[摘 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)選擇合適的問(wèn)題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體. 在“方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)中，研究者通過(guò)創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境來(lái)揭露知識(shí)本質(zhì)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值，為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)創(chuàng)造條件.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題情境;知識(shí)本質(zhì);數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱(chēng)新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)的培育是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的主要目的[1]，課堂中創(chuàng)設(shè)豐富的問(wèn)題情境可引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生從根本上掌握知識(shí)本質(zhì)是教學(xué)主要任務(wù). 在以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的當(dāng)下，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)基本實(shí)現(xiàn)了能力立意向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)化，這就要求課堂教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度、技能的熟練程度，還強(qiáng)調(diào)如何讓學(xué)生基于問(wèn)題情境構(gòu)建模型，發(fā)展學(xué)力.

縱然新課標(biāo)明確了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，并對(duì)其水平做了細(xì)致劃分，但在培育過(guò)程中各種能力與素養(yǎng)的發(fā)展往往交織在一起，這就需要教師擁有一雙敏銳的眼睛，捕捉提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的契機(jī). 本文以“方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧趩?wèn)題的引領(lǐng)下，通過(guò)師生活動(dòng)揭露知識(shí)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

本節(jié)課前，學(xué)生已接觸初等函數(shù)，了解其圖象與性質(zhì). 現(xiàn)有認(rèn)知水平使他們能探索基本運(yùn)算，繪制函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.

2. 教學(xué)任務(wù)

借助教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)觀(guān)分析與處理問(wèn)題的意識(shí)，即從函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探索中，體會(huì)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于探索零點(diǎn)個(gè)數(shù)的用處;通過(guò)對(duì)方程實(shí)數(shù)根、函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的觀(guān)察，明晰什么是函數(shù)零點(diǎn)，基于函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值符號(hào)的變化現(xiàn)象，挖掘函數(shù)零點(diǎn)存在定理所具備的一些特征;引導(dǎo)學(xué)生深入體驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，構(gòu)建學(xué)習(xí)經(jīng)歷，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力.

同時(shí)，在函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探索過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生不斷梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)邏輯清晰的思維習(xí)慣，提升邏輯推理能力;引導(dǎo)學(xué)生在探索函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)、方程實(shí)數(shù)根以及函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系中獲得良好的數(shù)形結(jié)合能力，并基于整體視域建構(gòu)方程、函數(shù)以及不等式間的關(guān)系網(wǎng)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)流程

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于函數(shù)零點(diǎn)存在定理，以及借助函數(shù)性質(zhì)探索函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題. 其中關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn). 結(jié)合新課標(biāo)要求、知識(shí)特點(diǎn)和學(xué)情分析，本節(jié)課教學(xué)遵循如下流程：①創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生從函數(shù)的視角來(lái)分析與處理問(wèn)題，初步形成函數(shù)意識(shí);②通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系的探索，提煉函數(shù)零點(diǎn)的定義;③通過(guò)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值符號(hào)的變化情況的探索，提煉函數(shù)零點(diǎn)存在定理;④分析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及大致區(qū)間，感知如何借助函數(shù)性質(zhì)來(lái)探索函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題;⑤課堂小結(jié)，安排課后作業(yè).

教學(xué)過(guò)程

1. 問(wèn)題情境引出主題

問(wèn)題1 方程lnx+2x=6存在幾個(gè)實(shí)數(shù)根？

師生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，展開(kāi)小組合作交流. 教師巡視觀(guān)察，并邀請(qǐng)兩名學(xué)生板演，圖象通過(guò)幾何畫(huà)板展示. 經(jīng)探索，學(xué)生呈現(xiàn)兩個(gè)解題方法.

解法1 將原方程lnx+2x=6轉(zhuǎn)化成lnx=-2x+6，如圖1所示，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)g（x）=lnx與h（x）=-2x+6的圖象，觀(guān)察圖中的交點(diǎn).

觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)，由此可判斷方程lnx+2x=6有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

解法2 如圖2所示，將函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的圖象繪制出來(lái)，通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=lnx+2x-6與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，由此判斷方程lnx+2x=6的實(shí)數(shù)根僅有一個(gè).

設(shè)計(jì)意圖 利用簡(jiǎn)潔明了的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析與處理問(wèn)題. 此題無(wú)法用常規(guī)的方法來(lái)解決，這就激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知矛盾與沖突，促使學(xué)生進(jìn)入思考狀態(tài). 在探索過(guò)程中，學(xué)生需結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想分析函數(shù)性質(zhì)與方程實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系，由此揭露本節(jié)課教學(xué)的核心是：借助函數(shù)的性質(zhì)探索方程的實(shí)數(shù)根，彰顯知識(shí)間的縱橫關(guān)聯(lián)情況，為幫助學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化思維與函數(shù)應(yīng)用意識(shí)奠定基礎(chǔ).

2. 抽象函數(shù)的零點(diǎn)的概念

問(wèn)題2 逐個(gè)分析表1中的方程的實(shí)數(shù)根和二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.

師：關(guān)于二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)和方程實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系，是否適用于一般函數(shù)？

生1：我認(rèn)為這種規(guī)律適用于一般函數(shù)，可作為一般情形來(lái)推廣.

師：為了將這種關(guān)系展現(xiàn)出來(lái)，便于進(jìn)一步借助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)探索方程的實(shí)數(shù)根，就涉及一個(gè)新的概念——函數(shù)的零點(diǎn).

師生活動(dòng)：具體從以下幾個(gè)方面探索函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容. ①概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f（x），把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn);②函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)即方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，亦可理解為函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);③方程f（x）=0存在實(shí)數(shù)根（的個(gè)數(shù)）?函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)（的個(gè)數(shù)）?函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)（的個(gè)數(shù)）;④求方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，可理解為求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，亦可理解為求函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);⑤關(guān)注“點(diǎn)”與“函數(shù)零點(diǎn)”的異同.

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)為抽象函數(shù)零點(diǎn)概念奠定基礎(chǔ)，師生積極互動(dòng)進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，具體問(wèn)題的解決讓學(xué)生從真正意義上理解方程的實(shí)數(shù)根、函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與數(shù)學(xué)概括能力.

3. 函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法的探索

問(wèn)題3 已知x∈（k，k+1）（k為整數(shù)）是函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)，那么k值是多少？

生2：選幾個(gè)簡(jiǎn)單的特殊值代入計(jì)算，如f（2）=ln2-2<0，f（3）=ln3>0，f（2）·f（3）<0，易得x∈（2，3），由此確定k=2.

師：很好！思路清晰，方法也很簡(jiǎn)便. 現(xiàn)在請(qǐng)大家對(duì)函數(shù)位于零點(diǎn)附近的自變量進(jìn)行分析，思考函數(shù)值的符號(hào)情況.

生3：令g（x）=lnx，h（x）=-2x+6. 當(dāng)x<x時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象處于函數(shù)h（x）的下方，即f（x）=g（x）-h（x）<0;當(dāng)x>x時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象處于函數(shù)h（x）的上方，即f（x）=g（x）-h（x）>0. 由此可確定，當(dāng)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)處于x附近時(shí)，兩側(cè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值必然異號(hào).

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)意在引導(dǎo)學(xué)生自主獲得探尋函數(shù)存在零點(diǎn)的初步判定方法，為揭露函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)創(chuàng)造有利條件，也為學(xué)生后續(xù)深刻探究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

4. 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

問(wèn)題4 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，可否確定f（a）f（b）<0必然成立？

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生自主探索并交流后，給出的結(jié)論是“不一定”. 具體原因?yàn)椋豪绾瘮?shù)f（x）=x2在區(qū)間（-1，1）內(nèi)存在零點(diǎn)0，但f（-1）f（1）=1>0，與問(wèn)題條件不符.

問(wèn)題5 關(guān)于函數(shù)y=f（x），如果明確f（a）f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在（a，b）內(nèi)是不是必然存在零點(diǎn)？說(shuō)明理由.

學(xué)生獨(dú)立思考與合作探索后，給出的結(jié)論同樣為“不一定”. 具體原因?yàn)椋豪绾瘮?shù)f（x）=-x2，x<0，

x2，x>0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn);同樣，函數(shù)f（x）=-x2，x<0

x2，x>0，

1，x=0，雖然f（-1）f（1）=-1<0，但該函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).

隨著上述問(wèn)題的解決，學(xué)生在教師的點(diǎn)撥下，由此及彼地提煉出函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也就是方程f（x）=0的根[2].

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)問(wèn)題旨在讓學(xué)生感知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)的作用，并增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用意識(shí).

5. 應(yīng)用函數(shù)觀(guān)處理問(wèn)題

問(wèn)題6 函數(shù)f（x）=lnx+2x-6是不是只有一個(gè)零點(diǎn)？說(shuō)明理由.

以函數(shù)性質(zhì)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析：若函數(shù)y=f（x）是單調(diào)函數(shù)，則m=n?f（m）=f（n）. 由此可知，單調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)最多只有一個(gè). 同理，非單調(diào)函數(shù)的每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)最多也只有一個(gè).

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的探索，有利于學(xué)生梳理邏輯思維，為培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

練習(xí)訓(xùn)練 判定下列函數(shù)分別有幾個(gè)零點(diǎn)，并寫(xiě)出零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.

①g（x）=2x+x-2;

②h（x）=x2+ln（x2+3）-2.

關(guān)于第一個(gè)函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生從圖象、方程判別式等進(jìn)行思考與分析，確定它的零點(diǎn)只有1個(gè)，且大致在區(qū)間（0，1）內(nèi);關(guān)于第二個(gè)函數(shù)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)性質(zhì)與零點(diǎn)存在定理進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它的零點(diǎn)有2個(gè)，分別在區(qū)間（0，1）內(nèi)與（-1，0）內(nèi).

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，感知零點(diǎn)個(gè)數(shù)及其大致區(qū)間. 如此設(shè)計(jì)，一方面整理前述知識(shí)內(nèi)容，另一方面引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等性質(zhì)對(duì)探索其零點(diǎn)的重要性.

6. 總結(jié)提煉整理思路

在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)自主總結(jié)與歸納，掌握探索函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及其所在區(qū)間的基本方法. 關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的判斷，可從如下幾方面展開(kāi)分析：①先借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)有沒(méi)有零點(diǎn)，而后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性明確存在幾個(gè)零點(diǎn);②探索非單調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先明確其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定其所有零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 課堂總結(jié)具有畫(huà)龍點(diǎn)睛之功效，學(xué)生回顧整節(jié)課的核心知識(shí)與研究方法，可進(jìn)一步梳理知識(shí)架構(gòu)，為形成結(jié)構(gòu)化思維奠定基礎(chǔ)，也為促進(jìn)綜合素養(yǎng)的發(fā)展做好鋪墊.

7. 作業(yè)設(shè)計(jì)

（1）判斷m發(fā)生改變時(shí)，函數(shù)f（x）=x2-1-m存在幾個(gè)零點(diǎn)，并寫(xiě)出零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.

（2）以作圖法探索下列函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用代數(shù)法進(jìn)行闡述：①f（x）=-x-ln（x+3）+;②f（x）=2x+x2-.

教學(xué)思考

在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上，教師根據(jù)新課標(biāo)要求與知識(shí)特點(diǎn)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，不僅將知識(shí)本質(zhì)暴露在學(xué)生面前，還能激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的探索能力與合作意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展.

在本節(jié)課教學(xué)中，教師緊緊圍繞“零點(diǎn)”這條主線(xiàn)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探索與合作交流獲得相應(yīng)的能力和素養(yǎng)，將“以生為本”教學(xué)理念落到實(shí)處. 教學(xué)過(guò)程由條理清晰的問(wèn)題串聯(lián)而來(lái)，學(xué)生思維在問(wèn)題臺(tái)階中逐步上升.

總之，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)需站到學(xué)生的角度來(lái)設(shè)計(jì)，確保每一個(gè)問(wèn)題都能落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這是激發(fā)學(xué)生潛能、提升學(xué)生學(xué)力的基礎(chǔ)，也是揭露知識(shí)本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 何方順. 例談函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題[J]. 基礎(chǔ)教育論壇，2012（10）：34-35.