[摘 要] 培養(yǎng)學(xué)生思維能力可以幫助其更好地理解和把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力與綜合素養(yǎng)的發(fā)展. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生精心創(chuàng)設(shè)問題情境，促使學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)思考，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 思維能力;問題情境;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

思維能力是促進(jìn)學(xué)生終身學(xué)習(xí)和發(fā)展的核心. 在教學(xué)中，教師不僅要傳授學(xué)科知識，更要培養(yǎng)學(xué)生思考習(xí)慣和高水平的思維能力，以促進(jìn)他們數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)全面發(fā)展. 在實(shí)踐教學(xué)中，采用怎樣的教學(xué)方式更適合培養(yǎng)學(xué)生思考習(xí)慣和高水平的思維能力呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)平等和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境，同時(shí)結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題，促使學(xué)生在問題的引導(dǎo)下主動(dòng)思考、積極交流、勇于表達(dá)，從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，進(jìn)而有效提升思維能力. 筆者以“函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)”教學(xué)為例，談?wù)剬ε囵B(yǎng)學(xué)生思維能力的幾點(diǎn)認(rèn)識.

教學(xué)分析

1. 教材分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的概念，并熟悉了常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅能夠加深對常見函數(shù)求導(dǎo)方法的理解和掌握，而且能夠?yàn)楹罄m(xù)學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成的過程，以此深化學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的“四能”，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過經(jīng)歷函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則的生成過程，深化學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力;

（2）體會(huì)特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，逐步形成歸納猜想和合情論證的能力.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出新知

問題1 求函數(shù)y=x2+x的導(dǎo)數(shù).

學(xué)生獨(dú)立思考后，展示學(xué)生思考的過程.

生1：y′=2x+1.

h+aifXFGjc++q7aIXXjUgKvsRuem8DmqJK7gucW+gHs=師：你是如何想的？

生1：雖然我們沒有學(xué)過函數(shù)y=x2+x的求導(dǎo)方法，但是學(xué)過y=x2，y=x等常見函數(shù)的求導(dǎo)方法，而（x2）′=2x，（x）′=1，所以函數(shù)y=x2+x的導(dǎo)數(shù)為y′=2x+1.

師：你們贊成生1的說法嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成）

師：能證明嗎？

生2：====2x+Δx+1. 當(dāng)Δx→0時(shí)，→2x+1，所以y′=2x+1.

師：很好，由此你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：（x2+x）′=2x+1=（x2）′+（x）′.

設(shè)計(jì)意圖 借助問題導(dǎo)向的方式，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證等過程，從而自然地引出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn). 這一過程巧妙地構(gòu)建了新知與舊知之間的互動(dòng)橋梁，激發(fā)了學(xué)生對未知領(lǐng)域的猜想與探索熱情，有利于教學(xué)質(zhì)量的提升.

2. 師生合作，探究新知

師：結(jié)合以上二次函數(shù)的求導(dǎo)過程，你們能得到一般結(jié)論嗎？

生4：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax2+bx+c）′=（ax2）′+（bx）′+（c）′.

師：也就是說二次函數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo). 如果將問題繼續(xù)一般化，能否得到更一般的結(jié)論？

生5：若y=f（x）+g（x），則y=f（x）+g（x）的導(dǎo)數(shù)為y′=[f（x）+g（x）]′=f′（x）+g′（x）.

師：很好，你能用文字語言來表述嗎？

生5：兩個(gè)函數(shù)之和的導(dǎo)數(shù)等于兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之和.

師：非常好，我們將[f（x）+g（x）]′=f′（x）+g′（x）稱為函數(shù)和的求導(dǎo)法則. 如何證明呢？（教師啟發(fā)學(xué)生參照問題1的證明過程）

師：利用函數(shù)和的求導(dǎo)法則，你能將y=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)計(jì)算出來嗎？

生6：y′=（ax2+bx+c）′=（ax2）′+（bx）′+（c）′=2ax+b.

師：思考（ax2）′=2ax的求導(dǎo)過程，你們有沒有什么想法？

生7：常數(shù)a可以提取出來，即（ax2）′=a（x2）′=a·2x.

師：如果將其一般化，你們能得到怎樣的結(jié)論？

生8：[af（x）]′=af′（x）（a為常數(shù)）.

師：如何證明它？

生齊聲答：用定義法證明.

師：能用文字語言來表述嗎？

生9：一個(gè)常數(shù)與一個(gè)函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)等于這個(gè)常數(shù)與這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之積.

師：很好，常數(shù)一般用C來表示，即[Cf（x）]′=Cf′（x）（C為常數(shù)）.

師：函數(shù)y=Cf（x）從形式上看是兩個(gè)函數(shù)的乘積，即常數(shù)函數(shù)乘一般函數(shù). 如果將常數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)，又能得到什么呢？

生10：研究y=f（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)——也可以用定義法.

師：很好，現(xiàn)在請大家試一試，看看能得到怎樣的結(jié)論.

教師讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行推導(dǎo)，然后展示學(xué)生的推導(dǎo)過程. （過程略）

師：你們得到的結(jié)論是——？

生11：y′=[f（x）g（x）]′=f（x）′g（x）+f（x）g′（x）.

師：很好，這個(gè)公式被稱為函數(shù)積的求導(dǎo)法則.

師：以上我們研究了函數(shù)和與函數(shù)積的求導(dǎo)法則，接下來我們應(yīng)該研究什么呢？又能得到怎樣的結(jié)論呢？

在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生以小組合作的方式，共同探討并獲得函數(shù)差與函數(shù)商的求導(dǎo)法則：[f（x）-g（x）]′=f′（x）-g′（x）;

′=. 對于函數(shù)的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，教師鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探究，以此深化學(xué)生對函數(shù)求導(dǎo)法則的理解，提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理能力.

師：我們推導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)法則有何價(jià)值呢？

生12：利用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)更快捷、高效.

生13：利用求導(dǎo)法則可以研究更多、更復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 從函數(shù)和的求導(dǎo)法則出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作探究的方式推導(dǎo)出函數(shù)積、差、商的求導(dǎo)法則，以發(fā)展學(xué)生的思維能力. 在上述推導(dǎo)過程中，教師重視滲透一般與特殊、類比等思想方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、歸納等過程，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng). 同時(shí)，教學(xué)以學(xué)生探究為主，教師適時(shí)給予啟發(fā)和指導(dǎo)，讓學(xué)生通過經(jīng)歷知識形成的過程，深化對知識的理解，提高自主探究能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 學(xué)以致用，理解新知

問題2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）f（x）=x+ex;（2）g（x）=sinx·cosx;（3）y=tanx.

問題給出后，教師沒有急于呈現(xiàn)答案，而是預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考、交流.

師：對于第（1）題，如何求解？

生14：第（1）題求的是兩個(gè)函數(shù)之和的導(dǎo)數(shù)，可以直接利用函數(shù)和的求導(dǎo)法則來求解，得f′（x）=x′+（ex）′=1+ex.

師：很好，抓住“和”這一特征，應(yīng)用函數(shù)和的求導(dǎo)法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式解決了問題.

師：第（2）題呢？

生15：直接利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則求解，即g′（x）=（sinx）′·cosx+sinx·（cosx）′=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2x-sin2x.

師：非常好. 對于第（3）題，又該如何求解呢？

生16：可以先將y=tanx轉(zhuǎn)化為y=，再利用函數(shù)商的求導(dǎo)法則求解，即y′===.

師：非常好，同學(xué)們將原本陌生的內(nèi)容成功轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，然后借助函數(shù)商的求導(dǎo)法則高效地解決了問題.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)的求導(dǎo)法則解決問題，一方面檢測學(xué)生對求導(dǎo)法則的掌握情況，強(qiáng)化學(xué)生的記憶;另一方面讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用求導(dǎo)法則的簡潔性、高效性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

問題3 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)是f′（x），求[f（x）]2的導(dǎo)數(shù).

師：誰來說說，問題3如何求解呢？

生17：[f（x）]2的導(dǎo)數(shù)可以看成f（x）·f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則來求解，所以[f（x）·f（x）]′=2f（x）·f′（x）.

師：非常好. 現(xiàn)在我們來看看g（x）=sinx·cosx的導(dǎo)數(shù)問題：g（x）=sinx·cosx=sin2x，g′（x）=cos2x-sin2x=cos2x，由此你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生18：函數(shù)g（x）=sin2x看上去不是今天所研究的函數(shù)類型，但是它依然能夠求導(dǎo).

師：很好，像y=[f（x）]2，g（x）=sin2x這樣的函數(shù)被稱為復(fù)合函數(shù). 關(guān)于簡單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題是下節(jié)課的研究重點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 在鞏固新知的基礎(chǔ)上，教師通過追問將問題進(jìn)行推廣，從而為下節(jié)課研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題埋下伏筆.

4. 課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？還有哪些困惑？

設(shè)計(jì)意圖 教師啟發(fā)學(xué)生從知識、思想方法等層面進(jìn)行歸納總結(jié)，在深化知識理解的同時(shí)，促使學(xué)生感悟知識背后的思想方法，從而完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們所追求的不僅是單純的知識傳授，更關(guān)鍵的是培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)的能力. 因此，教師應(yīng)當(dāng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心構(gòu)思并設(shè)計(jì)富有啟發(fā)性的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過細(xì)致的觀察、深入的實(shí)踐、積極的猜想以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證，逐步熟悉并掌握探究問題的一般路徑. 在此過程中，著重培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，以確保他們具備適應(yīng)未來社會(huì)發(fā)展的終身學(xué)習(xí)能力.

在日常教學(xué)中，當(dāng)教師提出問題后，應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生充分的思考與交流時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)表達(dá)個(gè)人見解，從而深入了解學(xué)生的真實(shí)思維狀況. 同時(shí)，教師應(yīng)敏銳捕捉課堂中自然生成的各類資源，并對其進(jìn)行合理開發(fā)與有效利用，以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，真正提升學(xué)生的思考能力和綜合素養(yǎng).

總之，教師作為課堂教學(xué)的引領(lǐng)者、組織者，需全面深入地了解學(xué)生，精準(zhǔn)地把握教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，巧妙地設(shè)計(jì)問題情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考與交流的欲望，促使他們在解決問題的過程中深化對知識的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).