【摘要】在新課改背景下，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力已成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一.本文通過(guò)“二次函數(shù)”壓軸題的分析探討指向高階思維能力的教學(xué)策略.第一題利用二次函數(shù)圖象討論不等式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要思想方法；第二題則通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)化歸問(wèn)題，體現(xiàn)以函數(shù)為主干、創(chuàng)新解題思路的意識(shí).

【關(guān)鍵詞】高階思維；二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)

1 引言

在數(shù)學(xué)教育中，發(fā)展學(xué)生的高階思維能力備受關(guān)注.高階思維能力不僅包括邏輯推理、批判性思考等，還涵蓋了數(shù)學(xué)抽象、創(chuàng)新意識(shí)等多個(gè)維度.作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，“二次函數(shù)”的教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力有著重要意義.本文擬通過(guò)兩個(gè)“二次函數(shù)”的典型例題，探討在教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生高階思維能力的策略.

2 利用函數(shù)圖象分析二次函數(shù)問(wèn)題——數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2-2a2x （a≠0）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，若對(duì)于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，求a的取值范圍.

解析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，

y=ax2-2a2x=x2－2x.

頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：－b2a=－22×1=1，

頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：1－2=－1，

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1），拋物線圖象如圖1所示.

（2）y=ax2-2a2x=ax（x－2a），

對(duì)稱軸x=－b2a=－－2a22a=a.

①當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)圖象開口向上，如圖2所示，由數(shù)形結(jié)合可知，x1=3a在對(duì)稱軸的右側(cè).

在對(duì)稱軸右側(cè)，即當(dāng)x>a時(shí)，y隨x的增大而增大；

對(duì)于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，則x1=3a<3，即a<1.

所以a的取值范圍為0<a<1.

②當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)圖象開口向下，如圖3所示，由數(shù)形結(jié)合可知，x1=3a在對(duì)稱軸的左側(cè)，3a，y1在對(duì)稱軸左側(cè)，x2，y2在對(duì)稱軸右側(cè)，3a，y1關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)－a，y1在對(duì)稱軸右側(cè).

在對(duì)稱軸右側(cè)，即當(dāng)x>a時(shí)，y隨x的增大而減小，

所以y2<y1，x1<x2，－a<4，即a<－4.

綜上所述，a的取值范圍為0<a<1或a<－4.

3 利用代數(shù)的方法解析二次函數(shù)問(wèn)題——利用作差法比較二次函數(shù)大小

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（2，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a>0），已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是該拋物線上的任意兩點(diǎn)，對(duì)于m<x1<m+1，m+1<x2<m+2，都有y1<y2，求m的取值范圍.

解析 由題意可得，

y2-y1=a（x2-x1）（x2+x1-2）>0 ①

因?yàn)閙<x1<m+1，m+1<x2<m+2，

所以x2-x1>0，

2m-1<x1+x2-2<m+1，

由①可知x2+x1-2>

所以2m-1≥0，

解得m≥12.

4 函數(shù)構(gòu)造法化歸二次不等式問(wèn)題

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0），y－x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0＜x1＜x2＜1a.當(dāng)0<x<x1時(shí)，試證明：x＜y＜x1．

證明 因?yàn)閤1、x2是方程y－x=0的兩個(gè)根，

所以可得y－x=ax－x1x－x2，因?yàn)?<x<x1<x2<1a，所以x－x1<0，x－x2<0.

又a>0，所以ax－x1x－x2>0，即y－x>0，故y>x.

由y－x=ax－x1x－x2，

可得y－x1=ax－x1x－x2+x－x1=x－x1ax－ax2+1，

又因?yàn)閤－x1<0，

且ax－ax2+1>1－ax2>0，

所以y<x1.

綜上，x<y＜x1.

5 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)“二次函數(shù)”的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力非常重要.本文通過(guò)分析三個(gè)典型例題，探討了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的兩點(diǎn)策略：一是利用函數(shù)圖象培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；二是運(yùn)用函數(shù)構(gòu)造法發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.這兩個(gè)策略分別體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想和“以函數(shù)為主干”的教學(xué)意識(shí)，為“二次函數(shù)”教學(xué)提供了新的思路.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃怡然.二次函數(shù)問(wèn)題中的分類討論[J].數(shù)理天地（初中版），2024（12）：22-23.

[2]羅文華.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)問(wèn)題的解題策略探析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（11）：14-15.

[3]王建勤.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題方法與技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（08）：71-72.