高中物理中的“萬有引力與宇宙航行”這一章，探究天體運(yùn)行的規(guī)律，主要分析圓形軌道模型———將真實(shí)的行星環(huán)繞太陽的橢圓軌道看成圓形軌道，然后應(yīng)用勻速圓周運(yùn)動的知識加以處理．這既是基于觀測的合理近似，從而大大簡化了問題且不失準(zhǔn)確性，也是對復(fù)雜數(shù)學(xué)知識的回避，因?yàn)闄E圓軌道上的動力學(xué)規(guī)律對數(shù)學(xué)能力有較高要求．雖然本章大多數(shù)的習(xí)題是考查圓形軌道模型，偶爾涉及橢圓軌道問題也多集中于定性判斷“向心運(yùn)動”“離心運(yùn)動”上，但隨著高考考查形式的不斷變化，關(guān)于橢圓軌道的定量計(jì)算問題不時出現(xiàn)在全國各地各類考試中，未來很可能成為高考的一個出題熱點(diǎn)．本文試著對高中階段處理橢圓軌道定量計(jì)算問題的方法加以歸納，總結(jié)一些規(guī)律，以圖提升同學(xué)們對于該問題的處理能力．

１ 方法指引

橢圓軌道問題涉及的物理知識（如在軌道的大多數(shù)位置切向、法向都有速度分量）和數(shù)學(xué)知識（如曲率半徑概念的應(yīng)用）都比較復(fù)雜，通常無法直接使用牛頓第二定律列動力學(xué)方程．高中階段用來處理橢圓軌道的規(guī)律有以下幾個．

１）開普勒三定律

開普勒第一定律：所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上．

開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等．

開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等．

這三條定律是天文學(xué)家開普勒總結(jié)觀測數(shù)據(jù)得到的，其中第二定律用今天的視角來看實(shí)質(zhì)上是角動量守恒定律，角動量的概念高中沒有涉及，所以沒法給出證明．通過第二定律可以得到一個重要結(jié)論：行星在近日點(diǎn)的運(yùn)行速度大于遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行速度．第一、第三定律需要高等數(shù)學(xué)的知識來證明，高中也無法完成．但是這三條定律在教材中明確給出了，考生可以直接應(yīng)用解題，出題者也可以直接出題考查，或者以信息的方式呈現(xiàn)在題干中，以減輕考生解題負(fù)擔(dān)．

２）機(jī)械能守恒定律

橢圓軌道上，對于行星—太陽組成的系統(tǒng)，由于只有系統(tǒng)內(nèi)萬有引力做功，所以這個系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．我們總是假設(shè)太陽是靜止不動的，所以具體的守恒方程是：行星的動能＋行星與太陽間的引力勢能＝恒量．引力勢能公式Ep＝－G Mm/r 在教材上并沒有給出，所09151d776305c427c5367e81d9546a91f4f27e376d8291516c3a46d5759ca711以一般出題者會在題干中給出．

可以看出，如果想針對橢圓軌道問題出題，出題者需要考慮到高中教材的限制，將必要的信息提供給考生．相對地，考生也可以根據(jù)出題者在題干中給出的信息，獲得正確的思路，同時應(yīng)用開普勒三定律、機(jī)械能守恒定律等規(guī)律加以解題．

２ 例題選講

例１ （２０１９年北京卷，有刪減）牛頓設(shè)想，把物體從高山上水平拋出，速度一次比一次大，落地點(diǎn)就一次比一次遠(yuǎn)，如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運(yùn)動，成為人造地球衛(wèi)星．同樣是受地球引力，隨著拋出速度增大，物體會從做平拋運(yùn)動逐漸變?yōu)樽鰣A周運(yùn)動，請分析原因．

分析 當(dāng)拋出速度比較小，拋出點(diǎn)和落點(diǎn)所處范圍較小，此時引力可以視為恒力（重力），物體做平拋運(yùn)動．當(dāng)速度足夠大，拋出點(diǎn)與落點(diǎn)所處范圍極大，引力不可再視為恒力，而是指向球心的變力，物體可做圓周運(yùn)動．這時可以進(jìn)一步討論：由此看來，平拋運(yùn)動只是一種近似，那么在拋出速度不斷增大，但物體尚未做圓周運(yùn)動之前，物體實(shí)際的運(yùn)動是什么？ 根據(jù)開普勒第一定律，物體可能做橢圓軌道運(yùn)動，地球球心是橢圓軌道的一個焦點(diǎn)．

例２ 已知某衛(wèi)星在赤道上空的圓形軌道運(yùn)行，軌道半徑為r１，運(yùn)行周期為T ，不計(jì)空氣阻力，萬有引力常量為G．

（１）求地球質(zhì)量M 的大小;

（２）如圖１所示，假設(shè)某時刻，該衛(wèi)星在A 點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道，近地點(diǎn)B 到地心距離為r２，求衛(wèi)星在橢圓軌道上的周期T１．