摘要：本文嘗試從交易角度構(gòu)建實(shí)時(shí)利率曲線，闡述基于該曲線的定價(jià)方案，闡述數(shù)據(jù)選取和清洗方案，在給定債券投資組合的情況下闡述基于實(shí)時(shí)利率曲線的關(guān)鍵期限基點(diǎn)價(jià)值對(duì)沖策略，并考察該曲線的對(duì)沖效果。與其他研究不同，本文把流動(dòng)性較好的國債期貨產(chǎn)品融入利率曲線構(gòu)建和對(duì)沖之中，具有較強(qiáng)的實(shí)踐指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：Nelson-Siegel模型 利率曲線 曲線定價(jià) 對(duì)沖模型

人民幣債券市場已經(jīng)成為全球第二大債券市場，但國內(nèi)債券市場的流動(dòng)性結(jié)構(gòu)和報(bào)價(jià)價(jià)差依然存在提升空間。目前市場上對(duì)所有固定收益資產(chǎn)的定價(jià)通常基于光滑零息利率曲線對(duì)不同期限的現(xiàn)金流貼現(xiàn)。而做市商需要實(shí)時(shí)利率曲線用于做市和為市場提供流動(dòng)性；投資機(jī)構(gòu)需要實(shí)時(shí)利率曲線及時(shí)發(fā)現(xiàn)交易機(jī)會(huì)，并可用于風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量和對(duì)沖交易。特別是對(duì)于對(duì)沖交易，更需要基于其自身能獲得的報(bào)價(jià)和可用的對(duì)沖工具構(gòu)建日內(nèi)可成交利率曲線。

隨著金融科技與電子化交易的發(fā)展，實(shí)時(shí)利率曲線重要性更為凸顯，故探討構(gòu)建實(shí)時(shí)利率曲線具有極大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。本文嘗試從更實(shí)務(wù)的交易和對(duì)沖角度提供一個(gè)實(shí)時(shí)利率曲線構(gòu)建的方法論。

本文主要分為四個(gè)部分：一是闡述實(shí)時(shí)利率曲線構(gòu)建的方法論，包括曲線模型、無套利分析；二是闡述基于該曲線的定價(jià)方案；三是闡述數(shù)據(jù)選取和清洗方案；四是分析該曲線定價(jià)結(jié)果，并在給定債券投資組合的情況下闡述基于實(shí)時(shí)利率曲線的關(guān)鍵期限基點(diǎn)價(jià)值對(duì)沖策略。

實(shí)時(shí)利率曲線構(gòu)建的方法論

（一）曲線模型分析

利率曲線中的靜態(tài)模型，主要通過擬合觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造，包括非參數(shù)法和參數(shù)法。本文主要討論參數(shù)法，包括Nelson-Siegel（NS）模型及其拓展形式Svensson（SV）模型等，因其參數(shù)簡單方便計(jì)算，且具有宏觀意義。

NS模型中，即期利率的表達(dá)式為：

式中，τ=T-t，表示估值日期t至到期日T的剩余期限，βi（i=1，2，3）為模型參數(shù)。由模型推導(dǎo)可知：y（τ）=β0，y（τ）=β0+β1。β0為水平因子，代表長期利率水平；β1代表斜率因子，β2為曲率因子。

為提高利率曲線的擬合靈活性和精度，Svensson（1994）提出了NS模型的擴(kuò)展模型，即在NS 模型上添加兩個(gè)新參數(shù)，允許曲線出現(xiàn)第二個(gè)“駝峰”去擬合曲線在遠(yuǎn)端期限的曲率特征，由此構(gòu)成SV 模型。

Diebold and Li（2006）進(jìn)一步在NS模型的基礎(chǔ)上提出了動(dòng)態(tài)NS（DNS）模型。模型假設(shè)將原NS模型中的三個(gè)固定參數(shù)（β0，β1，β2）變?yōu)槌扇齻€(gè)一階自回歸過程。

（二）無套利分析

上述三個(gè)模型都沒有從理論上說明模型為無套利。Duffie和Kan（1996）提出仿射利率模型，假定利率與因子間存在線性仿射形式，并基于風(fēng)險(xiǎn)中性測度對(duì)債券進(jìn)行定價(jià)，因此具有無套利特征。其中，零息債券價(jià)格為狀態(tài)變量的仿射函數(shù)：

P（t，T）=exp[B（t，T）' Xt+C（t，T）]

Christensen、Diebold和 Rudebusch（2011）在仿射利率模型基礎(chǔ)上提出了無套利NS（Arbitrage-Free Nelson-Siegel，AFNS）模型。要使得仿射利率模型具有NS模型的特征，要求仿射利率模型中零息債券價(jià)格中因子系數(shù)方程B（t，T）的解滿足NS模型參數(shù)方程表達(dá)式，即。

Coroneo、Nyholm和Vidova-Koleva（2011）實(shí)證研究了NS模型具有無套利特征。研究采用了重抽樣技術(shù)，基于NS模型生成樣本，將該樣本用于無套利仿射利率模型，檢驗(yàn)結(jié)果是仿射利率模型得到的因子系數(shù)方程B（t，T）與NS模型的因子系數(shù)方程B（t，T）在統(tǒng)計(jì)上無差別，說明NS模型具有無套利特征。

本文選擇NS模型，理由是：首先，該模型便于快速實(shí)時(shí)計(jì)算，方便實(shí)際應(yīng)用；其次，該模型參數(shù)具有一定的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義；最后，如上所述，該模型理論上可以轉(zhuǎn)換為無套利仿射模型，統(tǒng)計(jì)上也認(rèn)為該模型為無套利，其定價(jià)符合市場均衡特征，其中隱含的經(jīng)濟(jì)信息更具有代表性。

實(shí)時(shí)利率曲線定價(jià)方案

（一）參數(shù)估計(jì)

本文曲線參數(shù)由基準(zhǔn)券估計(jì)得出，假定N只基準(zhǔn)債券的價(jià)格向量為PV=[pv1， pv2，…， pvN]T，根據(jù)每只債券的基本信息可計(jì)算現(xiàn)金流，假定cij為第i只債券的第j筆現(xiàn)金流。假定N只債券總計(jì)有M筆現(xiàn)金流，求解曲線即求解下列方程：PV=cP，其中c為現(xiàn)金流矩陣，P為零息債券價(jià)格，即貼現(xiàn)函數(shù)。其具有如下形式：

上式中，貼現(xiàn)函數(shù)P（τ）=exp[-y（τ）?τ]，τj=Tj-t，t為估值日，Tj為第j筆現(xiàn)金流到期支付日。P（τ）可由即期利率曲線模型推算出，利率曲線函數(shù)為τi→y（τi）。曲線參數(shù)估計(jì)需要使得基于曲線的現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型價(jià)格與現(xiàn)券市場價(jià)格之間盡量接近，即求解以下優(yōu)化問題：

上式中，pvti為債券i市場價(jià)格，為債券理論價(jià)格，=∑jcijP（τj），wi為債券i權(quán)重。通常債券權(quán)重選擇為債券久期的倒數(shù)。

（二）實(shí)時(shí)利率曲線定價(jià)

Jankowitsch和Nettekoven（2008）研究發(fā)現(xiàn)常用的曲線模型并不能完全準(zhǔn)確地對(duì)債券定價(jià)，存在定價(jià)誤差（pricing error）。定價(jià)誤差通常由于債券的稅收和流動(dòng)性不同，但大部分這方面研究無法解釋全部誤差項(xiàng)。剩余定價(jià)誤差部分是由模型設(shè)定錯(cuò)誤或特定時(shí)段債券價(jià)格偏離市場所致。該作者提出了一個(gè)基于債券定價(jià)誤差的交易策略，能獲得顯著的回報(bào)。作者還發(fā)現(xiàn)債券定價(jià)誤差具有一定的趨勢持續(xù)性，并不完全是隨機(jī)的。

基于以上考慮，本文實(shí)時(shí)曲線定價(jià)及誤差計(jì)算處理邏輯如下。

一是將前幾期曲線計(jì)算債券對(duì)應(yīng)該期估值與該期行情價(jià)格之差作為模型定價(jià)誤差；該期行情價(jià)格優(yōu)先選擇收盤成交價(jià)，如果不存在則選擇買賣（bid/ofr）中間價(jià)。

二是計(jì)算上一步中前幾期定價(jià)誤差的滾動(dòng)均值。

三是構(gòu)建當(dāng)前最新曲線模型，根據(jù)當(dāng)前最新曲線計(jì)算債券的模型理論價(jià)格，將曲線理論價(jià)格加上誤差滾動(dòng)均值作為最終模型定價(jià)。

四是獲取最新有效市場行情，更新定價(jià)誤差。

（三）實(shí)時(shí)利率曲線評(píng)價(jià)

曲線模型選擇的直觀考量標(biāo)準(zhǔn)是定價(jià)準(zhǔn)確性和對(duì)沖效果，同時(shí)需要兼顧曲線計(jì)算的簡便性、理論上的一致性等。同時(shí)，也需要考慮曲線的穩(wěn)定性，即曲線受單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的波動(dòng)影響較小，當(dāng)數(shù)據(jù)小幅變動(dòng)時(shí)曲線變動(dòng)不應(yīng)更大。

數(shù)據(jù)選取與清洗方案

國債期貨與利率互換作為常用的對(duì)沖工具，同樣包含與市場利率相關(guān)的信息。為使曲線更能反映當(dāng)前市場狀態(tài)，本文加入國債期貨參與構(gòu)建曲線。本文選取國債期貨主力合約參與曲線構(gòu)建，在主力合約可交割券中選擇交易最活躍券，將國債期貨價(jià)格乘以轉(zhuǎn)換因子作為該券在期貨結(jié)算日的債券全價(jià)。

為使得曲線包含更多有效信息，數(shù)據(jù)的處理同樣重要。

（一）異常數(shù)據(jù)處理

由于手動(dòng)輸入錯(cuò)誤或其他操作失誤等，行情存在異常報(bào)價(jià)。該類報(bào)價(jià)明顯大幅偏離當(dāng)前市場行情。所以數(shù)據(jù)處理先需過濾異常數(shù)據(jù)。

本文的異常數(shù)據(jù)處理規(guī)則為：當(dāng)成交價(jià)格偏離最近3分鐘市場行情最優(yōu)價(jià)均值超過20BP，則標(biāo)記為異常數(shù)據(jù)，將其過濾。

（二）倒掛數(shù)據(jù)處理

不同渠道經(jīng)紀(jì)商報(bào)價(jià)不能直接撮合成交，當(dāng)行情存在倒掛時(shí)，手動(dòng)報(bào)價(jià)撮合并不能立即消除倒掛機(jī)會(huì)。本文在假定倒掛行情存在成交可能性下，在兩者之間綜合選擇，保留部分信息。其處理規(guī)則如下：與上一筆行情比較，取保守價(jià)格。

（三）基準(zhǔn)券權(quán)重

由于權(quán)重不同，曲線受不同券行情波動(dòng)的影響不同，進(jìn)而影響曲線對(duì)不同券的定價(jià)。因此本文在權(quán)重中考慮了每只券的交易活躍度。本文在每日日初固定基準(zhǔn)券權(quán)重，取上一交易日成交筆數(shù)的對(duì)數(shù)ln（X）+2，X為成交筆數(shù)。

實(shí)時(shí)利率曲線定價(jià)結(jié)果

本文基準(zhǔn)券選擇規(guī)則如下：對(duì)于固息國債和政策性金融債，選擇過去一周成交量活躍且上一交易日存在交易的債券，其中剔除剩余期限不足1年及上市已超過3年的債券，剔除含權(quán)債、浮息債、貼現(xiàn)債。對(duì)于國債期貨，選擇主力合約。最終的實(shí)時(shí)利率曲線結(jié)果如圖1所示。

圖1為2023年12月22日08∶56基于行情構(gòu)建的平價(jià)曲線（Par Curve），其由零息曲線計(jì)算得出。其中虛線為上一分鐘曲線，實(shí)線為當(dāng)前這一分鐘曲線。其中紅色空心圓圈為參與構(gòu)建曲線基準(zhǔn)券的市場行情，綠色實(shí)心圓點(diǎn)為成交行情，上下三角形分別代表買賣報(bào)價(jià)。

為考察本文方法對(duì)債券的定價(jià)結(jié)果，本文選擇2023年12月19日的一組債券數(shù)據(jù)。該組債券總計(jì)215只，其中包含政府債券82只、政策性金融債133只，含活躍券和非活躍券。數(shù)據(jù)時(shí)間段為08∶30至18∶30，按分鐘頻率統(tǒng)計(jì)最終定價(jià)與成交行情的誤差。其中以前5個(gè)交易日日均成交筆數(shù)作為債券活躍度指標(biāo)，將債券劃分為3組：小于5筆、大于5筆小于20筆、大于20筆。其定價(jià)結(jié)果如表1所示。結(jié)果顯示越活躍債券的定價(jià)誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差越小，這與預(yù)期一致。其中“最大值”一列顯示某券定價(jià)誤差的最大值。由于定價(jià)券中存在剩余期限小于0.1年的債券，其行情及定價(jià)波動(dòng)較大，但全樣本債券定價(jià)波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差為0.23BP左右。

對(duì)不同剩余期限債券的定價(jià)結(jié)果如表2所示。

表2顯示，在10年期限以內(nèi)，當(dāng)期限增加，曲線定價(jià)結(jié)果均值和誤差減小，定價(jià)更精準(zhǔn)；而大于10年的債券定價(jià)與期限間沒有明顯關(guān)系，可能與相關(guān)數(shù)據(jù)樣本量偏小有關(guān)。剩余期限大于10年的債券相對(duì)小于1年的短期債券，短期債券波動(dòng)更大，異常偏離也更大。這與預(yù)期一致：短期限債券更容易受曲線變動(dòng)影響，這與NS模型的特點(diǎn)相符。

基于交易曲線關(guān)鍵期限基點(diǎn)的價(jià)值對(duì)沖策略

（一）對(duì)沖模型

本文選擇債券投資組合中基準(zhǔn)組合構(gòu)建代表性投資組合，考察曲線對(duì)沖效果。假定持倉組合值為V0，存在i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，存在L個(gè)可用的對(duì)沖工具，其值為H=（H1， H2， ...， HL）T，對(duì)沖工具對(duì)因子的敏感性為?i Hl，假定對(duì)沖工具的權(quán)重為p=（p1， p2， ...， pL）T，對(duì)沖組合的價(jià)值為H（p）=pT·H。該組合對(duì)因子的敏感性為?iH（p）=pT??iH。那么對(duì)沖的目標(biāo)是盡可能對(duì)沖掉持倉組合V0對(duì)該因子的敏感性風(fēng)險(xiǎn)?iV0。對(duì)沖組合問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)優(yōu)化問題。該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為：

上式中，假定TCl為該對(duì)沖工具的交易成本。若定義矩陣?H=[?1H， ?kH， ...， ?KH]，?V0=[?1V0， ...， ?KV0 ]T，假定權(quán)重矩陣W的對(duì)角上元素為Wk，交易成本矩陣TC對(duì)角上元素為TCl，那么上述問題轉(zhuǎn)化為：

上述問題的解為：

（?H·W2·?HT+TC2）=?H·W2·?V0

（二）交易成本

在債券市場中存在買賣非同步性和信息不對(duì)稱，使得交易存在成本。其中買賣的非同步性導(dǎo)致做市商或投資者需要被動(dòng)持有一段時(shí)間，并面對(duì)價(jià)格波動(dòng)帶來的損益。信息不對(duì)稱是交易成本存在的另一個(gè)重要原因：不同債券發(fā)行者、不同債券條款對(duì)投資者傳遞的信息含量不同。在進(jìn)行對(duì)沖時(shí)需要考慮交易成本。本文中，交易成本TC=Dt×BA，Dt為定價(jià)期初債券久期，BA為買賣價(jià)差。

（三）風(fēng)險(xiǎn)敏感性計(jì)算

本文中資產(chǎn)組合的利率敏感性指標(biāo)為關(guān)鍵期限基點(diǎn)價(jià)值（KRDV01，以下簡稱“關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01”），為曲線在關(guān)鍵期限上變動(dòng)1個(gè)基點(diǎn)對(duì)債券價(jià)格的影響，可根據(jù)關(guān)鍵期限久期（KRD，Key-Rate Duration）計(jì)算。

國債期貨的風(fēng)險(xiǎn)敏感性由對(duì)應(yīng)可交割券代表計(jì)算，因此與現(xiàn)券的計(jì)算類似，可以計(jì)算國債期貨的風(fēng)險(xiǎn)敏感性，即可交割券的敏感性除以轉(zhuǎn)換因子。

（四）對(duì)沖策略

本文對(duì)沖策略是在關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01上設(shè)定兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)閾值。當(dāng)組合關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01達(dá)到第一個(gè)閾值1時(shí)，且持倉組合風(fēng)險(xiǎn)較小時(shí)，根據(jù)債券交易流動(dòng)性，選擇市場行情最優(yōu)價(jià)掛單賣出已持有債券。在此情形下，需要考慮掛單至被點(diǎn)擊成交的時(shí)間成本，當(dāng)成交時(shí)，做市商的持倉量減少，同時(shí)做市商可以獲得買賣價(jià)差。當(dāng)組合關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01達(dá)到第二個(gè)閾值2時(shí)，此時(shí)在國債期貨等活躍資產(chǎn)上對(duì)沖，可以對(duì)沖該關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01，同時(shí)減少其他關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01風(fēng)險(xiǎn)。

為考察交易曲線及其對(duì)沖效果，本文選擇持倉組合如下：由短期子彈策略、中期子彈策略、長期子彈策略構(gòu)建的梯形組合。組合中包含債券如下：1年期債券（包含140029.IB、220332.IB）、3年債券（包含220002.IB、210315.IB）、5年期債券（包含180027.IB、190205.IB）、10年期債券（包含130016.IB、230205.IB）、30年期債券（包含230009.IB、210221.IB）。組合總持倉面值1億元，每個(gè)組合內(nèi)每只券持倉面值1000萬元。

組合采用國債期貨對(duì)沖工具為30年期國債期貨（TL2403）、2年期國債期貨（TS2403）、10年期國債期貨（T2403）、5年期國債期貨（TF2403）。在2023年12月28日計(jì)算對(duì)沖結(jié)果如表3所示。表中關(guān)鍵期限為0.5年、1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、30年。持倉組合中單券的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01如表3所示，從該券所在行第4列開始，對(duì)應(yīng)的期限列中顯示該券在該期限的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01。那么當(dāng)組合總計(jì)風(fēng)險(xiǎn)敞口在設(shè)定關(guān)鍵期限中超過閾值1時(shí)（本例中以10年期限關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01值超過5000元）進(jìn)行第一步對(duì)沖。以表3中230205.IB為例，其價(jià)差在2023年12月28日最低時(shí)為0.25BP，10年期關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01為5289.66元，總基點(diǎn)價(jià)值（DV01）為8162.05元，那么掛賣單進(jìn)行對(duì)沖可獲利2040元。

當(dāng)在設(shè)定關(guān)鍵期限中超過閾值2時(shí)（本例中以5年、10年或者30年的關(guān)鍵期限D(zhuǎn)V01閾值超過10000元時(shí)）進(jìn)行國債期貨對(duì)沖。本例通過在國債期貨TL2403上空20手、TS2403上空3手、T2403上空18手、TF2403上空24手，對(duì)沖成本為4220元，可以對(duì)沖掉持倉組合中在5年、10年、30年期上利率波動(dòng)的大部分風(fēng)險(xiǎn)。

結(jié)論

本文從實(shí)際交易角度出發(fā)，提出了基于交易和對(duì)沖的實(shí)時(shí)利率曲線構(gòu)建方法論，其中融合了國債期貨，使得曲線反映了更多的市場信息，并且對(duì)市場波動(dòng)反應(yīng)更迅速。數(shù)據(jù)分析結(jié)果顯示，NS模型對(duì)活躍券的定價(jià)比較準(zhǔn)確、穩(wěn)定，但其短端定價(jià)波動(dòng)較大，與NS模型特征相符。這可以作為未來的改進(jìn)優(yōu)化方向。另外，組合的對(duì)沖分析需要考慮交易成本，不同對(duì)沖工具的交易成本不同。由于國債期貨交易活躍，其交易成本相對(duì)較低，本文的分析案例選擇國債期貨作為對(duì)沖工具。

參考文獻(xiàn)

[1] Christensen J H， Diebold F X， Rudebusch G D. The affine arbitrage-free class of Nelson-Siegel term structure models[J]. Journal of Econometrics， 2011， 164 （1）.

[2] Coroneo L， Nyholm K， Vidova-Koleva R. How arbitrage-free is the Nelson-Siegel model？[J]. Journal of Empirical Finance， 2011， 18（3）.

[3] Diebold F X， Li C. Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields[J]. Journal of Econometrics， 2006， 130（2）.

[4] Duffie D， Kan R. A Yield-factor Model of Interest Rates[J]. Mathematical Finance， 1996， 6（4）.

[5] Jankowitsch R， Nettekoven M. Trading strategies based on term structure model residuals[J]. The European Journal of Finance， 2008， 14（4）.

[6] Leif B G Andersen， Vladimir V Piterbarg. Interest Rate Modeling[M]. Illustrated edition. Atlantic Financial Press， 2011.

[7] Nelson C R， Siegel A F. Parsimonious Modeling of Yield Curves[J]. Journal of Business， 1987， 60（4）.

作者：中國銀行上?？偛拷鹑谑袌霾恐鞴?/p>

森浦二級(jí)交易解決方案業(yè)務(wù)主管

森浦二級(jí)交易解決方案產(chǎn)品專家

中國銀行上?？偛拷鹑谑袌霾繕I(yè)務(wù)經(jīng)理

編輯：張淼 廖雯雯