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      例析水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

      2024-09-25 00:00:00孫倩
      高中數(shù)理化 2024年18期

      物體在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的向心力可以是某一個(gè)力,也可以是幾個(gè)力的合力.當(dāng)物體的角速度或者線速度變化時(shí),會(huì)引起物體受力的變化,受力的變化也會(huì)導(dǎo)致角速度或者線速度發(fā)生變化.物理量變化過程一般會(huì)涉及臨界問題,該類問題考查的知識(shí)內(nèi)容點(diǎn)多面廣,能力要求較高,學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向明顯,備受命題者青睞.

      1 支持力臨界

      如果繩連接物體在圓錐體表面做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是繩的拉力,當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化時(shí),會(huì)引起圓錐體表面的支持力的變化,當(dāng)支持為0時(shí),往往物體的變化規(guī)律發(fā)生突變,抓住支持力為0時(shí)的物體的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),是解決問題的關(guān)鍵.

      例1 如圖1所示,一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線豎直,母線與軸線之間夾角為θ,一條長度為l 的輕繩,一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O 處,另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m 的小球(可看作質(zhì)點(diǎn)),小球以角速度ω 繞圓錐體的軸線做勻速圓周運(yùn)動(dòng),細(xì)線拉力F 隨ω2 變化關(guān)系如圖2 所示.重力加速度g 取10m·s-2,由圖2可知( ).

      A.小球的角速度為2.5rad·s-1時(shí),剛離開錐面

      B.母線與軸線之間夾角θ=30°

      C.小球質(zhì)量為0.6kg

      D.繩長為l=2m

      解析 根據(jù)圖2可知,當(dāng)小球的角速度滿足ω2 =25'4rad2·s-2時(shí),小球恰好要離開錐面,此時(shí)角速度為ω=5/2rad·s-1,故選項(xiàng)A 正確.

      當(dāng)小球?qū)⒁x開錐面時(shí),繩子拉力與小球重力的合力提供向心力,有Fsinθ=mω2lsinθ,即F=mω2l.當(dāng)小球離開錐面后,設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α,繩子拉力與小球重力的合力提供向心力,有Fsinα=mω2lsinα,即F=mω2l,則根據(jù)圖2,結(jié)合所得繩子拉力F 與ω2 的函數(shù)關(guān)系可知,當(dāng)小球離開錐面后ml=1kgm.當(dāng)小球未離開錐面時(shí),分析小球受力情況,水平方向根據(jù)牛頓第二定律有Fsinθ-FNcosθ=mω2lsinθ,豎直方向根據(jù)平衡條件有Fcosθ+FNsinθ=mg,聯(lián)立可得F =mlsin2θω2+mgcosθ,根據(jù)圖2,結(jié)合所得函數(shù)關(guān)系可得mlsin2θ= 9/25kg·m,mgcosθ=4N,聯(lián)立解得θ=37°,l=2m,m =0.5kg.故選項(xiàng)D正確,選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤.

      點(diǎn)評 細(xì)繩的拉力發(fā)生變化時(shí),圓錐體對小球的彈力也發(fā)生變化,圓錐體與小球間彈力為0是此類問題的臨界狀態(tài).

      2 細(xì)繩拉力臨界

      當(dāng)細(xì)繩的拉力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí),細(xì)繩的拉力往往隨物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化而變化,涉及兩條細(xì)繩時(shí),哪條細(xì)繩先達(dá)到臨界狀態(tài)是分析的重點(diǎn).

      例2 如圖3所示,AP 為豎直轉(zhuǎn)軸,P 端放在地面上,細(xì)繩AC 和BC 的結(jié)點(diǎn)C 系一質(zhì)量為m 的小球,兩繩能承擔(dān)的最大拉力均為2.25mg,當(dāng)AC 和BC 均拉直時(shí)∠ABC =90°,∠ACB =53°,細(xì)繩AC 長度為L=2 m,ABC 能繞豎直軸AP勻速轉(zhuǎn)動(dòng),因而小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增大時(shí),兩繩均會(huì)被拉斷,g 取10m·s-2,sin53°=0.8,cos53°=0.6.

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