【摘要】 中考數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)是十分重要的考點(diǎn)，有著較高的分?jǐn)?shù)占比.但是，在實(shí)際的考試中，學(xué)生的得分效果并不理想，總是會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為提高學(xué)生的得分率，本文總結(jié)學(xué)生在解答二次函數(shù)問題中，常出現(xiàn)的幾類錯(cuò)誤，分別為二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系不清、忽視隱含條件、缺乏分類意識(shí)、忽略自變量取值范圍、忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系等，以供師生參考.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)十分重要的知識(shí)點(diǎn)，在每年的中考試題中，都會(huì)有多道與之相關(guān)的試題，占據(jù)著大量的分?jǐn)?shù).但是在實(shí)際的考試中，學(xué)生對(duì)相關(guān)問題的解答并不理想，存在嚴(yán)重的失分情況.為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的掌握及提高解題效率，本文對(duì)學(xué)生的常見錯(cuò)誤進(jìn)行收集.通過分析，總結(jié)了學(xué)生在解答二次函數(shù)問題中常見的幾類錯(cuò)誤，供學(xué)生參考.

1 圖象與系數(shù)關(guān)系不清

二次函數(shù)圖象的性質(zhì)一直是考查的重點(diǎn)，但是其性質(zhì)與系數(shù)間有著緊密的聯(lián)系，在考試中便會(huì)將二者進(jìn)行聯(lián)合考查.在這類試題中，會(huì)涉及圖象開口方向、對(duì)稱軸位置、各參數(shù)的確定等.在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要準(zhǔn)確掌握二次函數(shù)系數(shù)與圖象間的關(guān)系.

例1 如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，下列各結(jié)論：abc>0；2a+b=0；4a+2b+c>0；am2+bm>a+b；3a+c>0，正確的有（ ）

（A）4個(gè). （B）3個(gè).

（C）2個(gè). （D）1個(gè).

解析 由拋物線圖象可知，c<0，

因?yàn)閷?duì)稱軸在x軸右側(cè)，則a，b異號(hào)，則ab<0，

所以abc>0.

由對(duì)稱軸x=－b2a=1，

得2a+b=0.

由拋物線對(duì)稱關(guān)系可知，x=0時(shí)和x=2時(shí)的y值相等，x=0時(shí)，y<0，

所以當(dāng)拋物線與x軸另一交點(diǎn)在（2，0），（3，0）之間，x=2時(shí)，y=4a+2b+c<0；

因?yàn)閤=1時(shí)，ymin=y=a+b+c，

所以am2+bm+c≥a+b+c，

即am2+bm≥a+b；

由圖1可知，當(dāng)x=－1時(shí)，

y=a－b+c>0，

由2a+b=0，得b=－2a，

所以3a+c>0.綜上，則正確答案為（B）.

二次函數(shù)的圖象與系數(shù)間關(guān)系的相互考查，是一類常見的考題，這類問題主要出現(xiàn)在選擇題和填空題中.在解答這類問題時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因是不能準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象與系數(shù)間的關(guān)系.本題為在此基礎(chǔ)之上衍生出的圖象信息題，同時(shí)也是中考的命題方向.在實(shí)際的解題中，需要通過圖形盡可能獲取信息，而后對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷.

2 忽略自變量取值范圍

自變量是二次函數(shù)的基礎(chǔ)元素.在實(shí)際的解題中，忽略自變量的取值信息，所得的答案也必然錯(cuò)誤.因此，在解題中，要時(shí)刻注意二次函數(shù)的自變量范圍，進(jìn)而保證最終答案的正確.

例2 某超市用8000元和6000元購(gòu)進(jìn)相同數(shù)量的籃球和足球，足球比籃球（每個(gè)）便宜10元.銷售中發(fā)現(xiàn)，籃球售價(jià)為（每個(gè)）50元時(shí)，每天可出售100個(gè)；每提高1元，每天少售出2個(gè)，設(shè)（每個(gè)）籃球售價(jià)為x（50≤x≤65）元，y為每天銷售籃球的利潤(rùn)，求每天最大利潤(rùn).

錯(cuò)解 設(shè)（每個(gè)）籃球進(jìn)價(jià)為a元，則（每個(gè)）足球進(jìn)價(jià)為（a－10）元，

則8000a=6000a－10，

可得a=40，a-10=30，即籃球、足球進(jìn)價(jià)分別為40元和30元；

由題意得，y=x［100－2（x－50）］－40×［100－2（x－50）］

=－2x2+280x－8000=－2（x－70）2+1800，

所以當(dāng)x=70時(shí)，利潤(rùn)最大為1800.

在錯(cuò)解中，相關(guān)步驟十分準(zhǔn)確，但是卻忽略了自變量的取值范圍.根據(jù)錯(cuò)解，得到的是當(dāng)x=70時(shí)，利潤(rùn)最大為1800.但是，題目中所給出x的取值范圍為50≤x≤65，所以最終結(jié)果錯(cuò)誤.

正解 由題意得，

y=x［100－2（x－50）］－40×［100－2（x－50）］

=－2x2+280x－8000=－2（x－70）2+1800，

由解析式可知，x<70時(shí)，y隨x的增大而增大，且50≤x≤65，

所以當(dāng)x=65時(shí)，y取得最大值，

最大值為－2（65－70）2+1800=1750元.

在這類問題中，主要考查二次函數(shù)最值問題，但是在解題中需要注意自變量的取值范圍，有可能不包含拋物線最高點(diǎn)或最低點(diǎn).此時(shí)便需要判斷自變量與對(duì)稱軸間的關(guān)系，進(jìn)而解答.

3 忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系

在解答二次函數(shù)問題中，常常需要借助判別式、根與系數(shù)等知識(shí)進(jìn)行解答.因?yàn)閹渍唛g的關(guān)系，所以在解題中需要高度關(guān)注，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例3 已知二次函數(shù)y=x2－（k－1）x+k+1的圖象與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方和為4，求k的值.

錯(cuò)解 設(shè)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0），由根與系數(shù)間的關(guān)系，

有x1+x2=k－1，x1x2=k+1，

結(jié)合已知條件x21+x22=4，

有（x1+x2）2－2x1x2=4，

整理可得k2－4k－5=0，

解得k=5或k=－1.

在本題中，二次函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題進(jìn)行求解，上述解題方法錯(cuò)誤的主要原因是忽視了方程和圖象有兩個(gè)交點(diǎn)情況下，判別式大于等于0的情況.

正解 由根與系數(shù)間的關(guān)系，

有x1+x2=k－1，x1x2=k+1，

結(jié)合已知條件x21+x22=4，

有（x1+x2）2－2x1x2=4，

整理可得k2－4k－5=0，

解得k=5或k=－1，

當(dāng)k=5時(shí)，判別式小于0，與題意不符，舍去，

當(dāng)k=－1時(shí)，判別式大于0，符合題意，綜上可得k=－1.

在解答這類問題時(shí)，可以將二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題進(jìn)行求解，但是需要注意的是準(zhǔn)確判斷其中所涉及的關(guān)系.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，二次函數(shù)是初中階段十分重要的知識(shí)點(diǎn)，面對(duì)常見的錯(cuò)誤問題，本文總結(jié)了解題錯(cuò)誤原因，分別為函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系不清、忽視隱含條件、缺乏分類意識(shí)、忽略自變量取值范圍、忽略函數(shù)和判別式之間的關(guān)系等.因此，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)積極注意，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄭偉.攻克“二次函數(shù)”易錯(cuò)點(diǎn)[J].中學(xué)生數(shù)理化（初中版.中考版），2022（10）：11.