摘 要：該課例是將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到高中物理中單擺的數(shù)學(xué)建模，形成跨學(xué)科的一次教學(xué)實(shí)踐活動. 學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)建模的基本思路和方法，也體會到了數(shù)學(xué)與物理之間的緊密聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；牛頓第二定律；機(jī)械能守恒；微分方程

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0039-03

引用格式：李振濤，王淑玲. 高中數(shù)學(xué)與物理融合課的課例研究：利用數(shù)學(xué)建模探究單擺的周期性［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：39-41.

一、概述

1. 問題分析

數(shù)學(xué)建模是建立在數(shù)學(xué)知識與實(shí)際現(xiàn)象之間的橋梁，首要的工作是設(shè)法用數(shù)學(xué)的語言表述實(shí)際現(xiàn)象，所以要把實(shí)際問題盡量地使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行重新描述. 因此，要充分了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目標(biāo)，盡可能厘清研究對象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù). 要善于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素，初步確定用哪一類模型.

2. 模型假設(shè)

合理假設(shè)是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟. 根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言作出假設(shè)，這是數(shù)學(xué)建模過程中至關(guān)重要的一步. 一個實(shí)際問題往往是復(fù)雜多變的，如果不經(jīng)過合理的簡化假設(shè)，將很難轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型；即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復(fù)雜的難于求解的模型，從而使建模歸于失敗. 當(dāng)然，假設(shè)不合理或過分簡單同樣會與實(shí)際相去甚遠(yuǎn). 一般地，作出假設(shè)時要充分利用與問題相關(guān)的學(xué)科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素.

二、問題假設(shè)

人教版《普通高中教科書·物理》選擇性必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）在處理單擺問題時，做出了如下假設(shè).

（1）研究單擺時還有一個條件：與小球受到的重力及繩的拉力相比，空氣對它的阻力可以忽略. 為了更好地滿足這個條件，實(shí)驗(yàn)時我們總要盡量選擇質(zhì)量大、體積小的球和盡可能細(xì)的線.

（2）如果細(xì)線的長度不可以改變，細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫作單擺. 單擺是實(shí)際擺的理想化模型.

從上面可以發(fā)現(xiàn)，單擺的運(yùn)動規(guī)律和周期公式是在一系列的假設(shè)條件下得到的一個近似公式，是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到的. 這些假設(shè)相當(dāng)于數(shù)學(xué)建模中對實(shí)際問題的一系列簡化，為數(shù)學(xué)建模奠定了基礎(chǔ).

三、問題研討

結(jié)合單擺的學(xué)習(xí)提出以下問題.

問題1：高中物理中研究單擺的周期性進(jìn)行了哪些假設(shè)？能否說出這些假設(shè)的合理性？

問題2：知道位移怎樣求出速度？知道速度怎樣求加速度？反過來講，知道速度如何求位移？知道加速度如何求速度？

問題3：教材中采用什么方法得到了單擺的周期公式？

問題4：從牛頓第二定律和能量守恒角度，你能利用數(shù)學(xué)建模推導(dǎo)單擺的周期公式嗎？

學(xué)生回答問題小結(jié).

對于問題1，學(xué)生的回答如下：單擺的擺角較小；沒有考慮空氣的阻力；細(xì)繩不會發(fā)生變形.

對于問題2，學(xué)生由導(dǎo)數(shù)的知識很快可以解答，位移求導(dǎo)是瞬時速度，速度的積分是位移，這是一個逆運(yùn)算；同理，速度與加速之間的關(guān)系也可以類比得到. 而且位移的二階導(dǎo)數(shù)是加速度.

對于問題3，學(xué)生從教材中可以得到這是一個簡諧振動，教材中給出了數(shù)學(xué)證明；單擺的周期性是通過實(shí)驗(yàn)得到的，周期公式怎樣得到的沒有辦法說清楚.

對于問題4，學(xué)生表示沒有從這個角度思考過，也沒有想過還能夠從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行證明，也不知道如何從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行證明，教學(xué)停止在這里.

這說明數(shù)學(xué)建模和物理的結(jié)合是一個比較薄弱的環(huán)節(jié)，學(xué)生沒有從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行過有效思考. 下面是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)過程.

四、數(shù)學(xué)建模過程

1. 一個重要的不等式

當(dāng)[0<α<π2]時，求證：[sinα<α<tanα].

證明：以單位圓O的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)角[α]的終邊OP與單位圓O交于點(diǎn) P.

過點(diǎn)P作 x 軸的垂線，垂足為點(diǎn) A，單位圓與 x 軸交點(diǎn)為 C，過點(diǎn)C 作單位圓的切線交OP于點(diǎn)D，

則有[S△POC<S扇形POC<S△DOC].

所以[12OC · PA<12OC2 · α<12OC · CD].

所以[sinα<α<tanα]成立.

由圖1可知，當(dāng)[α→0]時，[sinα≈α].

2. 利用牛頓第二定律推導(dǎo)單擺周期的建模

設(shè)擺長為l，小球質(zhì)量為m，小球受力為重力mg和繩子的拉力T，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系. 拉力T 可以分解為垂直方向和水平方向的兩個力.

設(shè)擺線 l 與 y 軸在某時刻的夾角為θ.

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律[F=ma]，可以列出小球在x 軸和 y 軸兩個方向上的運(yùn)動方程.

x 軸方向的微分方程為[max=Tθsinθ].

因?yàn)閇sinθ=xl]，所以[max=mx=-Tθxl].

同理， y 軸方向的微分方程為[may=my=Tθcosθ-mg.]

由重要不等式，可知cos θ ≈ 1，[y]≈ 0，方程[may=][my=Tθcosθ-mg]可以近似表示為[0=Tθ-mg].

所以[Tθ=mg].

帶入[max=mx=-Tθxl]中得到[mx+mgxl=0].

化簡，得[x+glx=0]，即為簡諧振動的微分方程.

3. 利用機(jī)械能守恒定律建模

重物的機(jī)械能可以分為動能和勢能，即E = E動 + E勢. 在重物擺動的過程中，其機(jī)械能保持不變，為一恒定常數(shù)，而動能E動 =[12]mv2（m為重物質(zhì)量，v為速度），E勢 = mgy. 建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，x 軸為 0 勢能，則任意點(diǎn) P 處重物高度為 y.

質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)P時的勢能E勢 = mgR[1-cos θ]. 其中，R[1-cos θ]即為圖3中的 y，也就是點(diǎn)P相對于 x 軸0勢能時的高度. 顯然，當(dāng)θ = 0時，E勢 = 0，當(dāng)θ =[π2]時，E勢 = mgR. 所以勢能是關(guān)于θ的函數(shù).

物體的速度也是關(guān)于θ的函數(shù)，[vθ=dsdt=Rdθdt=][rθ]，式中ds為圖3中dθ對應(yīng)的弧度，有ds = Rdθ. 因?yàn)閇dθdt=ω]即為角速度，所以根據(jù)機(jī)械能守恒定律有E = E動 + E勢 =[12]mv2 + mgh =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ].

當(dāng) θ 較小時，由重要不等式知1 - cos θ =[2sin2θ2]≈[θ22].

帶入E =[12]mR2[θ]2 + mgR[1-cos θ]中，可以得到E =[12]mR2[θ]2 + mgR[θ22].

兩邊求導(dǎo)，得[0=mgR2 · θ · θ+mgr · θ · θ].

化簡，得[θ+gRθ=0]，即為簡諧振動的微分方程.

五、模型的求解

從簡諧振動的微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0]我們可以看到，通過合理的近似計(jì)算，從不同的角度得到了相同的表達(dá)式. 解決微分方程[x+glx=0]與[θ+][gRθ=0]是高中生的一個困難. 從學(xué)生已有認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]求n階導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

學(xué)生發(fā)現(xiàn)[fx=Acosωx+φ]和[fx=Asinωx+φ]會出現(xiàn)周期性的變化，每求導(dǎo)兩次，除去系數(shù)外會重復(fù)出現(xiàn)[cosωx+φ，sinωx+φ]，所以利用[fx=]

[Acosωx+φ]或[fx=Asinωx+φ]可以求解微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0].

選擇[fx=Acosωx+φ]帶入微分方程[x+glx=0]和[θ+gRθ=0]中，得到[x=Acosωt+φ]，其中，由[ω=gl]三角函數(shù)的周期求法可以求出單擺的周期[T=2πl(wèi)g]. 解的物理意義很明確，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角.

六、小結(jié)

這是一次數(shù)學(xué)與物理的融合課，將數(shù)學(xué)與物理進(jìn)行了有效銜接，將物理課程中能作以解釋的結(jié)果通過數(shù)學(xué)建模的方式展現(xiàn)給學(xué)生. 在推導(dǎo)單擺的周期公式的過程中，充分利用了三角函數(shù)的工具性作用，將重要的不等式[sinα<α<tanα0<α<π2]融入研究單擺的近似計(jì)算過程中，有效融合了物理與數(shù)學(xué)的學(xué)科知識. 從學(xué)生的反應(yīng)來看，他們感覺到非常神奇，一個通過物理實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論居然可以通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行數(shù)學(xué)化推理與證明. 雖然在推導(dǎo)過程中采用了近似計(jì)算方法，看似不是很精確，但是這正是微積分的“威力”所在. 利用兩種方法進(jìn)行推導(dǎo)的過程，最終揭示了單擺的周期 T 與擺動角度 θ 是無關(guān)的，因而該公式即為理論推導(dǎo)結(jié)果. 至此，學(xué)生才真正理解單擺的周期公式是怎樣推導(dǎo)出來的. 當(dāng)學(xué)生看到簡諧振動的微分方程[x+glx=0]與[θ+gRθ=0]時，流露出非常驚訝的表情，這兩個表達(dá)式完全相同，而建模的角度不同，從中可以體會到數(shù)學(xué)的簡潔之美和揭示事物本質(zhì)的功能，啟迪學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)在物理及其他學(xué)科和生活中的廣泛應(yīng)用，從中體會到了數(shù)學(xué)與物理之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.