【摘要】奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論告訴我們，只有建立學(xué)習(xí)者新舊知識(shí)的合理和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，有意義學(xué)習(xí)才會(huì)發(fā)生.教育者在教學(xué)中可以通過(guò)有效的提問，設(shè)計(jì)發(fā)人深省的問題串，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者思考，將新的知識(shí)扎根原有的知識(shí)體系，有意義學(xué)習(xí)水到渠成.本文通過(guò)“字母表示數(shù)”這個(gè)教學(xué)案例，闡述問題串在教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】問題串；情境教學(xué)；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)以其縝密的邏輯向人們展示它的美.培根曾說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是思維的體操.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該生動(dòng)有趣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該充滿火熱的思考.基于情境問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂形態(tài)正是符合教育規(guī)律的數(shù)學(xué)課堂形態(tài).

問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)（PDL）是根據(jù)建構(gòu)主義理論，教師選擇時(shí)機(jī)合理呈現(xiàn)問題，有效組織學(xué)生活動(dòng)，在解決疑難問題的過(guò)程中借助學(xué)習(xí)伙伴來(lái)構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)以問題為教學(xué)核心，將機(jī)械訓(xùn)練的課堂向問題靶向型課堂轉(zhuǎn)變［1-2］.

問題驅(qū)動(dòng)在實(shí)踐中難以實(shí)現(xiàn)的原因主要是缺少統(tǒng)一連貫的教學(xué)情境，問題串是其重要載體和表現(xiàn)形式.問題串是一個(gè)個(gè)有序的問題串在一起共同構(gòu)成一組問題，這些問題并不是雜亂無(wú)章的，而是根據(jù)教學(xué)需要層層遞進(jìn).合理地設(shè)置問題串有利于學(xué)生自主探究，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì).

問題驅(qū)動(dòng)的主要步驟：提出問題——分析問題——解決問題——結(jié)果評(píng)價(jià).基于情境問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該目標(biāo)明確，問題由淺入深.維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”教學(xué)理論告訴我們：學(xué)生的思維有了經(jīng)驗(yàn)的鋪墊，才能綻放思維之花.本文主要研究問題串在“字母表示數(shù)”方面的應(yīng)用，以問題情境1為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從生活中的數(shù)學(xué)出發(fā)，幫助學(xué)生在較短的時(shí)間進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，提升學(xué)生抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力和模型觀念［3］.

1 搭建問題串，感悟字母表示數(shù)的含義

情境1 生活中的數(shù)學(xué)

在日常生活中，人們經(jīng)常用一些圖標(biāo)來(lái)表示某種意義.你能從這些圖標(biāo)中讀出哪些信息？

失物招領(lǐng)啟事

2023年9月29日上午，在萬(wàn)達(dá)三樓的大渝火鍋門口撿到錢包一個(gè)，內(nèi)有人民幣若干元，請(qǐng)失主到三樓大渝火鍋收銀臺(tái)認(rèn)領(lǐng)．

這里為什么要用若干元，而不寫清具體的數(shù)目？可不可以用一個(gè)字母來(lái)表示？如果可以，那么這個(gè)字母將表示什么意義？

設(shè)計(jì)意圖 從生活情境中感悟字母表示數(shù)的意義與價(jià)值（衣食住行），體會(huì)字母所表示的不同含義.培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

2 探究問題串，領(lǐng)略字母表示數(shù)的奧秘

情境2 國(guó)慶出游

題目1 國(guó)慶期間，老師去江蘇bh5ISYcrKr5UD2ZVxeTt9GgGsUelrUYWsBxhCgsgPcY=南通參加同學(xué)婚禮.開車前往南通，老師先去加油站加好95號(hào)汽油，打開中石油的APP，了解一下今日油價(jià).

（總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量）

（1）如果加10L油，需要付多少錢？

（2）如果付了400元，大約可以加多少升油？

（3）如果加a L油，需要付多少錢？

題目2 無(wú)錫到南通的此次行程總計(jì)96 km，行駛36km后車輛進(jìn)入通錫高速，節(jié)假日車流量較大，老師在高速路段的平均車速為90km/h.根據(jù)速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系，回答下列問題：

（1）在高速上行駛半小時(shí)，在高速上行駛的路程可以怎么表示？目前行駛的總路程可以怎么表示？

（2）在高速上行駛t h，那么在高速上行駛的路程可以怎么表示？目前行駛的總路程可以怎么表示？

題目3 酒店大廳一共有若干桌，10人一桌.

（1）一開始20桌恰好坐滿，這20桌坐了多少人？

（2）后來(lái)又開了幾桌，一共可以坐多少人？你打算怎么表示？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)情境，營(yíng)造濃厚的數(shù)學(xué)生活氛圍.該環(huán)節(jié)設(shè)置的三個(gè)問題是為了培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)的第一層符號(hào)意識(shí)，同時(shí)感受字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性和一般性.

3 理解問題串，規(guī)范字母表示數(shù)的書寫

情境3 國(guó)慶故事

小國(guó)和小慶是好朋友，小國(guó)今年a歲，小慶比小國(guó)大1歲，小慶今年歲.

國(guó)慶第一天，兩人相約去某電影院看電影，他們t h走了s km，則他們的平均速度是km/h.

買票時(shí)，兩人發(fā)現(xiàn)電影院為了慶祝國(guó)慶，原價(jià)b元的電影票打八折出售，則每張電影票的售價(jià)是元.

小國(guó)和小慶在電影院的3號(hào)廳觀影，3號(hào)廳一共m排n列，則這個(gè)影廳坐滿可以坐人.

這個(gè)電影院每天票房為214萬(wàn)元，則上映x天共計(jì)票房萬(wàn)元.

設(shè)計(jì)意圖 用字母表示數(shù)去表示數(shù)量之間的關(guān)系是符號(hào)意識(shí)的第二層次.通過(guò)國(guó)慶的故事，幫助學(xué)生規(guī)范書寫，同時(shí)讓學(xué)生更好地感受字母可以表示數(shù)量關(guān)系.

4 數(shù)學(xué)探究——理解數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律

用同樣大小的兩種不同顏色的小正方形紙片，拼成如圖所示的正方形.觀察下面圖形，回答下列問題：

……

第（1）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形.

第（2）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，第（2）個(gè)圖形比第（1）個(gè)圖形多個(gè)小正方形.

第（3）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，第（3）個(gè)圖形比第（2）個(gè)圖形多個(gè)小正方形.

第（4）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，第（4）個(gè)圖形比第（3）個(gè)圖形多個(gè)小正方形.

……

第（10）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，第（10）個(gè)圖形比第（9）個(gè)圖形多個(gè)小正方形.

……

第（n）個(gè)圖形中有個(gè)小正方形，第（n）個(gè)圖形比第（n-1）個(gè)圖形多個(gè)小正方形.（其中n＞1，n是正整數(shù)）

說(shuō)明 學(xué)生通過(guò)不同的角度會(huì)得到不同的式子，如：n2-（n-1）2，2n-1.從不同的角度，雖然得到的結(jié)果看似不同，實(shí)則表達(dá)的是同一個(gè)問題，本質(zhì)是相同的.那么它們應(yīng)該是相等的.這兩個(gè)結(jié)果2n-1最為簡(jiǎn)潔.這說(shuō)明這些式子可以計(jì)算可以化簡(jiǎn).后續(xù)學(xué)習(xí)中，代數(shù)式可以和數(shù)一樣參與運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖 探索規(guī)律類型的情境問題從特殊到一般，從具體到抽象，學(xué)生體驗(yàn)歸納法解決問題的全過(guò)程，才能明白用字母構(gòu)建的一般性和簡(jiǎn)潔性.學(xué)生在自主探索中主動(dòng)知識(shí)體系，明白小正方形的個(gè)數(shù)與其是第幾個(gè)圖形有著密切的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生嘗試著用n去表示相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，并探究其中相應(yīng)的規(guī)律，發(fā)展了更高層次的抽象能力.

5 合作探究——初步運(yùn)用字母進(jìn)行運(yùn)算與推理

用籬笆圍成小圓分割大的圓形花園，栽種不同類型的花卉.選用不同的規(guī)劃方式，對(duì)籬笆的使用量有沒有影響？對(duì)不同類型花卉的使用量是否有影響？

你是如何得出這樣的結(jié)論的？你能說(shuō)明得出的這個(gè)結(jié)論的正確性嗎？你為什么會(huì)想到用字母表示呢？

設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)是學(xué)生在上一特殊情況下的推廣，可以憑借簡(jiǎn)單的運(yùn)算推理完成.在此學(xué)生再次體會(huì)字母表示數(shù)的一般性與優(yōu)越性，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)式解決一些推理題.

6 暢所欲言——用字母表示數(shù)的其他應(yīng)用

預(yù)設(shè)1 運(yùn)算律方面內(nèi)容（說(shuō)一說(shuō)這些字母可以表示什么數(shù)？對(duì)比文字語(yǔ)言感受符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性和一般性）.

預(yù)設(shè)2 平面圖形的周長(zhǎng)、面積公式，立體圖形的體積（這里的字母表示什么含義）.

預(yù)設(shè)3 一些常見的公式：路程=速度×?xí)r間，總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，工作總量=工作效率×工作時(shí)間，高斯求和公式，平方和公式，海倫公式……

從“數(shù)”到“式”，用字母表示即可.這一個(gè)看似簡(jiǎn)單的過(guò)程背后卻花費(fèi)了一千多年的時(shí)間，蘊(yùn)含了幾代數(shù)學(xué)家的艱辛努力，是數(shù)學(xué)史上的一次飛躍.字母，雖然不是真正的數(shù)，但是可以表示各種各樣的數(shù).由字母組成的式子叫做代數(shù)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式.字母比數(shù)更具一般性.用字母表示數(shù)，能方便、直接地表示數(shù)量關(guān)系，更具有普遍意義.

字母表示數(shù)的優(yōu)越性（簡(jiǎn)潔、一般性），通過(guò)字母表示數(shù)量關(guān)系，揭示變化規(guī)律，可以通過(guò)字母表示一些未知的量，推理得到一些結(jié)論.

數(shù)軸是“數(shù)”與“形”相結(jié)合的產(chǎn)物，那么可以通過(guò)“形”來(lái)刻畫“式”嗎？

“數(shù)”與“式”是代數(shù)的基本語(yǔ)言，字母表示數(shù)是代數(shù)式學(xué)習(xí)的“序幕”，一幅長(zhǎng)長(zhǎng)的學(xué)習(xí)畫卷還等著我們?nèi)ヂ剿?

設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)的分享是快樂的.你有一個(gè)蘋果，我有一個(gè)蘋果，我們彼此交換，每人還是一個(gè)蘋果；你有一種思想，我有一種思想，我們彼此交換，每人可擁有兩種思想. 設(shè)置暢所欲言這個(gè)環(huán)節(jié)，一是對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)相勉，二是拓寬字母表示數(shù)運(yùn)用的廣泛性.

7 基于情境問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)反思

代數(shù)學(xué)經(jīng)歷三次發(fā)展，修辭代數(shù)——縮略代數(shù)——符號(hào)代數(shù).從丟番圖用縮寫的字母表示數(shù)到韋達(dá)構(gòu)建字母體系用了1200年，由此可見，學(xué)生認(rèn)識(shí)的過(guò)程也是知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)生內(nèi)在觀念的轉(zhuǎn)化是很困難的.為了克服學(xué)生不能自然的過(guò)渡到用字母表示數(shù)的問題，本文設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的教學(xué)，即：第一層次主動(dòng)用字母表示數(shù)，第二層次用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，第三層次初步運(yùn)用字母進(jìn)行簡(jiǎn)單推理.從特殊到一般，從具體到抽象，內(nèi)化自覺形成符號(hào)意識(shí).在“字母表示數(shù)”的教學(xué)中，完整地體現(xiàn)了符號(hào)意識(shí)的三個(gè)層面，逐步滲透符號(hào)意識(shí)，形成理性的數(shù)學(xué)思維.

布魯姆提出六種提問類型，可以幫助教師合理地設(shè)計(jì)問題，豐富提問方式.這六種問題分別是：知識(shí)性問題、理解性問題、應(yīng)用性問題、分析性問題、綜合性問題和評(píng)價(jià)性問題.針對(duì)問題的不同類型，教師在提問的時(shí)候可以選擇口述、視頻、音頻、教具展示等方式，向個(gè)人提問，向小組提問，向全班提問……

知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的，在此過(guò)程中教師應(yīng)明確學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該尊重孩子的主體地位，教師提問應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的心理特征和思維特點(diǎn)，尊重學(xué)生對(duì)已有知識(shí)的自主梳理、對(duì)已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的利用，適當(dāng)?shù)卮钤O(shè)“腳手架”，合理地設(shè)置問題，充分肯定學(xué)生的猜想，引導(dǎo)學(xué)生一步一步地觸及知識(shí)的本質(zhì)，體現(xiàn)出育人價(jià)值.

8 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)情境問題驅(qū)動(dòng)的初中數(shù)學(xué)課堂形態(tài)的細(xì)致剖析和實(shí)踐應(yīng)用，我們可以看到該模式對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)情境化的精妙運(yùn)用，引領(lǐng)學(xué)生歷經(jīng)“尋疑探賾”、“析難解惑”的過(guò)程，使零散知識(shí)得以整合重組，自主建構(gòu)知識(shí)框架，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.面對(duì)新課改的浪潮，教師需以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，精進(jìn)駕馭情境問題驅(qū)動(dòng)的課堂的能力，優(yōu)化教學(xué)策略與課堂管理技巧，不斷提升數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量.

【本文系江蘇省2022年教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育深度融合的理論與實(shí)踐研究”（B/2022/01/05）的階段性成果】

參考文獻(xiàn)：

［1］孫學(xué)東.數(shù)學(xué)需要教“解題模型”嗎？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（29）：6-9.

［2］施亞生.巧用情境，為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)助力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（02）：40-41.