【摘要】絕對(duì)值方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，這類絕對(duì)值方程解決的一般方法就是將方程中的絕對(duì)值符號(hào)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為普通方程進(jìn)行求解，它的這種特有的解題方法和解題技巧對(duì)解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題具有借鑒意義．本文探討含絕對(duì)值方程的解法，從不同的角度和思路出發(fā)，嘗試提出一些有效的解決方案，以幫助讀者更好地理解和解決此類問(wèn)題．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；絕對(duì)值方程；解題方法

絕對(duì)值方程是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，由于方程中的絕對(duì)值符號(hào)，使得問(wèn)題變得復(fù)雜和困難．因此，尋求有效的解法方法對(duì)于解決絕對(duì)值方程具有重要意義．

1 含絕對(duì)值的一元一次方程的解法

例1 已知兩個(gè)多項(xiàng)式A=x2+2x+2，B=x2－2x+2（x為實(shí)數(shù)），以下結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①若A+B=12，則x=±2；

②若A－B－8+A－B+4=12，則－1≤x≤2；

③若A×B=0，則關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

④若x為整數(shù)x≠1，且A－5B－1的值為整數(shù)，則x的取值個(gè)數(shù)為3個(gè)．

（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．

解析 ①因?yàn)锳+B=12，

所以x2+2x+2+x2－2x+2=12，

解得：x=±2，

所以①正確.

②因?yàn)锳－B－8+A－B+4=12，

所以x2+2x+2－x2－2x+2－8+x2+2x+2－x2－2x+2+4=12，

所以4x－8+4x+4=12，

當(dāng)x<－1時(shí)，

－4x+8－4x－4=12，

解得x=－1（不符合題意，舍去），

當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，

－4x+8+4x+4=12恒成立，

當(dāng)x>2時(shí)，

4x－8+4x+4=12，

解得x=2（不符合題意，舍去），

所以②正確.

③因?yàn)锳×B=0，

所以x2+2x+2x2－2x+2=0，

所以x2+2x+2=0或x2－2x+2=0，

當(dāng)x2+2x+2=0時(shí)，Δ=22－4×2=－4<0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)x2－2x+2=0時(shí)，Δ=－22－4×2=－4<0，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

所以若A×B=0，關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

所以③正確.

④因?yàn)锳－5B－1=x2+2x+2－5x2－2x+2－1

=x2+2x－3x2－2x+1

=x－1x+3x－12

=x+3x－1

=1+4x－1，

因?yàn)閤為整數(shù)x≠1，且A－5B－1的值為整數(shù)，

所以x－1=±1，±2，±4，

所以x的取值個(gè)數(shù)為6個(gè)，

所以④不正確．

故選（C）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于綜合性數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中②是含絕對(duì)值的一元一次方程問(wèn)題．將A，B代入A－B－8+A－B+4=12，得4x－8+4x+4=12，是兩個(gè)絕對(duì)值和的方程，解這類方程，需要先去掉絕對(duì)值符號(hào)，就需要進(jìn)行分類討論，分別在x<－1、－1≤x≤2和x>2三種情況下去掉絕對(duì)值符號(hào)后解方程，解得的結(jié)果與x的范圍進(jìn)行驗(yàn)證，最終得到正確的結(jié)果．

2 距離問(wèn)題中的絕對(duì)值方程

例2 已知點(diǎn)P坐標(biāo)為1－a，2a+4，且點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）

（A）2，2． （B）2，－2或6，－6．

（C）6，－6． （D）2，2或6，－6．

解析 因?yàn)辄c(diǎn)P1－a，2a+4到兩坐標(biāo)軸的距離相等，

所以1－a=2a+4，

所以1－a=2a+4，

或1－a=－2a－4，

解得a=－1或a=－5，

當(dāng)a=－1時(shí)，1－a=2，2a+4=2，

當(dāng)a=－5時(shí)，1－a=6，2a+4=－6，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2或6，－6．

故選（D）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，根據(jù)距離的概念，列出含絕對(duì)值的方程是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等列出絕對(duì)值方程，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后進(jìn)行分類討論，分別進(jìn)行方程求解并驗(yàn)證即可．

3 新定義問(wèn)題中的絕對(duì)值方程

例3 定義：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)整數(shù)根，且滿足x1－x2=1，則稱此類方程為“自然方程”．例如：x－2x－3=0是“自然方程”．

（1）下列方程是“自然方程”的是；（填序號(hào)）

①x2－14=0；②x2+x=1；③x2+3x+2=0．

（2）若方程x2－m+1x+m=0是“自然方程”，求m的值．

解析 （1）①x2－14=0，即x2=14，

解得：x1=12，x2=－12，

則該方程的解不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

②x2+x=1，

x2+x－1=0，

因?yàn)棣?12－4×－1=5>0，

所以x=－1±52，

則該方程的解不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

③x2+3x+2=0，

x+1x+2=0，

x+1=0，或x+2=0，

解得x1=－1，x2=－2，

所以－1－－2=1，故此選項(xiàng)符合題意，

故答案為：③.

（2）x2－m+1x+m=0，

x－1x－m=0，

x－1=0或x－m=0，

解得x1=1，x2=m，

因?yàn)榉匠蘹2－m+1x+m=0是“自然方程”，

所以m－1=1，

解得m=2或0，

所以m的值為2或0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解一元二次方程、含絕對(duì)值的方程和有理數(shù)的運(yùn)算等問(wèn)題．新定義類數(shù)學(xué)問(wèn)題是考試中的難點(diǎn)，要順利解決本題，需要認(rèn)真理解“自然方程”的定義，順藤摸瓜，結(jié)合因式分解法表示出方程的解，根據(jù)“自然方程”定義確定m出的值即可．

4 結(jié)語(yǔ)

含絕對(duì)值方程的解法是一個(gè)復(fù)雜而有趣的問(wèn)題，這類問(wèn)題看似復(fù)雜，但只要掌握去掉絕對(duì)值的辦法，通過(guò)分類討論分別求解后再驗(yàn)證解的結(jié)果即可．本文從不同的角度和思路出發(fā)，探討了幾種問(wèn)題中含絕對(duì)值方程的解決方法，希望能幫助讀者更好地理解和解決此類問(wèn)題．在解決絕對(duì)值方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇合適的解法，靈活運(yùn)用各種技巧和方法，并針對(duì)不同的問(wèn)題情境，提出相應(yīng)的解決方案，以提高解題效率和質(zhì)量．

參考文獻(xiàn)：

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