摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該積極落實主題教學(xué)，幫助學(xué)生從大概念入手，理解數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系. 對“距離”主題的設(shè)計不僅可以充分展示不同知識點之間的聯(lián)系，也能展示如何在教學(xué)中真正發(fā)展學(xué)生的抽象思維、空間想象和遷移應(yīng)用等數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力. 信息技術(shù)為學(xué)生理解距離問題提供了很好的工具.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)軟件；數(shù)學(xué)探究；距離問題；向量方法

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）05-0059-06

引用格式：馬峰. 基于向量方法和信息技術(shù)探究距離［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（5）：59-64.

一、案例背景

數(shù)學(xué)知識往往具備高度的抽象性，而中學(xué)生正處于抽象思維能力逐步構(gòu)建的關(guān)鍵時期，他們時常面臨將抽象數(shù)學(xué)概念具象化的挑戰(zhàn)，亟須教師以極大的耐心進行詳盡闡釋. 在此背景下，數(shù)學(xué)軟件無疑成為了教師教授抽象概念時不可或缺的“得力助手”，極大地增強了教學(xué)效果.

為了有效提升學(xué)生的直觀想象能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在日常教學(xué)實踐中，筆者將距離概念作為一個核心議題進行深入探討，旨在通過使用向量方法，特別是引入信息技術(shù)手段，為學(xué)生搭建理解抽象概念的橋梁. 具體而言，運用信息技術(shù)工具，探索距離公式的推導(dǎo)過程，而非僅僅停留在公式的記憶與應(yīng)用層面. 這一過程不僅加深了學(xué)生對距離概念本質(zhì)的認(rèn)識，還促使他們經(jīng)歷了從無到有、從未知到已知的知識構(gòu)建過程，實現(xiàn)了真正意義上的學(xué)習(xí)飛躍，為學(xué)生提供了寶貴的“從0到1”的學(xué)習(xí)體驗.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出：“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實.”其還指出：“距離問題是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的很好的載體.”《標(biāo)準(zhǔn)》給出了關(guān)于教學(xué)與評價的37個案例，其中的案例16是“用向量方法研究距離問題”. 在基礎(chǔ)教育階段，我們經(jīng)常用到的距離包括：兩點之間的距離、點（不在直線上）到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點（不在平面上）到平面的距離、直線（不在平面上）到平面的距離、兩個平行平面之間的距離、兩條異面直線之間的（最短）距離及其出現(xiàn)的位置、球面距離. 其中，異面直線之間的距離在《標(biāo)準(zhǔn)》中是選修內(nèi)容，而球面距離可以作為探究活動予以使用.

顯然，距離問題的解決可以使用綜合幾何方法，也可以使用解析幾何方法，還可以使用向量方法. 向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，在解決實際問題中能發(fā)揮重要的作用. 距離問題主題教學(xué)案例可以安排在向量單元教學(xué)之后. 課前需要知曉關(guān)于向量的基礎(chǔ)知識，包括垂直與平行的向量表達，直線、平面的向量方程的各類形式，等等. 在實施過程中，致力于幫助學(xué)生發(fā)展幾何直觀，理解數(shù)學(xué)問題的發(fā)生、發(fā)展和解決的全局.

二、案例的實施

實施距離問題的教學(xué)時，希望能夠?qū)崿F(xiàn)的素養(yǎng)和能力目標(biāo)包括：通過獨立思考和創(chuàng)造性思維提出問題和解決問題；培養(yǎng)計算能力、直覺想象力和邏輯推理能力；學(xué)習(xí)知識的遷移技能. 在教學(xué)策略層面，可以嘗試使用實物（繩子、木棍和紙板）幫助學(xué)生加深理解，通過動手操作進行學(xué)習(xí)，這符合“具身認(rèn)知”的認(rèn)識規(guī)律. 利用數(shù)學(xué)軟件（GeoGebra軟件）幫助學(xué)生理解空間關(guān)系. 在探究各種問題的解決方法的過程中，注重讓學(xué)生自己找方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.

1. 介紹與引入

課堂伊始，教師提問：在幾何學(xué)中，構(gòu)成圖形的基本元素有哪些？學(xué)生一般都能給出點、直線和平面. 借著這個機會，教師告知學(xué)生今天的學(xué)習(xí)主題是距離. 由此，學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下，自主猜測本節(jié)課即將探究的內(nèi)容，它們包括：兩點之間的距離、點（不在直線上）到直線的距離、兩條平行線之間的距離、點（不在平面上）到平面的距離、直線（不在平面上）到平面的距離、兩個平行平面之間的距離、兩條異面直線之間的（最短）距離. 甚至?xí)袑W(xué)生提出球面距離問題.

這里的設(shè)計采取了建構(gòu)主義——拋錨式教學(xué)設(shè)計的模式. 教學(xué)活動緊緊圍繞“錨”來設(shè)計，而這里的“錨”就是對距離的個案研究. 不僅如此，在拋出這個“錨”后，允許學(xué)生自己生成待辦的任務(wù)清單. 具體來講，教師設(shè)定了教學(xué)的主題“距離”，然后讓學(xué)生自己經(jīng)歷“制造問題”的過程，這有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的來源，也提升了他們解決自己“制造”的問題的興趣.

2. 從簡單到復(fù)雜，探索距離問題的計算方法

從最簡單的兩點之間的距離開始，教師對每個距離問題使用向量方法進行分析和處理. 其間，還會視情況使用實物道具和數(shù)學(xué)軟件輔助學(xué)生理解. 顯然，兩點之間的距離可以一帶而過.

（1）點到直線的距離.

為了幫助學(xué)生逐步進入狀態(tài)，教師自己動手或者讓學(xué)生動手，使用繩子丈量一個點到筆直木棍的距離，以便溫習(xí)“垂線最短”這個初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識. 同時，讓學(xué)生感受到：點到直線的距離本質(zhì)上是點與點之間的距離. 此時，利用數(shù)學(xué)軟件，便捷、實時地展示兩點之間的距離，幫助學(xué)生從直觀上理解點到直線的距離何時最短. 如圖1，使用數(shù)學(xué)軟件觀察直線上的動點Q的坐標(biāo)和P，Q兩點間的距離的實時變化情況. 通過觀察代數(shù)區(qū)的PQ的度量值和數(shù)量積的結(jié)果，觀察距離達到最短的位置，以及這個最短距離是何時出現(xiàn)的. 在完成直觀理解后，即可過渡到計算環(huán)節(jié).

例1 一條直線的向量方程為[xyz=111+t135，t∈R，]

求點[P-3，-1，4]到這條直線的最短距離.

教師先讓學(xué)生自行思考如何得出最短距離，學(xué)生得到方法1.

方法1：使用直線上的點Q的坐標(biāo)（帶參數(shù)[t]），計算點P和點Q之間的距離，該距離是關(guān)于[t]的函數(shù)（此處是二次函數(shù)），要求的是這個函數(shù)的最小值. 學(xué)生可以利用二次方程的求根公式求出最短距離. 使用此方法可以同時計算出參數(shù)[t]的值，以便找到產(chǎn)生最短距離的直線上的相應(yīng)的點.

若學(xué)生僅止步于當(dāng)前方法，則有必要引導(dǎo)學(xué)生進一步探索，考慮采用向量方法求解問題. 下文提供三種可能的向量方法作為參考. 值得注意的是，方法3和方法4中均融入了投影向量的核心概念，意在拓寬學(xué)生的解題思路和技能應(yīng)用的范圍.

方法2：當(dāng)我們自某一點向一條直線作垂線時，該垂線段即代表了點到直線的最短距離. 為此，我們可以利用直線的方向向量與從點P出發(fā)至直線上任意一點所形成的向量的數(shù)量積，并令此數(shù)量積為0，求解出對應(yīng)的參數(shù)值，進而確定垂足在直線上的坐標(biāo). 隨后，基于該垂足的坐標(biāo)與點P的坐標(biāo)，即可計算出所需的最短距離.

方法3：選擇直線上的任意一點Q. 假設(shè)直線的方向向量為[m]，那么該點到直線的最短距離就是[PQ×mm].

方法4：給出一個垂直于給定直線的向量[n]，然后選擇直線上的任意一點Q，則從點[P]到該給定直線的最短距離是[PQ ? nn]. 在三維場景中， 直線與不在其上的任意一點必然共同確定了一個平面，向量[n]必須在這個平面上. 在二維場景下，這是一種很方便的方法.

以上四種方法展示了解決問題的不同方案，更為重要的是，揭示了不同知識點之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地理解了數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性和整體性. 具體過程和計算結(jié)果略.

（2）兩條平行直線之間的距離.

在引導(dǎo)學(xué)生自主探索這一問題的過程中，學(xué)生可能會迅速洞察到，通過選取直線上任意一點，能夠?qū)⒃瓎栴}轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題. 這一過程不僅彰顯了學(xué)生知識遷移與應(yīng)用的能力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸思想的精髓——將復(fù)雜問題簡化為已知或更易處理的形式. 此外，學(xué)生還可能展現(xiàn)出創(chuàng)新思維. 例如，他們可能會通過構(gòu)造同時垂直于兩條給定直線的向量，推導(dǎo)出同時垂直于兩條平行直線的一條新直線的方程，并據(jù)此計算兩個交點間的距離，從而得到兩條平行線間的距離. 這一環(huán)節(jié)7/V4oby/Y72eetetREGSN4sWWkS01xRc1wUImFpIwuQ=的設(shè)計體現(xiàn)了教學(xué)過程的一個重要特點，即雙邊性. 它意味著教學(xué)過程是教師和學(xué)生、教與學(xué)的雙邊互動過程，是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程. 教師和學(xué)生，教和學(xué)，既相互對立又相輔相成. 教師的教是為學(xué)生的學(xué)而存在的，教的有效性僅僅表現(xiàn)為對學(xué)的有效引導(dǎo). 在教學(xué)過程中，學(xué)生根據(jù)所學(xué)內(nèi)容和方法，主動提出解決方案的過程正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培育的有效表征.

（3）點到平面的距離及其拓展.

① 點到平面的距離.

教師繼續(xù)考慮使用實物和數(shù)學(xué)軟件進行兩次演示. 教師通過演示操作或者邀請學(xué)生參與活動，使用繩子丈量一個點到紙板（一個平面）的距離，從而讓學(xué)生直觀感受到在過點作平面的垂線的情況下距離最短. 同時，讓學(xué)生感受到，點到平面的距離的本質(zhì)仍然是點與點之間的距離. 此時，再次利用數(shù)學(xué)軟件便捷、實時地展示兩點間的距離，幫助學(xué)生在直觀上理解點到平面的距離何時最短，如圖2所示.

在圖2中，通過觀察代數(shù)區(qū)的PQ的度量值和數(shù)乘的結(jié)果觀察何時距離達到最短，以及這個最短距離是在何種情況下出現(xiàn)的. 在完成直觀理解后，即可過渡到計算環(huán)節(jié).

這里的數(shù)學(xué)軟件的使用方法與點到直線的情況是類似的，主要是通過觀察兩點間距離的變化和位置關(guān)系來增強認(rèn)識，為后續(xù)計算做好鋪墊. 教師可以指導(dǎo)學(xué)生探究解決此類問題的一般方法，具體問題由學(xué)生練習(xí)，以加深印象.

對于平面[ax+by+cz=d]，其法向量為[n=abc]. 點[Px0，y0，z0]到此平面的最短距離的求解方式如下.

方法1：先求得垂直于平面的直線方程[xyz=x0y0z0+]

[tabc]，然后找到這條直線與平面的交點（垂足），從而求出該點到平面的距離.

方法2：在平面上找任意一點Q，則最短距離為[PQ ? nn].

教師可以鼓勵學(xué)生體驗第二種方法的“妙”處：它跳過了找產(chǎn)生最短距離的點的具體位置的過程，使用現(xiàn)成的數(shù)量積工具直接求得最短距離.

例2 求從點[-3，1，4]到平面[x+y-3z=-3]的距離.（解題過程略.）

② 拓展.

接下來，順勢深入探究直線與平面間距離的度量問題. 在此過程中，教師啟迪學(xué)生：此類問題可以巧妙轉(zhuǎn)化為點到平面的距離進行求解. 使學(xué)生再次深刻體會數(shù)學(xué)中化歸這一核心思想方法的精妙之處.

隨后，進一步拓展至對兩個平行平面間距離的探討. 同樣地，教師可以借助實物模型和數(shù)學(xué)軟件的綜合演示，直觀展示平行平面間距離的定義，以促進學(xué)生的深刻理解. 從方法論的角度出發(fā)，可以先在任一平行平面上選定任意一點或一條直線，隨后將問題轉(zhuǎn)化為求解該點或直線到另一平行平面的距離問題，這一轉(zhuǎn)化過程再次彰顯了化歸思想的魅力. 另一路徑是構(gòu)造一條同時垂直于兩個平行平面的直線，確定其與兩個平面的交點（即垂足），隨后計算這兩個垂足之間的距離，從而得到兩個平行平面之間的距離. 此方法與先前求解兩條平行線之間的距離所采用的垂線法有異曲同工之妙，實質(zhì)是將該方法“遷移”至立體幾何的情境中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識與方法間的內(nèi)在聯(lián)系與靈活運用.

（4）異面直線的距離.

這一部分是距離主題的第一個“重頭戲”：探索兩條異面直線之間的距離，以及最短距離出現(xiàn)的位置. 教師可以用實物和GeoGebra軟件進行兩次演示. 首先，教師利用教學(xué)輔助道具展示兩條異面直線的空間位置，也可以讓學(xué)生直接參與動手操作，幫助學(xué)生直觀理解和想象兩條異面直線間的最短距離可能會出現(xiàn)在哪里，幾次嘗試之后應(yīng)該會有很好的效果. 其次，使用數(shù)學(xué)軟件直觀展示最短距離出現(xiàn)的位置，以及最短距離的長度，具體如圖3所示. 其中，PQ的長即是連接兩條異面直線上任意兩點的線段的距離.

最后，教師使用圖4解釋：兩條異面直線之間的最短距離來自于一條同時垂直于兩條異面直線的線段，它的長度小于連接這兩條異面直線的任何其他線段之長. 進一步，教師通過一系列邏輯推理和作圖過程說明這條線段的唯一性.

通過例3，使用代數(shù)方法求出最短距離在兩條異面直線上產(chǎn)生的位置.

例3 找到異面直線[r1=123+m101]和[r2=231+n12-1]

之間的最短距離，并給出產(chǎn)生最短距離的兩條異面直線上的點的坐標(biāo).（解題過程略.）

（5）球面距離.

球面距離的求解是距離主題教學(xué)的第二個“重頭戲”. 目前，球面距離雖然不在《標(biāo)準(zhǔn)》的覆蓋范圍內(nèi)，但是作為主題教學(xué)的內(nèi)容仍然是非常合適的，有利于培養(yǎng)學(xué)生對概念的理解、直觀想象和邏輯推理能力. 從建立合適的圖形出發(fā)進行推理，便能夠很快給出球面距離的定義，學(xué)生也能夠根據(jù)給定的方法迅速求解各類題目. 但是，筆者認(rèn)為，一定要在球面距離定義的生成中多花些時間，而不是匆匆略過. 通過多種方法，特別是借助信息技術(shù)幫助學(xué)生自然生成對球面距離定義的理解至關(guān)重要，這是讓學(xué)生體驗“從0到1”的又一次機會.

① 普遍做法.

針對這個教學(xué)難點，一種普遍且高效的做法是在極短的時間內(nèi)，甚至不足一分鐘，教師便能夠完成一整套邏輯推理過程：球面上連接兩點的圓中，半徑越大的圓，這兩點之間的劣弧長度越短，而球面上的圓的半徑最大的圓就是大圓，因此，連接兩點的大圓產(chǎn)生的劣弧長最短，這個長度被定義為這兩點間的球面距離.

這樣的推理過程確實是高效的，對于思維能力強的學(xué)生來說，或許是很容易理解的. 但是對于大部分學(xué)生而言，這樣的講解或許還是太快了，容易導(dǎo)致學(xué)生跳過對這個問題的思考和對方法的理解，直接開始計算以迅速得到答案. 筆者認(rèn)為，需要厘清球面距離的概念對于學(xué)生的挑戰(zhàn)到底在哪里.

② 疑問與應(yīng)對.

這里有四個關(guān)鍵點需要授課教師進行周到考慮和回應(yīng). 對于這四個關(guān)鍵點，如果僅進行口頭解釋，或許對教師的語言駕馭能力要求很高. 另外，就算教師解釋得很充分，學(xué)生也未必能夠理解. 如果借助數(shù)學(xué)軟件，設(shè)計數(shù)學(xué)活動過程，讓這里的教學(xué)適當(dāng)“慢”下來，需要備課時花較多的時間和力氣，但是能夠收到較好的認(rèn)知效果.

關(guān)鍵點1：度量球面距離的曲線為何必須出現(xiàn)在同一個平面上？（以產(chǎn)生大圓或小圓.）

為了幫助學(xué)生理解這個問題，可以設(shè)計一個學(xué)生動手操作的過程，提高學(xué)生的參與度. 例如，可以讓學(xué)生使用地球儀、繩子等物品對球面上兩點間的距離進行手動測量，從而獲得直觀的感受. 甚至可以策劃一個測量兩點間各種距離的活動，這樣的設(shè)計能增加學(xué)生的直接活動經(jīng)驗，有助于加深學(xué)生對概念的認(rèn)識.

關(guān)鍵點2：平面和球體相交產(chǎn)生的面為什么是個圓？

針對該問題，可以先通過數(shù)學(xué)軟件進行直觀演示（如圖5），然后進行嚴(yán)格證明（略）.

關(guān)鍵點3：既然產(chǎn)生不同球面距離的小圓和大圓并不在同一平面上，那么用圖6進行推導(dǎo)求解的依據(jù)是什么？

針對該問題，可以借助數(shù)學(xué)軟件設(shè)計實驗收集數(shù)據(jù)，從而進行分析、比較，獲得直觀上的感受. 這里，使用GeoGebra軟件在球面上收集經(jīng)過某兩點的各大圓和小圓的相關(guān)劣弧和對應(yīng)半徑的長度，并利用軟件作出兩者的散點圖（如圖7），從而理解為什么經(jīng)過兩點的大圓的劣弧可以作為球面上兩點間的最小距離，并被定義為球面距離. 這樣的工作也可以使用手工進行，但測量難度大，誤差大，可信度較低. 相比而言，信息技術(shù)的使用提高了測量的效率和數(shù)據(jù)的可信度. 不管是通過手工測量還是使用數(shù)學(xué)軟件，后續(xù)都需要對大量數(shù)據(jù)進行分析，這種能力的培養(yǎng)也是《標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.

關(guān)鍵點4：為什么小圓的劣弧比大圓的劣弧更長？

對于該問題，可以先通過數(shù)學(xué)軟件進行觀察（如圖6），再由學(xué)生在此基礎(chǔ)上對“在所有連接了這兩點的球面上的圓中，大圓的劣弧最短”這一結(jié)論進行嚴(yán)格證明.

在逐步生成對球面距離定義的深刻理解之后，具體的球面距離的解法是常規(guī)性教學(xué)方法，余弦定理、扇形、弧長、圓心角、弧度制等數(shù)學(xué)知識，緯度、經(jīng)度、本初子午線等地理知識，在這里都得以應(yīng)用，具體解法略.

3. 對案例設(shè)計的回顧

本案例以距離概念為核心，以向量主題為引領(lǐng)，結(jié)構(gòu)化地設(shè)計了課程內(nèi)容. 同時，充分利用數(shù)學(xué)軟件展示了距離的變化過程，補全了傳統(tǒng)手段的短板，從而幫助學(xué)生發(fā)展了幾何直觀，提升了空間想象能力，感悟了“最短距離”的本質(zhì).

這個主題案例的設(shè)計是在向量知識的基礎(chǔ)之上，使用“距離”這個主題串聯(lián)了很多不同的知識和技能. 其中，除了球面距離之外，重點是用向量計算各種距離問題. 從中可以看出，方向向量和平面的法向量對于使用向量解決距離問題非常重要；可以積極使用數(shù)量積和向量積的方法求解距離；直線的參數(shù)形式在求解距離問題時非常有用；這些距離問題是相互關(guān)聯(lián)的，問題之間有時可以相互轉(zhuǎn)化. 在球面距離部分，因涉及跨學(xué)科（地理）知識，教師還可以采取“翻轉(zhuǎn)課堂”的模式，在課前給出預(yù)習(xí)材料，從而提高課堂教學(xué)效率，降低跨學(xué)科教學(xué)的難點，加深學(xué)生的理解.

這個主題案例的設(shè)計并沒有局限于傳統(tǒng)的講授方法，通過讓學(xué)生參加、動手操作等方式加強了其對距離問題的理解，而恰到好處地使用數(shù)學(xué)軟件使得解釋變得更加生動直觀，也使得數(shù)學(xué)課堂更加吸引學(xué)生，特別是幫助學(xué)生發(fā)展了直觀想象素養(yǎng).

另外，在這個主題案例的設(shè)計中，教師有意淡化計算，強調(diào)了對方法的生成性探索和對知識的自主建構(gòu)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》對培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的期待和要求.

三、總結(jié)

《標(biāo)準(zhǔn)》不僅重視學(xué)科大概念、課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、主題引領(lǐng)，也希望通過信息技術(shù)的運用，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達到的效果，從而優(yōu)化課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力. 這個主題案例較好地響應(yīng)了《標(biāo)準(zhǔn)》的以上要求.

主題案例的設(shè)計還需要搭好適合不同學(xué)生的“腳手架”，做到差異化教學(xué)：素養(yǎng)能力強的學(xué)生在課堂活動中有機會直接驗證自己的想法；素養(yǎng)正在發(fā)展過程中的學(xué)生，能夠根據(jù)教師的指引逐步打開思路，發(fā)展自己的想象能力和抽象能力.

在充裕時間的保障下，課堂活動需要積極探索讓學(xué)生親自動手操作數(shù)學(xué)軟件的實踐模式，鼓勵學(xué)生自主發(fā)問并借助數(shù)學(xué)軟件進行深入探索，以此作為促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面提升的重要途徑. 值得強調(diào)的是，數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)軟件的目的，絕非僅為課堂形式之美化，而是旨在精準(zhǔn)填補單純口頭講授或圖形示意難以觸及的知識或思維盲區(qū)，成為輔助學(xué)生深化概念理解、掌握關(guān)鍵技能的得力工具，尤其是在增強直觀感知能力方面，信息技術(shù)能夠發(fā)揮不可替代的作用. 更為關(guān)鍵的是，此類教學(xué)模式應(yīng)該致力于引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念和思想方法“從0到1”的認(rèn)知飛躍，而非局限于對既有公式與方法的機械重復(fù)與熟練記憶. 通過精心設(shè)計教學(xué)案例，從根本上激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，幫助他們成長為具備創(chuàng)新精神和實踐能力的新時代人才，鼓勵他們勇于探索未知，開啟新的篇章.

參考文獻：

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