【摘 要】“數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)”從學(xué)科視角出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，以對(duì)數(shù)學(xué)的核心概念和原理的深度理解與遷移為目標(biāo)，在國(guó)家課程中“小切口”確定項(xiàng)目主題，融入項(xiàng)目學(xué)習(xí)元素，設(shè)計(jì)和實(shí)施能在課堂中進(jìn)行的探索實(shí)踐任務(wù)。在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)，從大概念整體設(shè)計(jì)的角度，讓學(xué)生在推導(dǎo)面積計(jì)算方法的過程中進(jìn)行深入持續(xù)的探索，在富有挑戰(zhàn)性的小項(xiàng)目學(xué)習(xí)中不斷探究，再次感受面積度量的本質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠基。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)學(xué)科 小項(xiàng)目學(xué)習(xí) 度量方法

新課標(biāo)指出，要使學(xué)生在推導(dǎo)一些常見圖形周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算方法的過程中，感悟數(shù)學(xué)度量方法，逐步形成量感和推理意識(shí)?！岸噙呅蔚拿娣e”單元是蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形的面積公式，幫助學(xué)生培養(yǎng)空間觀念和推理意識(shí)。本節(jié)課，筆者通過數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)，從大概念整體設(shè)計(jì)的角度，讓學(xué)生在推導(dǎo)面積計(jì)算方法的過程中進(jìn)行深入持續(xù)的探索，在富有挑戰(zhàn)性的小項(xiàng)目學(xué)習(xí)中不斷探究，再次感受面積度量的本質(zhì)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠基。

一、基于真實(shí)情境的“能理解”，體會(huì)內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)改變了原來學(xué)科學(xué)習(xí)從低階開始并且主要在低階學(xué)習(xí)附近徘徊的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)任務(wù)單要有一定的真實(shí)性和挑戰(zhàn)性，從開始貫穿到最終，往往要求學(xué)生有全局性的、復(fù)雜性的、策略性的思考。本節(jié)課一開始筆者就借助“玻璃有多大”這個(gè)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)任務(wù)形式，通過回顧長(zhǎng)方形面積推導(dǎo)過程，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，如圖1。

片段一：

出示小項(xiàng)目學(xué)習(xí)任務(wù)：玻璃有多大？

學(xué)生研究思考后便有了如下課堂交流：

師：哪塊玻璃的面積你已經(jīng)會(huì)求了？

生：長(zhǎng)方形。

師：要求長(zhǎng)方形的面積你需要什么條件？

生：長(zhǎng)和寬。

師：好的（出示數(shù)據(jù)，如圖2），誰來說說面積是多少？

生：12平方分米。

師：12平方分米你是怎么理解的呢？

生：12個(gè)1平方分米。

師：1平方分米有多大？你能比畫一下嗎？

學(xué)生比畫。

師：也就是說用1平方分米的小正方形來進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量出來長(zhǎng)方形中包含了12個(gè)1平方分米的面積單位，那12平方分米又是怎么得到的？你能來講一講嗎？

集體交流后教師小結(jié)：是的，沿著長(zhǎng)數(shù)出每排面積單位的個(gè)數(shù)，再沿著寬數(shù)出排數(shù)，用“每排個(gè)數(shù)×排數(shù)”就能知道包含多少個(gè)面積單位，也就得出了長(zhǎng)方形的面積。

師：由此我們發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積其實(shí)就是指什么？（指著板書：包含（ ）個(gè)面積單位）那照這樣的說法，平行四邊形的面積也就是指什么？

生：面積單位的個(gè)數(shù)。

本課始于用來組織和推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的真實(shí)問題“玻璃有多大？”，讓學(xué)生回憶通過數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)確定圖形面積的大小是計(jì)算面積大小的基本方法，也體現(xiàn)了測(cè)量的本質(zhì)。學(xué)生盡管學(xué)習(xí)了用方格紙推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積的方法，但對(duì)數(shù)方格度量面積并沒有留下深刻印象。通過這樣的小項(xiàng)目任務(wù)，在交流中，學(xué)生不僅回憶了長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方式，而且知道了為什么要這樣算以及這樣算的好處是什么。當(dāng)再次面對(duì)新的問題時(shí)，解決問題的角度就更加清晰了。

二、基于動(dòng)手操作的“會(huì)理解”，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅靠看書本、聽講解、觀察他人演示是學(xué)不會(huì)的。操作是學(xué)生思維的起點(diǎn)，親身經(jīng)歷觀察與操作的過程，能促使學(xué)生將視覺和觸覺協(xié)調(diào)起來，實(shí)現(xiàn)內(nèi)化知識(shí)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)是一種包含知識(shí)、行動(dòng)和態(tài)度的學(xué)習(xí)實(shí)踐，強(qiáng)調(diào)知、行、思合一，使得學(xué)生操作目標(biāo)更明確，要求更細(xì)化，結(jié)果也更可視化。

片段二：

師：看來大家對(duì)測(cè)量已經(jīng)理解得很深刻了，那我們就用1平方分米的小正方形直接來測(cè)量一下這個(gè)平行四邊形（圖3）的面積。先想象一下測(cè)量出來會(huì)是怎樣的情況。

生：長(zhǎng)方形的面積測(cè)量時(shí)正好，沒有多余的部分，也沒有少掉的地方。而平行四邊形測(cè)量時(shí)不是正好，（指著圖3）這邊不夠一個(gè)正方形，這邊又多了一些。

師：是呀，用面積單位直接測(cè)量平行四邊形時(shí)不像長(zhǎng)方形那樣可以整整齊齊地?cái)[好，讓人一目了然。還是有點(diǎn)麻煩的，是吧？今天這節(jié)課我們就來研究平行四邊形的面積。

師：我們?cè)谘芯块L(zhǎng)方形面積時(shí)，首先研究出了它的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)，所以計(jì)算時(shí)只需要知道長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，那關(guān)于平行四邊形的面積你覺得要先研究什么？

生1：我覺得也要先研究平行四邊形的面積和什么有關(guān)。

生2：要研究誰的變化能引起平行四邊形面積的變化。

師：真好，一下子就找到了研究的重點(diǎn)。那你打算怎么研究呢？先小組討論，再集體交流。

生1：可以拿兩個(gè)平行四邊形看看，比較一下有什么不同，再比比他們的面積。

生2：可以拉動(dòng)平行四邊形的邊看看是怎么變化的。

師：根據(jù)你們的思路，老師簡(jiǎn)單梳理了一下，并且提供了一些素材。（圖4）

小組討論，集體交流。

生1：我拿的平行四邊形可以拉動(dòng)，我發(fā)現(xiàn)把它的邊拉得長(zhǎng)一些，面積就變大了。

師：你的意思是平行四邊形的面積和邊的長(zhǎng)短有關(guān)。

生1：對(duì)。

生2：我覺得邊的長(zhǎng)短不變面積也在變。我拿的平行四邊形，邊沒法拉長(zhǎng)拉短。但是你看，把它壓得扁一些，面積就小了，拉得高一些，面積就大了。

師：還真是。我們來看，壓得扁一些，其實(shí)就是什么在變化？

生：是高在變化！

師：對(duì)。那如果這條是高（用手指），那這條就是什么？

生：底。

師：（屏幕出示幾何畫板）我們一起來看一看！

師：通過剛才的研究我們發(fā)現(xiàn)，平行四邊形的面積不僅和底有關(guān)，還和高有關(guān)。那到底有怎樣的關(guān)系呢？我們不妨再來回看一下長(zhǎng)方形的面積。（出示長(zhǎng)方形）它的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)（演示）。仔細(xì)觀察一下，是不是有那么點(diǎn)像？（指著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬）這條邊其實(shí)就是表示每排個(gè)數(shù)，這條邊表示排數(shù)。（指著平行四邊形）那平行四邊形有沒有可能也變成像每排個(gè)數(shù)和排數(shù)那樣的關(guān)系呢？我們繼續(xù)往下研究。

再次出示小項(xiàng)目學(xué)習(xí)任務(wù)：小組活動(dòng)，集體交流。

師：這樣操作以后，面積發(fā)生變化了嗎？

生：面積沒有發(fā)生變化，只是形狀變了。原來是平行四邊形，現(xiàn)在變成了長(zhǎng)方形。

學(xué)生講完，出示3個(gè)平行四邊形，如圖5。

師：觀察一下，它們都是沿著什么剪的？為什么沿著高剪？

生：這樣就能把不是整格的變成整格的了，數(shù)起來就方便了。

師：原來半格的拼成整格的啦！這樣就把平行四邊形轉(zhuǎn)化（板書）成了長(zhǎng)方形，把未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化成了已知的知識(shí)，太棒了！

……

學(xué)生感受到直接測(cè)量方法的局限性，繼而產(chǎn)生對(duì)間接測(cè)量方法的探索意愿，主動(dòng)尋求更為便捷的間接測(cè)量方法。通過開展小項(xiàng)目學(xué)習(xí)，學(xué)生始終圍繞“玻璃有多大？”這一項(xiàng)目進(jìn)行探索，進(jìn)一步意識(shí)到多邊形的面積與圖形中兩個(gè)關(guān)鍵的長(zhǎng)度有關(guān)，而想要對(duì)圖形實(shí)現(xiàn)間接測(cè)量就要找到這兩個(gè)關(guān)鍵的長(zhǎng)度，從而開闊視野、發(fā)展思維。這樣的教學(xué)，改變了一問一答式的教學(xué)模式，給予學(xué)生更多的自主空間，有利于深入思考，使學(xué)習(xí)從淺表走向深層次，使思維從低階上升到高階。

三、基于想象聯(lián)系的“真理解”，提升思維品質(zhì)

在日常教學(xué)中，教師往往會(huì)花大量的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的識(shí)記、練習(xí)，從最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)入手夯實(shí)基礎(chǔ)，很少涉及高階思維。而小項(xiàng)目學(xué)習(xí)則不同，一開始就明確提出一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，從識(shí)記到理解到應(yīng)用再到創(chuàng)造，在問題解決的過程中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

片段三：

師：那讓我們?cè)倩氐降诙铋T，玻璃的面積有多大？你打算怎么做？

生：需要知道平行四邊形的底和高。

出示兩種測(cè)量方法，如圖6。

師：你會(huì)選擇哪組測(cè)量數(shù)據(jù)來計(jì)算面積？為什么？

生1：我會(huì)選第一組。因?yàn)閿?shù)據(jù)好算。

師：哦！你是關(guān)注了數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。還有誰想補(bǔ)充的？

生2：我也選第一組。因?yàn)榈谝唤M的30厘米a5Cqw3bGeSPS1eruPEXLZg==就是40厘米的高。第二組的30厘米不是48厘米的高。

師：也就是說進(jìn)行面積計(jì)算的底和高必須要對(duì)應(yīng)。

分析之后學(xué)生計(jì)算出面積：40×30=1200（平方厘米）。

師：那對(duì)于第二組測(cè)量數(shù)據(jù)，你能動(dòng)動(dòng)腦算出這條高對(duì)應(yīng)的底嗎？先獨(dú)立思考，再和同桌說說你的想法。

生：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高，所以底=面積÷高。只要用平行四邊形的面積除以高，就能得到底是多少。

……

上述片段，依然是在“玻璃有多大？”這個(gè)小項(xiàng)目引領(lǐng)下，引發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入運(yùn)用及遷移。數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)鍛煉了學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問題情境時(shí)的整體數(shù)學(xué)思維和決策能力。

四、基于推理驗(yàn)證的“深理解”，培養(yǎng)高階思維

小項(xiàng)目學(xué)習(xí)指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心概念，并用真實(shí)的驅(qū)動(dòng)性問題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)從低階思維到高階思維的飛躍。開展數(shù)學(xué)小項(xiàng)目學(xué)習(xí)，學(xué)生不只將數(shù)學(xué)看成枯燥的知識(shí)點(diǎn)和公式，而是能夠領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，并且能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考，從而指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

片段四：

師：同學(xué)們，今天我們從門上的玻璃入手，提出了“玻璃有多大？”的問題，然后進(jìn)行研究方案設(shè)計(jì)，通過大家的合作交流，最終“玻璃有多大？”的問題得到解決。反思一下，通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？

師：其實(shí)，不光有這兩種款式，還有其他款式，你們想看嗎？（出示圖7）

師：三角形、梯形、圓的面積還不知道怎么求，如果以后要去研究，你覺得可以怎樣研究？

生1：數(shù)方格！

生2：也像平行四邊形那樣把它們變成長(zhǎng)方形。

……

師（追問）：通過數(shù)面積就能知道圖形的面積是多少，為什么還要推導(dǎo)面積的計(jì)算公式呢？

生：面積計(jì)算公式簡(jiǎn)潔??！

本課即將結(jié)束時(shí)，學(xué)生不僅已經(jīng)感受到通過數(shù)格子可以計(jì)算任何圖形的面積，對(duì)面積是由一個(gè)一個(gè)的面積單位累加出來的有了深刻的感悟，而且對(duì)于其他平面圖形的面積也有了新的思考，無形中拓展了單元學(xué)習(xí)，整體把握了單元教學(xué)，關(guān)注知識(shí)本質(zhì)，建立知識(shí)間的聯(lián)系，促進(jìn)高階思維發(fā)展，實(shí)現(xiàn)有深度的學(xué)習(xí)。

小項(xiàng)目學(xué)習(xí)并不僅僅意味著“動(dòng)手做”“做項(xiàng)目”“生活化”等，更意味著做事情的“思維”和“智慧”。整堂課借助“玻璃有多大？”這一個(gè)項(xiàng)目，通過讓學(xué)生從有方格地?cái)?shù)到無方格地?cái)?shù)，在數(shù)的過程中感受轉(zhuǎn)化的思想，體會(huì)平行四邊形與轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系。這樣一來，學(xué)生不僅完成了面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，還深刻地理解了面積計(jì)算公式為什么是底乘高。最后，學(xué)生的感悟不僅體現(xiàn)了學(xué)生感受到了圖形面積公式與面積本質(zhì)的聯(lián)系，還感受到了圖形面積公式的抽象概括性。這樣基于“面積計(jì)算公式推導(dǎo)”的數(shù)學(xué)小項(xiàng)目活動(dòng)，學(xué)習(xí)素材更簡(jiǎn)單，課堂探究更深入，寓簡(jiǎn)單于豐富中，寓直觀于深刻中，有利于學(xué)生形成有包容力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。