【摘要】隨著數學教育的深入改革，函數圖象的研究在數學教學中占據了越來越重要的地位.本文以反比例函數與一次函數的圖象綜合類習題為研究對象，通過經典例題分析這兩種基本函數圖象的性質、關系以及在具體問題中的應用.此外，還強調數形結合思想在解決函數圖象問題中的重要性，有助于學生更好地理解函數圖象的性質，提高解決實際問題的能力.

【關鍵詞】反比例函數；一次函數；數形結合

1 引言

在數學領域，函數圖象的研究對于學生理解函數性質和運用函數解決實際問題具有重要意義.反比例函數和一次函數是數學中兩種基本函數，它們的圖象分別呈現直線和雙曲線的特點.這兩種函數圖象在坐標系中的位置、形狀和變化趨勢等方面存在著緊密的聯(lián)系.本文以反比例函數與一次函數的圖象綜合類習題為研究對象，旨在深入探討這兩種基本函數圖象的特點、關系及其在具體問題中的應用.

2 試題呈現

例1 如圖1所示，點P為一次函數y=12x+1與反比例函數y=mx（x>0）的圖象的交點，點P的縱坐標為4，PB⊥x軸，垂足為B，一次函數y=12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C.

（1）求m的值.

（2）點M是反比例函數y=mx（x>0）的圖象上的一點，且在點P的右側，連接PM.

①連接OP，OM.若S△POM=3S四邊形PBOC，求點M的坐標.

②過點M作MD⊥AP于點D，若∠PMD=45°，求M的坐標.

3 思路分析

（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征求出P點的坐標，代入反比例函數解析式計算即可；點M的坐標為a，24a，則ON=a，MN=24a，再由S△POM+S△NOM=S△POB+S梯形PBNM，求出a的值，即可求解；

（2）過點P作GH⊥PB交BP延長線于點G，作MH⊥HG于點H，證明△PGD≌△DHM，可得DG=t－6，PG=12t－3，用t表示出點M的坐標，代入反比例函數解析式計算，得到答案.

4 解法探究

（1）對于y=12x+1，

當y=4時，4=12x+1，

解得x=6，

所以點P6，4，

把點P6，4代入y=mx（x>0），

得4=m6，解得m=24.

（2）①如圖2，過點M作MN⊥x軸于點N.

對于y=12x+1，

當y=0時，x=－2，

當x=0時，y=1.

所以點A－2，0，B0，1，

所以OA=2，OC=1.

因為PB⊥x軸，點P6，4，

所以PB=4，OB=6，

所以S四邊形PBOC=12OC+PB×OB

=121+4×6=15.

因為S△POM=3S四邊形PBOC，

所以S△POM=45.

由（1）得：反比例函數解析式為y=24x，

設點M的坐標為a，24a，

則ON=a，MN=24a.

因為S△POM+S△NOM=S△POB+S梯形PBNM，

所以45+12×24=12×24+12PB+MN×BN，

即45=124+24a×a－6，

解得a=24或－32（舍去）.

所以點M的坐標為24，1.

②如圖3，過點P作GH⊥PB交BP延長線于點G，作MH⊥HG于點H.

因為MD⊥AP，∠PMD=45°，

所以△PMD是等腰直角三角形，

所以PD=DM.

因為∠PDG+∠MDH=90°，

∠PDG+∠DPG=90°，

所以∠DPG=∠MDH.

因為∠G=∠H，

所以△PGD≌△DHMAAS，

所以PG=DH，DG=MH.

設D（t，12t+1，

則DG=t－6，

所以MH=t－6，

DH=12t－3，

所以M32t－3，7－12t.

因為點M是反比例函數y=24x的圖象上的一點，

所以32t－3×7－12t=24，

解得t1=6，t2=10.

因為點M在點P的右側，

所以點M的坐標為12，2.

5 結語

通過本文對反比例函數與一次函數圖象綜合類習題的探究，學生深入了解了這兩種基本函數圖象的性質、關系以及在實際問題中的應用.這一研究不僅有助于學生鞏固函數知識，提高解題技巧，還能激發(fā)學生對數學學習的興趣，培養(yǎng)他們的幾何直觀和邏輯思維能力.本題考查的是反比例函數的性質、全等三角形的判定和性質、一次函數的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵，強調了數形結合思想在解決函數圖象問題中的重要性.在實際問題中，通過對交點、截距、斜率等性質的分析，學生能夠更好地理解這兩種函數圖象的特點.在今后的教學中，教師應繼續(xù)關注反比例函數與一次函數圖象的綜合應用，設計更多具有啟發(fā)性的習題，幫助學生深入挖掘函數圖象的內涵，提高數學素養(yǎng).

參考文獻：

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