【摘要】在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖象題尤其是動(dòng)點(diǎn)問題，由于其獨(dú)特的解題思路和技巧，往往成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文以初中數(shù)學(xué)圖象題中的動(dòng)點(diǎn)問題為研究對(duì)象，旨在探討其解題步驟.通過具體例題，詳細(xì)講解動(dòng)點(diǎn)問題的解題步驟，探討在解題過程中可能遇到的一些困難和挑戰(zhàn)，以及如何克服這些困難，從而幫助學(xué)生在面對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，能夠有一個(gè)清晰的解題思路，提高解題的準(zhǔn)確性和效率.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)問題；初中數(shù)學(xué)；解題方法

1 引言

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，動(dòng)點(diǎn)問題作為圖象題的重要組成部分，一直以來都是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文將從動(dòng)點(diǎn)問題的解題思路出發(fā)，并通過具體例題，詳細(xì)講解解題步驟.同時(shí)，還將探討如何運(yùn)用這些解題步驟，解決實(shí)際問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧.

2 試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax2+bxa≠0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A2，4，與x軸交于點(diǎn)B6，0，一次函數(shù)y=kx+nk≠0的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上的點(diǎn)，且PA=PB，如圖2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象位于第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.試探究：是否存在常數(shù)m，使得MN的長(zhǎng)為4？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

3 思路分析

圖象題（不僅僅是動(dòng)點(diǎn)問題）第一問往往是求函數(shù)解析式，這時(shí)候把已知條件中的坐標(biāo)代入，求未知量即可.因此第（1）問中，只需要把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線和直線表達(dá)式，即可求解.涉及距離問題，必須掌握的是坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式，這對(duì)解決動(dòng)點(diǎn)問題非常重要.第（2）問中，P為定點(diǎn)，難度較低，只需要先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，設(shè)P3，t，再用兩點(diǎn)間距離公式列方程即可求解.第（3）問是動(dòng)點(diǎn)問題中經(jīng)典的求“距離或長(zhǎng)度”的問題，該類問題的解題思路一般為：①將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為未知量；②用距離公式和坐標(biāo)，表示出含未知量的距離表達(dá)式；③根據(jù)未知量的取值范圍，求解長(zhǎng)度的取值范圍；④在長(zhǎng)度取值范圍中篩選滿足條件的具體值.因此該問可以先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為m，－12m2+3m，且0<m<6，再根據(jù)MN的長(zhǎng)為4列出方程－12m2+3m－－m+6=4求解即可.

4 解法探究

（1）利用待定系數(shù)法，把點(diǎn)A2，4，B6，0代入拋物線y=ax2+bxa≠0，

得4a+2b=436a+6b=0，

解得a=－12b=3，

故二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=－12x2+3x；

把A2，4，B6，0代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+nk≠0，

得2k+n=46k+n=0，

解得k=－1n=6，

故一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=－x+6；

（2）二次函數(shù)y=－12x2+3x的對(duì)稱軸為直線x=－32×－12=3，

由點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸上的點(diǎn)，可設(shè)P3，t，這樣的設(shè)定可以用未知量t來表示待求點(diǎn)的坐標(biāo)，從而簡(jiǎn)化問題.然后將待求點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)已知條件構(gòu)建含參等式，求解未知量即可.步驟如下：

因?yàn)镻A=PB（已知條件），

所以PA2=PB2（等式雛形），

所以（3－2）2+（t－4）2=（3－6）2+t2（含參等式），

解得：t=1，

所以P3，1；

（3）在前兩問的基礎(chǔ)上，易想到該題需要根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和已知條件來構(gòu)建含參等式.至此已經(jīng)知道二次函數(shù)和一次函數(shù)的具體形式，可以通過將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入二次函數(shù)和一次函數(shù)的方程中，得到兩個(gè)關(guān)于m的坐標(biāo).然后就可以通過構(gòu)建方程來求出m的值，從而得到待求點(diǎn)的坐標(biāo).

因?yàn)榈谝幌笙撄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為m，－12m2+3m（0<m<6），

所以點(diǎn)N坐標(biāo)為m，－m+6，

因?yàn)镸N的長(zhǎng)為4，

所以－12m2+3m－－m+6=4，

所以－12m2+4m－6=4 ①，

或－12m2+4m－6=－4 ②，

解方程①，無解；

解方程②有m1=4－23，m2=4+23（舍去），

所以m的值為4－23.

5 結(jié)語

本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵，在最后一步中，通過m的取值范圍進(jìn)行得數(shù)的舍去，是非常重要的難點(diǎn)，也是“討論思維”的重點(diǎn).解決圖象動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于將待求點(diǎn)的坐標(biāo)用未知量表示，然后根據(jù)坐標(biāo)和已知條件構(gòu)建含參等式，最后求解未知量即可.這種方法不僅適用于本文中二次函數(shù)的圖象題，也適用于其他類型的圖象題.通過掌握這種方法，學(xué)生可以提高解決動(dòng)點(diǎn)問題的能力，提高數(shù)學(xué)思維和解題技巧.通過本文的探究，學(xué)生深入了解了初中數(shù)學(xué)圖象題中的動(dòng)點(diǎn)問題的解題步驟.從問題的解題思路，再到具體的解題步驟，筆者都進(jìn)行了詳細(xì)的闡述和講解，主要強(qiáng)調(diào)了理解動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及如何運(yùn)用這些規(guī)律解決問題.

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