【摘要】本文深入探討相似三角形在中考平面幾何習(xí)題中的綜合應(yīng)用，細(xì)致分析不同的解題策略，并基于實(shí)踐探索分享寶貴的教學(xué)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).通過(guò)對(duì)相似三角形在中考環(huán)境下的綜合運(yùn)用研究，旨在為學(xué)生和教師提供更具針對(duì)性和實(shí)效性的解題方法與策略，進(jìn)一步提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；相似三角形；解題方法

相似三角形是平面幾何中的一個(gè)核心概念，涉及圖形的相似性、角度相等、邊長(zhǎng)比例等關(guān)鍵要素.在中考數(shù)學(xué)中，對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)相似綜合題的考查，不僅僅局限于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的檢驗(yàn)，而是更加注重對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力的評(píng)估.本文選取了不同類(lèi)型的相似三角形習(xí)題進(jìn)行剖析，幫助學(xué)生更好地理解相似三角形的應(yīng)用與實(shí)踐.

1 跨學(xué)科應(yīng)用題

中考相似綜合題還可能涉及跨學(xué)科的知識(shí)整合，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科（如物理、化學(xué)、生物等）相結(jié)合，通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)際問(wèn)題情境，考查學(xué)生能否將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中.這類(lèi)題目要求學(xué)生具備解決實(shí)際問(wèn)題的能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模、分析和計(jì)算.

例1 約在兩千五百年前，如圖1，墨子和他的學(xué)生做了世界上第一個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端．”如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（ ）

（A）4cm. （B）4.5cm. （C）5cm. （D）5.5cm.

解析 根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為xcm，則x6=1015，解得x=4，即蠟燭火焰的高度為4cm．故選（A）．

2 多知識(shí)點(diǎn)綜合型

例2 如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若AD=10，cosB=35，求FD的長(zhǎng)．

解析 （1）證明：如圖4連接OC.

因?yàn)锳D是⊙O的直徑，

所以∠ACD=90°，

所以∠ADC+∠CAD=90°，

又因?yàn)镺C=OD，

所以∠ADC=∠OCD.

因?yàn)椤螪CF=∠CAD．

所以∠DCF+∠OCD=90°，

即OC⊥FC，所以FC是⊙O的切線.

（2）因?yàn)椤螧=∠ADC，cosB=35，

所以cos∠ADC=35.

在Rt△ACD中，因?yàn)閏os∠ADC=35=CDAD，AD=10，

所以CD=AD·cos∠ADC=10×35=6，

所以AC=AD2－CD2=8，

所以CDAC=34.

因?yàn)椤螰CD=∠FAC，∠F=∠F，

所以△FCD∽△FAC，

所以CDAC=FCFA=FDFC=34.

設(shè)FD=3x，

則FC=4x，AF=3x+10，

又因?yàn)镕C2=FD·FA，

即（4x）2=3x（3x+10），

解得x=307（取正值），

所以FD=3x=907．

3 不確定型

例3 如圖5，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/秒，同時(shí)點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接DE，CD，AE．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= 秒時(shí)，△BDE與△ABC相似．

解析 設(shè)經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△BDE與△ABC相似．

則AD=tcm，BD=（4－t）cm，

BE=2tcm，

CE=（5－2t）cm，0≥t≥52；

①當(dāng)∠EDB=90°，即ED⊥AB時(shí)，

因?yàn)椤螧=∠B∠EDB=∠CAB=90°，

所以 Rt△BDE∽R(shí)t△ABC，

所以 BDBA=BEBC，即4－t4=2t5，

所以 t=2013．

②當(dāng)∠DEB=90°，即DE⊥BC時(shí)，

因?yàn)椤螧=∠B∠DEB=∠CAB=90°，

所以 Rt△BDE∽R(shí)t△ABC，

所以BDBC=BEBA，即4－t5=2t4，

所以 t=87．

因?yàn)閠=2013和t=87都符合0≥t≥52，

所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2013秒或87秒時(shí)，△BDE與△ABC相似．

故答案為：2013或87．

4 結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)剖析了跨學(xué)科綜合題型、多知識(shí)綜合型以及不確定型問(wèn)題等題型，為初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了寶貴的解題技巧和全新視角.希望通過(guò)這些方法和策略，能幫助教師更精準(zhǔn)地指導(dǎo)學(xué)生，提升學(xué)生的解題能力，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維.