[摘 要] 隨著新課改的深入實(shí)施，整體性思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用變得日益頻繁. 通過基于整體性思維模式來設(shè)計(jì)單元教學(xué)，能夠顯著提高教學(xué)效果，并為學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 文章以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，分別從概念界定、教學(xué)分析、教學(xué)實(shí)施與教學(xué)思考四個(gè)方面展開實(shí)踐與研究.

[關(guān)鍵詞] 整體性思維;單元教學(xué);三角函數(shù)

在整體性思維方式的指導(dǎo)下，單元教學(xué)模式作為新課改的具體體現(xiàn)，激發(fā)了教育工作者的靈感. 這種模式鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與課堂活動(dòng)和思考過程，對(duì)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維素質(zhì)發(fā)揮著關(guān)鍵作用. 筆者基于實(shí)際教學(xué)和學(xué)習(xí)情況，對(duì)這種教學(xué)模式進(jìn)行了深入的探索和研究，并取得了顯著的成果.

核心概念界定

1. 整體性思維

整體性思維屬于辯證邏輯思維中的一類獨(dú)立思維，具備連續(xù)性、立體性與系統(tǒng)性特征. 連續(xù)性指將研究對(duì)象視為不斷發(fā)展的延續(xù)過程;立體性指基于縱、橫兩個(gè)維度觀察事物屬性，揭露諸多因素之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系結(jié)構(gòu);系統(tǒng)性指綜合分析事物本質(zhì)，根據(jù)其層次結(jié)構(gòu)構(gòu)建完整的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，獲得事物的全貌. 數(shù)學(xué)整體思維指從全局的維度全面觀察數(shù)學(xué)事物本質(zhì)的過程，即用“集成”的眼光觀察數(shù)學(xué)圖形、式子、概念等，將它們視為具有內(nèi)在關(guān)系的整體.

2. 單元教學(xué)

單元教學(xué)指基于章節(jié)或單元的視角，根據(jù)學(xué)情與知識(shí)特點(diǎn)綜合應(yīng)用各種教學(xué)策略提升教學(xué)成效的一種教學(xué)模式. 單元教學(xué)應(yīng)遵循整體性、相關(guān)性、階梯性與綜合性原則，基于宏觀視角設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，并擬定相應(yīng)的教學(xué)方案. 每個(gè)教學(xué)活動(dòng)都應(yīng)緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，特別是問題的設(shè)計(jì)，應(yīng)遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則. 這是提升學(xué)生整體性思維、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑之一.

整體性思維方式下單元教學(xué)模式的分析

1. 教學(xué)模式

根據(jù)整體性思維的特點(diǎn)與單元教學(xué)所遵循的原則，筆者參考鐘啟泉教授基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)理念，確定整體性思維方式下數(shù)學(xué)概念課單元教學(xué)模式（見圖1）.

2. 教學(xué)流程

本節(jié)課以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例，基于單元整體視角設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，旨在讓學(xué)生通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)掌握一類概念的研究方法. 如圖2所示，筆者從整體性思維出發(fā)，根據(jù)概念教學(xué)的普適性從圖中所示的幾方面設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng).

3. 教學(xué)思路

本節(jié)課綜合考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、教師的教學(xué)狀況以及考試要求，主要采用啟發(fā)式教學(xué)方法，旨在激發(fā)學(xué)生運(yùn)用整體性思維，從單元整體的角度出發(fā)，鼓勵(lì)他們自主觀察、探索和思考問題. 在教學(xué)中，使用GeoGebra軟件輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過親身體驗(yàn)概念的構(gòu)建和演變，掌握傳統(tǒng)的概念學(xué)習(xí)技巧，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)簡錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

數(shù)學(xué)概念一般都比較抽象，有些學(xué)生即使能流暢地背誦概念，卻無法從真正意義上理解概念的內(nèi)涵與外延. 豐富的教學(xué)情境可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)觸及概念本質(zhì)，從而產(chǎn)生主動(dòng)探索概念的內(nèi)驅(qū)力[1].

通過PPT展示摩天輪，引導(dǎo)學(xué)生利用個(gè)人認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)理解圓周運(yùn)動(dòng)的普遍性，并呈現(xiàn)圖3（單位圓模型），揭露“點(diǎn)P逆時(shí)針圍繞點(diǎn)O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)”為其特點(diǎn)，同時(shí)提出相關(guān)問題.

問題1 如何準(zhǔn)確地刻畫點(diǎn)P的位置變化？

生1：可從點(diǎn)P與點(diǎn)O的位置關(guān)系來刻畫點(diǎn)P的位置變化.

生2：可從角α的大小對(duì)點(diǎn)P的位置的影響進(jìn)行分析.

師：想法都很好，究竟哪種方法更合適一些呢？

師生討論，最終認(rèn)同生2的方法更合適一些，因?yàn)榻铅量汕逦伢w現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

設(shè)計(jì)意圖 摩天輪作為學(xué)生感興趣的生活事物，可以作為課堂引入的起點(diǎn). 這樣的做法不僅能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，而且有助于學(xué)生理解單位圓概念. 通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生能夠親身體驗(yàn)到數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系，并且理解到任意角的概念是如何從實(shí)際生活中抽象而來的.

2. 探究新知，生成概念

整體性思維下的新知探究需發(fā)揮好學(xué)生的主體性作用，如借助問題鏈逐層遞進(jìn)地引發(fā)學(xué)生深思，讓學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵. 同時(shí)，采用合作交流的方式，為學(xué)生提供廣泛的思考和交流機(jī)會(huì)，這不僅有助于建立學(xué)習(xí)自信，也是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有效途徑.

問題2 基于之前探索函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你們認(rèn)為可以使用哪種函數(shù)模型來描述上述運(yùn)動(dòng)規(guī)律？具體而言，我們應(yīng)采用哪種方法進(jìn)行研究？

生3：在解決函數(shù)模型問題時(shí)，通常需要構(gòu)建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系. 本問題涉及任意角，因此還需要利用單位圓來進(jìn)行分析.

師：很好！如圖4所示，請(qǐng)大家求角α分別為，，時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo).

要求兩名學(xué)生板演，其余學(xué)生自主完成，教師加強(qiáng)巡視，鼓勵(lì)同桌之間互相驗(yàn)證結(jié)論正確與否.

追問1：大家在分析點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)，運(yùn)用了哪些先前學(xué)習(xí)的知識(shí)？能否詳細(xì)描述一下探索的具體步驟？

生4：用到了直角三角形的性質(zhì)，以α等于為例，過點(diǎn)P作x軸的垂線，M為垂足，則從直角三角形的性質(zhì)出發(fā)，探索Rt△PMO，可順利獲得點(diǎn)P的坐標(biāo).

追問2：每一個(gè)角α所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)具有唯一性嗎？

生5：考慮到單位圓的半徑不會(huì)發(fā)生變化，點(diǎn)P的坐標(biāo)與角α的大小相關(guān)，因此每一個(gè)角α所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)具有唯一性.

問題3 （用GeoGebra軟件對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過程進(jìn)行演示）請(qǐng)大家觀察角α的終邊與單元圓的交點(diǎn)P，嘗試用函數(shù)來描述這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

生6：對(duì)于R內(nèi)的任意角α，其終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P具有唯一性，主要關(guān)系如下：任意角α與唯一的實(shí)數(shù)x相對(duì)應(yīng)，任意角α與唯一的實(shí)數(shù)y相對(duì)應(yīng)，x，y均處于[-1，1]內(nèi).

師：非常好！哪位同學(xué)愿意歸納一下？

生7：兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系均是“R→[-1， 1]”的函數(shù)，即對(duì)于任意角α∈R，其終邊與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)均具有確定的唯一性，因此，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y均為角α的函數(shù).

師：不錯(cuò)！現(xiàn)在請(qǐng)大家一起來看什么是三角函數(shù)（用PPT展示三角函數(shù)的定義）.

設(shè)計(jì)意圖 追問1旨在通過引導(dǎo)，讓學(xué)生利用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來思考問題. 追問2則著重于讓學(xué)生理解對(duì)應(yīng)關(guān)系的唯一性，熟悉從特殊到一般的思想方法，明確任意角與單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為引出三角函數(shù)的定義打下基礎(chǔ). 問題3結(jié)合代數(shù)與幾何，引導(dǎo)學(xué)生深入理解函數(shù)關(guān)系以及三角函數(shù)的定義，并為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力創(chuàng)造了條件.

3. 概念辨析，強(qiáng)化概念

問題4 誰來具體談?wù)務(wù)液瘮?shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)是什么？

生8：任意角α所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是角α的正弦函數(shù)，橫坐標(biāo)x是角α的余弦函數(shù)，縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值是角α的正切函數(shù).

師：有沒有需要補(bǔ)充的？

生9：當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=0時(shí)，角α的終邊位于y軸，α=+kπ（k∈Z），此時(shí)tanα=沒有意義. 因此，須在“縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值是角α的正切函數(shù)”中添加“x≠0”的條件.

追問1：sinα，cosα，tanα分別代表什么？

生10：sinα，cosα，tanα分別代表角α與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y、橫坐標(biāo)x，以及縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值.

追問2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么？

生11：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集，正切函數(shù)的定義域?yàn)閤x≠

+kπ，k∈Z .

追問3：分析任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的定義的區(qū)別.

生12：直角三角形是銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)，因?yàn)槊鞔_為銳角，故各邊長比值均為正數(shù);任意角三角函數(shù)涉及任意角與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，存在為負(fù)數(shù)的情況.

設(shè)計(jì)意圖 該環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生清晰理解三角函數(shù)的符號(hào)、關(guān)系和定義域，為建立全面的認(rèn)知結(jié)構(gòu)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 同時(shí)，需要特別關(guān)注任意角為軸線角的特殊性. 通過這樣的設(shè)計(jì)，旨在深化學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，并培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 通過對(duì)比兩種三角函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生連接新舊知識(shí)，為靈活應(yīng)用做準(zhǔn)備，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的類比思維和邏輯推理能力.

4. 例題鞏固，應(yīng)用概念

例1 求的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值與正切函數(shù)值.

例2 已知（x，y）為任意角α的終邊上任意點(diǎn)P（與原點(diǎn)不重合）的坐標(biāo)，r為原點(diǎn)O與點(diǎn)P的距離. 求證：sinα=，cosα=，tanα=.

例3 討論時(shí)鐘上時(shí)針在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，各個(gè)準(zhǔn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值.

例4 請(qǐng)自行列舉一些生活中可以用三角函數(shù)模型刻畫的圓周運(yùn)動(dòng)變化的例子.

設(shè)計(jì)意圖 例1旨在讓學(xué)生掌握使用概念求三角函數(shù)值的基本方法;例2通過相似關(guān)系的分析，加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的理解，并鞏固知識(shí)基礎(chǔ);例3和例4則鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋日?，F(xiàn)象，揭示數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展“四能”和“三會(huì)”.

5. 總結(jié)提升，反思概念

要求學(xué)生從以下三個(gè)維度進(jìn)行總結(jié)與反思：①梳理三角函數(shù)概念的形成過程;②提煉本節(jié)課所采用的探究方法，并感悟銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;③反思整個(gè)學(xué)習(xí)過程，總結(jié)其中遇到的問題.

設(shè)計(jì)意圖 回顧課堂教學(xué)和研究方法，有助于厘清知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)，明確函數(shù)教學(xué)主線，培養(yǎng)反思和總結(jié)能力.

教學(xué)思考

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注點(diǎn)在學(xué)生的知識(shí)掌握程度上，而新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注“四基”與“四能”的發(fā)展，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理、抽象、直觀想象等綜合素養(yǎng)[2]. 采用整體性思維來設(shè)計(jì)單元教學(xué)，能夠滿足新課標(biāo)下對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的需求. 因此，這是一個(gè)值得深入探討和研究的課題.

筆者依據(jù)整體性思維的原則，針對(duì)教學(xué)內(nèi)容的特性，精心設(shè)計(jì)了教學(xué)方案. 該方案引導(dǎo)學(xué)生全面經(jīng)歷概念的引入、構(gòu)建、辨識(shí)、應(yīng)用以及反思各個(gè)環(huán)節(jié)，確保在每個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生都置于學(xué)習(xí)中心. 學(xué)生通過獨(dú)立思考、積極探究以及合作交流的方式，探索新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，這不僅有助于他們完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還逐步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力.

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的單元教學(xué)需要整體性思維. 概念教學(xué)不能期望學(xué)生迅速全面掌握，因?yàn)閿?shù)學(xué)是系統(tǒng)性學(xué)科，知識(shí)間有聯(lián)系. 只有引導(dǎo)學(xué)生從整體視角實(shí)踐探索，才能有效連接新舊知識(shí)，完善認(rèn)知體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 李平. 例談如何在數(shù)學(xué)化的過程中滲透數(shù)學(xué)建模：以“三角函數(shù)的概念”教學(xué)為例[J]. 韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，42（6）：103-108.