【摘要】平面幾何運動類問題是初中數(shù)學(xué)的一個難點問題，考查學(xué)生的平面幾何基礎(chǔ)知識以及常用數(shù)學(xué)思想.圖形在運動，但是問題的結(jié)論是不變的，那么這樣的問題解題思路應(yīng)該如何展開呢？關(guān)鍵是要抓住運動過程中的不變條件，據(jù)此出發(fā)尋找解題的視角.本文結(jié)合一道線段和大小問題談處理此類問題的幾種方法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】運動問題；線段和；初中數(shù)學(xué)

例題展示

如圖1所示，在△ABC中，已知AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，D是圓上的一點，AE⊥BD于點E，求證：BE=CD+DE.

解法展示

視角1 截長補短

初中數(shù)學(xué)中有大量的定理證明兩條線段相等，但是證明一條線段等于另外兩條線段相加的定理則并不常見，因此可以通過“截長補短”的方式將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決.

解法1 補短

證明 如圖2所示，作AF⊥CD，交CD的延長線于點F.

因為圓O是△ABC的外接圓，

所以∠ABD=∠ACD.

因為AB=AC，∠AEB=∠F=90°，

所以△AEB≌△AFC.

在△AED和△AFD中BE=CFAE=AFAD=AD，

所以△AED≌△AFD，

則DE=DF.

所以BE=CF=CD+DF=CD+DE.

解法2 截長

證明 如圖3所示，作AF∥BD，交圓O于點F，過點F作FG⊥BD于點G，

所以AF=GE，DE=BG.

因為AF∥BD，

所以弧AD與弧BF相等.

因為AB=AC，

所以弧AB與弧AC相等，弧AF與弧DC相等.

所以AF=DC=GE，

故BE=BG+GE=CD+DE.

視角2 圖形變化

利用“AB=AC”和“∠ABD=∠ACD”這兩個等量關(guān)系，通過旋轉(zhuǎn)、軸對稱等圖形變換的方式，將結(jié)論中的線段進行轉(zhuǎn)化，進而證明.

解法3 旋轉(zhuǎn)

證明 如圖4所示，在BE上截取EF=ED，連接AF，AD.

因為AE⊥BD，

所以AF=AD，

故∠DAF+2∠ADF=180°.

因為AB=AC，

所以∠BAC+2∠ACB=180°.

因為∠ADF=∠ACB，

所以∠DAF=∠BAC，

故∠DAF+∠FAC=∠BAC+∠FAC，

即∠DAC=∠BAF.

因為AF=AD，AB=AC，

所以△DAC≌△FAB，

故CD=BF，

所以BE=BF+FE=CD+DE.

解法4 對稱

證明 如圖5所示，延長BD至點F，使EF=BE，連接AF，AD.

因為AE⊥BD，

所以AE是BF的中垂線，即AB=AF，

故∠ABF=∠F=∠ACD.

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB=∠ADB.

因為∠ADF+∠ADB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，

所以∠ADF=∠ADC.

所以△ADF≌△ADC，

則CD=DF，

故BE=EF=DF+DE=CD+DE.

視角3 利用托勒密定理

“點D是圓上的一點”說明這是一個共圓問題，所以可以聯(lián)想到用四點共圓的常用定理——托勒密定理來解決.

解法5 如圖6所示，連接AD，過點A作AH⊥BC于點H.

因為∠ACB=∠ADE，AE⊥BD，

所以△AHC∽△AED，

故ACAD=CHDE=12BCDE，

所以BCAC·AD=2DE.

因為四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，

由托勒密定理得BD·AC=CD·AB+BC·AD，

所以BD=CD+2DE.

因為BD=BE+DE，

所以BE=CD+DE.

結(jié)語

幾何證明思路的來源主要有兩種：一是結(jié)論的倒推分析，二是從條件正向分析.從結(jié)論找解題思路目的性更加明確，但是對學(xué)生的推理能力要求較高；從條件出發(fā)尋找思路對推理要求較低，但是有一定的盲目性，需要熟悉各種基本圖形.“截長補短”需要注意添加輔助線的語言，運用相關(guān)的幾何定理時也要注意使用的幾何條件.運動型的圖形必然有參考點，把動點和參考點聯(lián)系起來，利用好運動過程中不變的等量關(guān)系.

參考文獻：

［1］董文娟.例析幾何轉(zhuǎn)化方法求解線段和差的最值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2024（01）：58-60.

［2］郭昊杰.聚焦課堂生成 促進思維發(fā)展——對一道線段計數(shù)問題的拓展探究［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2024（03）：17-18.

［3］陳禮弦.利用“兩點之間線段最短”解決最值問題［J］.數(shù)理化解題研究，2024（08）：13-15.