過讓學(xué)生給簡單的幾何圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使其體會(huì)“以數(shù)解形”，通過坐標(biāo)、描點(diǎn)、連線的方法在平面直角坐標(biāo)系中作出簡單的幾何圖形，讓學(xué)生體會(huì)“以形助數(shù)”. 因此，數(shù)形結(jié)合思想是平面直角坐標(biāo)系的根本意義所在.

⑥ 歸納提升.

引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)的思想方法，歸納特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，以及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離的概念.

⑦ 課外拓展.

通過復(fù)習(xí)鞏固并且呈現(xiàn)與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的數(shù)學(xué)史中的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步了解關(guān)于平面直角坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)史. 通過藏寶圖中寶藏位置的揭秘，讓學(xué)生學(xué)會(huì)建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系的方法，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想. 從笛卡兒的生平故事中感悟數(shù)學(xué)家偉大的數(shù)學(xué)精神，再次體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，從實(shí)際問題的解決中發(fā)展學(xué)生的坐標(biāo)意識(shí).

四、結(jié)語

一方面，UbD理論強(qiáng)調(diào)“以終為始”，即從學(xué)生的預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果出發(fā)，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)和評(píng)估方法，使單元教學(xué)目標(biāo)更明確，有助于教師提前判斷學(xué)生的理解水平，并據(jù)此調(diào)整教學(xué)活動(dòng)，以提高教學(xué)效率. 評(píng)估的優(yōu)先性既使預(yù)期結(jié)果和教學(xué)體驗(yàn)之間產(chǎn)生一致性，也使教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生能力之間的差距能夠及時(shí)彌補(bǔ).

另一方面，UbD理論強(qiáng)調(diào)關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)和多元素材的結(jié)合. 教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要基于教材，還需結(jié)合數(shù)學(xué)史和實(shí)際問題，使教學(xué)內(nèi)容更具深度. 通過挖掘數(shù)學(xué)史料中的核心概念及其演變過程，教師能夠?yàn)閷W(xué)生設(shè)計(jì)更真實(shí)的問題情境，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解和應(yīng)用.

總體而言，基于UbD理論的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅提升了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，也增強(qiáng)了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力. 通過精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生能夠在不同的情境中靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移. 這一過程不僅是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)的全面提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］威金斯，麥克泰格. 追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)：第二版［M］. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學(xué)出版社， 2017.

［2］麥克泰，威金斯. 理解為先單元教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例：教師專業(yè)發(fā)展工具書［M］. 盛群力，張恩銘，王陳爍，等譯. 寧波：寧波出版社，2020.

［3］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［4］威金斯，麥克泰. 理解為先模式：單元教學(xué)設(shè)計(jì)指南（一）［M］. 盛群力，沈祖蕓，柳豐，等譯. 福州：福建教育出版社，2018.

［5］季洪旭. 單元教學(xué)探索：基于理解的逆向教學(xué)設(shè)計(jì)案例［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

［6］汪曉勤，柳笛. 平面解析幾何的產(chǎn)生（一）：古希臘的三線和四線軌跡問題［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（17）：58-59.

［7］黃晚桃，曹廣福.“坐標(biāo)系”的起源、發(fā)展及教學(xué)思考［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2023，62（9）：18-25，45.

［8］克萊因 M. 古今數(shù)學(xué)思想：第二冊［M］. 朱學(xué)賢，譯. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002.