[摘 要] 課堂上給學(xué)生留下充足的思考時(shí)間，為學(xué)生創(chuàng)造更多的提問、探索與表達(dá)的機(jī)會(huì)，可有效發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng). 文章以“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例，從“情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)探究興趣”“積極互動(dòng)，揭露知識(shí)本質(zhì)”“例題分析，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)”“回顧反思，提煉總結(jié)升華”四個(gè)方面展開教學(xué)設(shè)計(jì)與分析.

[關(guān)鍵詞] 過程;核心素養(yǎng);指數(shù)函數(shù)

隨著新課改的推進(jìn)，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)已成為各門學(xué)科教學(xué)的主要任務(wù). 高中數(shù)學(xué)教學(xué)，該如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，為學(xué)生提供充足的思考時(shí)間，將課堂提問的權(quán)利、探索過程以及表達(dá)的機(jī)會(huì)都留給學(xué)生，可有效提高學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生從真正意義上掌握概念的內(nèi)涵與外延，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)力. 本文以“指數(shù)函數(shù)”為例，談?wù)勅绾螌?shí)踐這一教學(xué)理念.

教學(xué)簡錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)探究興趣

情境1 統(tǒng)計(jì)顯示，某市在2023年共產(chǎn)生了1千萬噸垃圾，如果以年均8%的速度增長，那么在2024年該市大約會(huì)產(chǎn)生多少垃圾？2025年呢？如果將2024年記為第一年，該市第x年產(chǎn)生的垃圾量為y，請(qǐng)寫出x與y之間的關(guān)系式.

對(duì)于學(xué)生而言，這個(gè)情境問題的難度不大. 學(xué)生很快就計(jì)算出該市在2024年產(chǎn)生的垃圾量為1.08千萬噸，在2025年產(chǎn)生的垃圾量為1.082千萬噸;關(guān)系式為y=1.08x（x∈N*）.

情境2 有人說，將一張普通的紙張連續(xù)對(duì)折64次，能搭建起地球通向月球的階梯. 對(duì)于這個(gè)說法，大家覺得可信度是多少？現(xiàn)在請(qǐng)大家取出白紙自主折疊，在折疊過程中探索對(duì)折次數(shù)x與對(duì)折后紙張的層數(shù)y之間的關(guān)系，并寫出關(guān)系式. 若白紙的面積是1，經(jīng)過多次對(duì)折后，每層紙張的面積y與對(duì)折次數(shù)x之間存在怎樣的關(guān)系？用式子表達(dá)出來.

對(duì)于這個(gè)情境問題，學(xué)生通過思考與交流，得到對(duì)折次數(shù)x與對(duì)折后紙張的層數(shù)y之間的關(guān)系式為y=2x（x∈N*）;每層紙張的面積y與對(duì)折次數(shù)x之間的關(guān)系式為y=

x（x∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)情境與學(xué)生的生活有一定的聯(lián)系. 情境1的提出，一方面引發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的探索興趣，另一方面引發(fā)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，讓學(xué)生切身感知當(dāng)前的垃圾產(chǎn)量巨大，對(duì)未來生活會(huì)產(chǎn)生較大的負(fù)面影響，因此需做好日常的垃圾分類工作，爭取做一個(gè)環(huán)保達(dá)人. 關(guān)于情境2，學(xué)生并不陌生，但要寫出相應(yīng)的關(guān)系式，需要通過思考與交流. 這兩個(gè)情境成功吸引了學(xué)生的思維，使其聚焦于教學(xué)主題，為后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的開展做好了鋪墊.

2. 積極互動(dòng)，揭露知識(shí)本質(zhì)

（1）探索指數(shù)函數(shù)的一般形式

師：借助以上兩個(gè)情境，咱們獲得了幾個(gè)關(guān)系式？

生1：三個(gè)關(guān)系式：y=1.08x（x∈N*），y=2x（x∈N*）與y=

x（x∈N*）.

師：如果將關(guān)系式中的“x∈N*”改成“x∈R”，那么這三個(gè)關(guān)系式能否構(gòu)成x與y的函數(shù)表達(dá)式呢？

學(xué)生給出肯定的答案，因?yàn)槊恳粋€(gè)確定的x，均存在唯一確定的y和它對(duì)應(yīng). 在此基礎(chǔ)上，教師要求學(xué)生說一說這三個(gè)函數(shù)表達(dá)式的共同特征. 學(xué)生經(jīng)交流和補(bǔ)充，列舉了以下三個(gè)特征：三個(gè)函數(shù)表達(dá)式均為指數(shù)式，x均位于指數(shù)上，底數(shù)均為常數(shù).

師：能否根據(jù)以上特征，寫出此類函數(shù)的一般形式？

生2：y=ax.

師：咱們觀察這個(gè)函數(shù)表達(dá)式，可見底數(shù)是常數(shù)，自變量位于指數(shù)上，但它的定義域是什么呢？

生3：應(yīng)該是實(shí)數(shù)集R.

師：類似于y=ax（x∈R）的函數(shù)，就是我們即將重點(diǎn)探索的一種新函數(shù)——指數(shù)函數(shù)（板書：指數(shù)函數(shù)）. 現(xiàn)在請(qǐng)大家列舉一些指數(shù)函數(shù).

生4：如y=a3，y=a-5等.

生5：我認(rèn)為生4所舉的這兩個(gè)例子不對(duì)，因?yàn)檫@兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式不符合指數(shù)函數(shù)的定義. 指數(shù)函數(shù)的指數(shù)是自變量x，但這兩個(gè)函數(shù)的指數(shù)均為常數(shù).

師：誰來列舉一些指數(shù)函數(shù)的例子？

生6：如y=3x，y=1x，y=（）x.

生7：還可以補(bǔ)充一些，如y=

，y=（-3）x，y=0x.

生8：他們列舉的函數(shù)雖然都符合y=ax的形式，但都沒有提及定義域.

師：很好！是不是大家列舉的所有函數(shù)的定義域均為R呢？現(xiàn)在請(qǐng)大家合作討論.

學(xué)生合作討論后獲得結(jié)論為：y=0x并不滿足定義域?yàn)镽的要求，當(dāng)x≤0時(shí)，該式就沒有實(shí)際意義了;y=（-2）x也不滿足定義域?yàn)镽的要求，因?yàn)椋?2）=無意義;而y=1x的結(jié)論恒為y=1，此為一個(gè)常數(shù)函數(shù).

師：y=1x為常數(shù)函數(shù)是之前研究的內(nèi)容，本節(jié)課不再繼續(xù)探索，這里我們明確規(guī)定指數(shù)函數(shù)y=ax中a>0且a≠1（板書強(qiáng)調(diào)底數(shù)的取值范圍）.

設(shè)計(jì)意圖 借助情境問題所構(gòu)建的函數(shù)表達(dá)式，探索指數(shù)函數(shù)的一般形式，整個(gè)過程自然、樸實(shí)、流暢. 在師生積極且深入的互動(dòng)交流下，學(xué)生清晰地把握了函數(shù)的定義域問題. 這種引導(dǎo)方式與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“以生為本”“自主學(xué)習(xí)”等理念不謀而合.

（2）探索指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

師：基于以上探索，大家對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念已經(jīng)有了初步認(rèn)識(shí).若想進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)，根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，接下來該研究什么呢？

生（眾）：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

師：結(jié)合以往咱們研究一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，大家覺得可從何處著手來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

生9：可從函數(shù)圖象著手來研究. 根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，通過列表、描點(diǎn)、連線可畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

師：非常好！將學(xué)習(xí)方法與經(jīng)驗(yàn)遷移到新知的學(xué)習(xí)中，這就是數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn). 現(xiàn)在請(qǐng)你們自主選擇1～2個(gè)指數(shù)函數(shù)，在自己的小方格紙上畫出其圖象.

要求前后桌四位學(xué)生畫不一樣的指數(shù)函數(shù)圖象，畫完圖象后，重點(diǎn)說一說自己所畫的圖象的異同點(diǎn).

生10：我發(fā)現(xiàn)四個(gè)同學(xué)所畫的指數(shù)函數(shù)圖象均過點(diǎn)（0，1）.

師：關(guān)于指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，1），有沒有辦法證明？

生10：因?yàn)閍0=1（a>0，且a≠1），所以指數(shù)函數(shù)的圖象均過點(diǎn)（0，1）.

師：不錯(cuò)，關(guān)于指數(shù)函數(shù)的特征，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：若指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為整數(shù)，其圖象從左往右呈上升趨勢(shì);若底數(shù)為分?jǐn)?shù)，其圖象從左往右呈下降趨勢(shì).

生12：這么表達(dá)不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該是：當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象從左往右呈上升趨勢(shì);而當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象從左往右呈下降趨勢(shì).

師：這兩位同學(xué)的結(jié)論究竟正不正確呢？接下來我們一起借助幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證.

利用幾何畫板的直觀演示功能，展示指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a取值變化時(shí)，其圖象的變化情況，并在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作以下幾組指數(shù)函數(shù)的圖象：y=2x和y=

;y=3x和y=

;y=10x和y=

.

師：通過圖象展示，大家覺得誰的結(jié)論更準(zhǔn)確一些？根據(jù)圖象演示，你們從中有沒有發(fā)現(xiàn)新的特征？

生13：生12的說法更準(zhǔn)確. 通過圖象觀察，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖象一直處于x軸的上方，且無限趨近于x軸.

生14：我發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax和y=

（a>0，且a≠1）的圖象具有關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn).

生15：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其位于第一象限內(nèi)的圖象就越往上，但在第二象限則剛好相反.

……

教師充分肯定學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，并將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)逐條羅列出來，整理為指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并板書.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合其他函數(shù)的探索經(jīng)驗(yàn)，自主進(jìn)入指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探索中來. 隨著經(jīng)驗(yàn)的遷移與圖象的輔助，學(xué)生的思維在由淺入深的探索中逐漸明朗. 教師將學(xué)生發(fā)現(xiàn)的各個(gè)性質(zhì)整合在一起板書出來，可進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，提升學(xué)生的思考能力，為后續(xù)靈活應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ).

（3）探索指數(shù)函數(shù)的值域與單調(diào)性

師：函數(shù)圖象處于x軸的上方，可以看出函數(shù)的什么性質(zhì)？

生16：可見函數(shù)的值域是（0，+∞）.

（教師板書值域）

師：升、降趨勢(shì)分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的什么性質(zhì)？該怎樣描述？

生17：升、降趨勢(shì)分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的遞增、遞減性，也就是當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減. （教師板書指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性）

師：以上所獲得的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，都是通過觀察圖象而來的，還缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程. 但證明過程涉及一些我們尚未接觸的內(nèi)容，因此將其放在以后進(jìn)行探索. 請(qǐng)大家將本節(jié)課所掌握的指數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)等整理到表格中.

設(shè)計(jì)意圖 值域與單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì)，在后續(xù)解決一些綜合性問題時(shí)涉及較多，因此需著重加以引導(dǎo)，并要求學(xué)生將對(duì)應(yīng)內(nèi)容整理到表格中. 幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善知識(shí)架構(gòu)，形成良好的辨析能力，為接下來的實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

3. 例題分析，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

多媒體展示如下式子，要求學(xué)生比較各組式子的大?。孩?3.2，22.5;②0.8-1.5，0.8-1.2;③0.81.2，1.50.3.

對(duì)于①②組的大小比較，大部分學(xué)生根據(jù)函數(shù)y=2x與y=0.8x的單調(diào)性，可順利解決. 但對(duì)于③組，則需要進(jìn)行深入的探索. 由于③組中的式子的底數(shù)與指數(shù)均不一樣，因此只構(gòu)造一個(gè)指數(shù)函數(shù)顯然無法比較大小. 為了解決這一問題，有學(xué)生提出將0.81.2轉(zhuǎn)化為（0.84）0.3，并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=1.5x與y=（0.84）x的圖象，通過對(duì)x=0.3時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的比較，獲得結(jié)論：1.50.3>（0.84）0.3=0.81.2.

除此之外，還可以構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)y=1.5x，y=0.8x，將它們的圖象畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，通過對(duì)x=0.3與x=1.2時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的比較，可知1.50.3>0.81.2.

基于以上分析，還有學(xué)生提出：可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別構(gòu)造y=1.5x，y=0.8x，則1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，因此1.50.3>0.81.2.

設(shè)計(jì)意圖 此問意在發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力. 通過指數(shù)冪的大小比較，學(xué)生不僅獲得良好的解題能力，還在解題過程中不斷優(yōu)化思維，提升理解與分析能力，此為發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基礎(chǔ). 尤其是中間量的發(fā)現(xiàn)，使得解題過程更加便捷，凸顯了數(shù)學(xué)思維的靈活性.

4. 回顧反思，提煉總結(jié)升華

鼓勵(lì)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的哪些知識(shí)，應(yīng)用了哪些研究方法與數(shù)學(xué)思想等，并在課堂尾聲留下思考與探索問題，以滿足不同認(rèn)知水平學(xué)生的發(fā)展需求.

思考：對(duì)于情境2，若想讓折疊后的每層紙張的面積均小于0.05，至少需折疊幾次？

探索：情境2中提到“將一張普通的紙張連續(xù)對(duì)折64次，能搭建起地球通向月球的階梯”，這句話正確嗎？（設(shè)地球與月球的距離為38.4×104 km）.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)與應(yīng)用等，涉及數(shù)形結(jié)合、特殊到一般、具體到抽象等數(shù)學(xué)思想，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和回顧可進(jìn)一步夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，完善知識(shí)體系. 而思考與探索問題的提出，為學(xué)生留下了懸念，激趣的同時(shí)進(jìn)一步拓寬學(xué)生的思維.

思考感悟

打造自然、樸實(shí)、智慧、高效的課堂是促進(jìn)教育高質(zhì)量發(fā)展的基礎(chǔ)，也是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵. 好的問題情境，一般選擇與學(xué)生生活相關(guān)的素材作為背景，學(xué)生基于這種背景更容易培養(yǎng)出良好的建模能力和“三會(huì)”能力.

本節(jié)課，以“社會(huì)熱點(diǎn)問題——垃圾的產(chǎn)量”“趣味性問題——紙張折疊形成的高度”為情境素材，成功激發(fā)了學(xué)生的探索欲，并增強(qiáng)了他們的環(huán)保意識(shí). 隨著問題的探索與研究，學(xué)生不僅明晰了指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，還獲得了良好的數(shù)學(xué)遷移能力以及“四基”“四能”. 這些都是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基石.

總之，秉持“以生為本”的教學(xué)理念，踐行深度學(xué)習(xí)，能夠?yàn)閷W(xué)生開辟更為廣闊的思考與探索空間，不斷發(fā)散學(xué)生的思維，挖掘?qū)W生的潛能，提升學(xué)生的推理能力與創(chuàng)新能力，為培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)性發(fā)展能力與關(guān)鍵性人格品質(zhì)做鋪墊.