【摘要】本文通過對反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應用的研究，探討這兩種函數(shù)在解決實際問題中的方法和應用．通過對相關(guān)案例的分析，展示如何將這兩種函數(shù)結(jié)合使用，以達到優(yōu)化問題解決的效果．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；反比例函數(shù)；一次函數(shù)

在數(shù)學領域，反比例函數(shù)和一次函數(shù)是兩種重要的函數(shù)類型．它們在解決實際問題中具有廣泛的應用．本文將結(jié)合具體案例，探討如何將反比例函數(shù)和一次函數(shù)結(jié)合起來，以實現(xiàn)更優(yōu)的問題解決效果．

1 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題

例1 如圖1，△ABC的各頂點都在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6），

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若反比例函數(shù)圖象上的點C的橫坐標為－12，求直線AC與x軸的交點坐標；

（3）若直線AB的解析式為y=ax+b，求ax≥kx-b的解集．

解析 （1）因為Am－3，－4，B（4－m，6）恰好落到雙曲線上，

所以－4m－3=64－m，解得m=6．

所以A3，－4，

將A3，－4代入y=kx，得到k=－12．

所以反比例函數(shù)解析式為y=－12x.

（2）由點C的橫坐標為－12，可得點C（－12，1），

又因為A3，－4，

所以－12k+b=1，3k+b=－4，

解得k=－13，b=－3，

所以直線AC的方程為y=－13x－3，

所以直線AC與x軸的交點坐標為－9，0．

（3）由（1）可知A3，－4，B－2，6，

由ax≥kx-b得到ax+b≥kx，

根據(jù)圖象可知，ax+b≥kx的解集為x≤-2或0<x≤3，

故由ax≥kx-b的解集為x≤-2或0<x≥3．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．解決這類問題需要從反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式入手，找它們的共同解即兩函數(shù)圖象的交點．

2 一次函數(shù)與反比例函數(shù)在實際問題中的綜合應用

例2 如圖2是一次藥物臨床試驗中受試者服藥后血液中的藥物濃度y（微克/毫升）與用藥的時間x（小時）變化的圖象．第一次服藥后對應的圖象由線段OA和部分雙曲線AB：y=kx組成，服藥6小時后血液中的藥物濃度達到最高，16小時后開始第二次服藥，服藥后對應的圖象由線段BC和部分曲線CD：y=kx－16+m組成，其中OA與BC平行．血液中的濃度不低于5微克/毫升時有療效．

（1）分別求受試者第16小時、第22小時血液中的藥物濃度；

（2）受試者第一次服藥后第二次服藥前這16小時內(nèi)，有療效的持續(xù)時間達到6小時嗎？

（3）若血液中的藥物濃度不高于4微克/毫升時才能進行第三次服藥，問受試者第二次服藥后至少經(jīng)過幾小時可進行第三次服藥？

解析 （1）把點（6，8）代入雙曲線AB的解析式y(tǒng)=kx，

得k=48，

所以雙曲線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=48x，

當x=16時，y=4816=3，即第16小時的血液濃度為3微克/毫升，

設直線OA的解析式為y1=kx（n≠0），

把點（6，8）代入y1=kx（n≠0），

得k=43，

因為OA與BC平行，

所以直線OA，OB的解析式中的k的值一樣，

所以設直線BC的解析式為y2=43x+b，

把點B（16，3）代入，得b=－553，

所以直線BC的函數(shù)解析式為y2=43x－553，

當x=22時，y2=11，即第22小時的血液中的藥物濃度為11微克/毫升.

（2）當0<x<6時，

若y=5，則5=43x，

解得x=154.

當6≤x<16時，

若y=5，則5=48x，

解得x=485，

所以485－154=11720=5.85<6．

所以這16小時內(nèi)藥物有療效的持續(xù)時間不超過6小時.

（3）把點C（22，11）代入y=48x－16+m，

得m=3．

所以曲線CD的函數(shù)解析式為y=48x－16+3，

當y=4時，x=64，64－16=48．

受試者第二次服藥后至少過48小時，才能進行第三次服藥．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)實際問題中的綜合應用，從解題思路可以看出，解決這類問題的關(guān)鍵是正確地求出各段函數(shù)的解析式并分段進行處理．

3 結(jié)語

通過對反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應用分析可以看出，在實際問題中，應該根據(jù)具體的情況選擇合適的函數(shù)模型，并進行適當?shù)膮?shù)調(diào)整，以達到最優(yōu)的問題解決效果．

參考文獻：

[1]方慶華.反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合題的一題多解[J].初中生輔導，2023（Z3）：108-111.

[2]黃若明.一圖一課：專題復習課走向簡約的嘗試——以反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用專題復習為例[J].中小學數(shù)學（初中版），2021（10）：55-57.