【摘要】 圓是初中幾何的一個重要圖形.與圓有關(guān)的問題中，“隱圓”問題是一個難點問題.題中往往不會直接出現(xiàn)圓，而是給出與圓有關(guān)的條件，需要學(xué)生結(jié)合條件構(gòu)造輔助圓，再利用圓的性質(zhì)求解.“隱圓”問題常與最值問題等結(jié)合，綜合性強(qiáng).本文探討三類常見的“隱圓”問題，以幫助學(xué)生克服難點，感受數(shù)學(xué)之美.

【關(guān)鍵詞】隱圓；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

類型1 定點定長

例1 如圖1所示，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，M、N兩點分別是AB、BC邊的中點，若線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，連接DN′，則DN′長度的最小值是cm.

解 因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠ABC=90°.

因為M、N兩點分別是AB、BC邊的中點，

所以BM=12AB=3cm，BN=12BC=4cm.

在Rt△BMN中，

MN=BM2+BN2=5cm.

如圖2所示，以點M為圓心，5cm的長為半徑作圓M，連接DM交圓M于點P.

因為線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段MN′，點N′始終在圓M上.

當(dāng)點N′與點P重合時，DN′有最小值，

即DN′=DP=DM－MP.

在Rt△ADM中，

DM=AD2+AM2=73cm.

因為MP=5cm，

所以DP=（73－5）cm，

則（DN′）min=73－5.

評注 動點到定點距離相等的點在以定點為圓心，定長為半徑的圓上.通常用定點定長模型解決線段長的最值問題.對于一點定長問題常涉及旋轉(zhuǎn)或折疊；而對于三點定長問題，一般一點到不在同一直線上的三點的距離相等.

類型2 定弦定角

例2 如圖3所示，在矩形ABCD中，AD=5，AB=33，點E在AB上，

AEEB=12，在矩形內(nèi)找一點P，使得 ∠BPE=60°，則線段PD的最小值為（ ）

（A）27－2. （B）213－4.

（C）4. （D）23.

解 如圖4所示，在BE上方作△OEB，

使得OE=OB，∠EOB=120°.

連接OB，OD，過點O作OQ⊥BE于點Q，OJ⊥AD于點J.

因為∠BPE=60°=12∠EOB，

所以點P在以圓O為圓心，OE的長為半徑的圓上，

所以當(dāng)點P落在線段OD上時，DP的值最小.

因為四邊形ABCD是矩形，

所以∠A=90°.

因為AB=33，AEEB=12，

所以BE=23.

因為OE=OB，∠EOB=120°，OQ⊥EB，

所以EQ=BQ=3.

則∠EOQ=∠BOQ=60°，

所以O(shè)Q=1，OE=2.

因為OJ⊥AD，OQ⊥AB，

所以∠A=∠AJO=∠AQO=90°.

所以四邊形AQOJ是矩形，

所以AJ=OQ=1，JO=AQ=23.

因為AD=5，

所以DJ=AD－AJ=4，

則OD=JD2+OJ2=27.

所以（PD）min=OD－OP=27－2.

評注 出現(xiàn)定角以及定線段時，考慮使用定弦定角模型.弦的中垂線必然經(jīng)過圓心，再結(jié)合定角的大小，利用圓周角和圓心角之間的關(guān)系，通過幾何變換即可得到問題的答案.

類型3 四點共圓

例3 如圖5所示，已知在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，E為BC上的一點，BE=2EC，DE=DC，∠ADC=60°，則AD的長為.

解 如圖6所示，連接AE，過點A作AH⊥BC于點H.

在Rt△ABH中，AB=AC=6，∠B=30°，

所以∠ACB=∠B=30°，

AH=12AB=3.

利用勾股定理可得BH=33.

因為AB=AC，AH⊥BC，

所以CH=BH=33.

則BC=63，CE=13BC=23，

所以HE=CH－CE=3.

在Rt△AHE中，由勾股定理可得

AE=AH2+HE2=23，

所以AE=CE.

則∠CAE=∠ACB=30°，

所以∠AEC=120°，∠AEB=60°.

因為∠ADC=60°，

所以∠ADC+∠AEC=180°，則A、D、C、E四點共圓.

所以∠ADE=∠ACE=30°，

則∠CDE=∠ADC－∠ADE=30°.

因為DE=DC，

所以∠DEC=75°，

則∠AED=120°－75°=45°.

過點A作AM⊥DE于點M，

則AM=22AE=6.

在Rt△AMD中，∠ADM=30°，

所以AD=2AM=26.

評注 在四邊形中，若同一條線段所對的兩個角相等或者對角互補，則構(gòu)成的四邊形的四個頂點在同一個圓上.

結(jié)語

以隱圓為背景的解題探索，實際上是對幾何深度和廣度的細(xì)致挖掘.隱圓作為一種幾何元素，其特性在解題過程中常常起到關(guān)鍵作用.通過對隱圓性質(zhì)的掌握和應(yīng)用，我們能夠?qū)?fù)雜的幾何問題簡化為一系列清晰明了的幾何關(guān)系，進(jìn)而順利找到解決方案.在這個過程中不僅加深了對幾何知識的理解，更鍛煉了邏輯思維和空間想象能力.