摘要： 利用凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計了一種分段阻尼裝置。以傳統(tǒng)Voigt型動力吸振器為基礎(chǔ)，將該裝置安裝于動力吸振器的主系統(tǒng)與子系統(tǒng)之間，建立了吸振器的動力學(xué)方程。利用在一個振動周期內(nèi)阻尼耗能等效這一原理，在相同振動頻率下得到了分段阻尼裝置的等效阻尼系數(shù)。推導(dǎo)得出了具有分段阻尼特性的動力吸振器的理論解，并用數(shù)值解進(jìn)行了驗證。比較分析了無阻尼、傳統(tǒng)線性阻尼及具有分段阻尼特性的動力吸振器的吸振特性。結(jié)果表明，具有分段阻尼特性的動力吸振器的幅頻特性綜合了無阻尼和傳統(tǒng)線性阻尼動力吸振器的特點，能保證反共振點處主系統(tǒng)的振幅很低，同時對主系統(tǒng)的共振振幅的抑制效果接近于傳統(tǒng)線性阻尼動力吸振器。

關(guān)鍵詞： 動力吸振器； 分段阻尼； 共振； 反共振； 能量等效

中圖分類號： O322； TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-0945-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.005

引 言

動力吸振器是一種振動控制裝置，通過輔助質(zhì)量、彈簧和阻尼作用來減小被控對象的振動，同時附加質(zhì)量會產(chǎn)生一定的振動，如同附加質(zhì)量將被控對象的振動吸收［1］。Frahm［2］發(fā)明了一種窄頻帶無阻尼動力吸振器，這種吸振器只能在較窄的頻帶范圍內(nèi)實現(xiàn)良好的振動抑制效果，而在帶寬附近會使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的振幅。Ormondroyd等［3］首次將阻尼添加到動力吸振器中，并提出了固定點理論。Den Hartog［4］將這一理論總結(jié)到其著作中，完善了傳統(tǒng)Voigt型動力吸振器模型及其參數(shù)優(yōu)化方法。Nishihara等［5?6］進(jìn)一步得到了此模型的精確級數(shù)解。Crandall等［7］提出了優(yōu)化設(shè)計準(zhǔn)則，可使系統(tǒng)輸入功率達(dá)到最小。Yamaguchi［8］提出了最大穩(wěn)定性優(yōu)化準(zhǔn)則，得到了主系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)最快穩(wěn)定的方案。Asami等［9］得到了主系統(tǒng)無阻尼狀態(tài)下H?infinity優(yōu)化的級數(shù)解和精確解。此后線性動力吸振器模型逐漸豐富。Asami等［10］提出了三要素型動力吸振器基于固定點理論的優(yōu)化方法。Ren［11］提出了一種接地式動力吸振器及其參數(shù)優(yōu)化方法。Liu等［12?13］運用不同方法得到了類似的優(yōu)化參數(shù)，并應(yīng)用到了主系統(tǒng)含阻尼的接地式動力吸振器最優(yōu)參數(shù)優(yōu)化過程中。背戶一登［14］將不同類型的線性動力吸振器設(shè)計方法進(jìn)行了推廣，使其在實用性上得到了進(jìn)一步提高。胡海巖［15］分析了無阻尼二自由度系統(tǒng)反共振現(xiàn)象，對原點反共振、跨點反共振機(jī)理進(jìn)行了分析。

由于早期的線性動力吸振器存在帶寬較窄等問題，人們開始廣泛地研究非線性動力吸振器，非線性動力吸振器逐漸成為動力吸振器的研究熱點［16］。Bellizzi等［17］研究了一種含立方剛度和時滯控制策略黏滯阻尼器的非線性吸振器，其質(zhì)量較輕、魯棒性較強且減振頻帶寬，因此在許多場合得到了應(yīng)用［18］。劉麗蘭等［19］設(shè)計了一種含非線性阻尼的雙穩(wěn)態(tài)動力吸振器，該吸振器考慮了雙穩(wěn)態(tài)吸振器分岔情況，能夠得到相較于線性阻尼雙穩(wěn)態(tài)吸振器更好的減振效果。Milovanovic等［20］考慮了并聯(lián)立方剛度和三次非線性阻尼的單自由度隔振系統(tǒng)。Jing［21］研究了一種基于Voigt系統(tǒng)含立方項剛度和非線性阻尼的動力吸振器，發(fā)現(xiàn)其對主系統(tǒng)控制有許多優(yōu)勢。Koo等［22］研究了一種半主動調(diào)諧吸振器控制方法，分別基于速度和位移的on?off和continues控制策略分析了吸振性能。Shen等［23?24］利用平均法得到了半主動on?off控制的近似解析解。郎君等［25?26］ 將on?off 控制策略引入到Voigt型動力吸振器和接地型動力吸振器中，應(yīng)用該控制策略使系統(tǒng)在隨機(jī)激勵下得到了較好的位移響應(yīng)。劉中坡等［27?28］研究了一種安裝在高層結(jié)構(gòu)的軌道型被動NES能量阱模型，分析結(jié)構(gòu)在不同模態(tài)下承受風(fēng)振激勵和地震波激勵時的頂層位移響應(yīng)和加速響應(yīng)，其研究對象屬于一種連續(xù)系統(tǒng)。

無阻尼動+uR33vRh4+6dhStRosKECg==力吸振器存在反共振點，當(dāng)激勵頻率與反共振點頻率一致時，被控對象不動，振動完全被子系統(tǒng)“吸收”，振動控制效果最好，但激勵頻率偏離反共振點頻率，尤其是接近系統(tǒng)的固有頻率時，被控對象反而振動劇烈。為了拓寬無阻尼動力吸振器的吸振頻帶，動力吸振器要有一定的阻尼，但阻尼的存在會惡化反共振點頻率處的吸振效果。為了解決這一矛盾，本文提出了一種分段阻尼裝置，該裝置在反共振點頻率附近時體現(xiàn)為無阻尼特性，在偏離反共振點頻率時體現(xiàn)一定的阻尼特性。

1 分段阻尼裝置及阻尼特性分析

圖1為基于移動凸輪設(shè)計的非線性阻尼裝置，該裝置兩側(cè)為橫向且對稱布置的線性黏滯阻尼器，中間為可以上下移動的凸輪塊。凸輪塊兩側(cè)為對稱的輪廓線，輪廓線設(shè)計成T形導(dǎo)軌槽樣式。每個T形槽內(nèi)嵌入一個滾動軸承，凸輪兩邊分別放置一個橫向的阻尼器，阻尼器的活塞桿與滾動軸承內(nèi)圈相連。工作狀態(tài)下凸輪與橫向布置的阻尼器相對上下移動，滾動軸承在導(dǎo)軌槽的引導(dǎo)下可以自由滾動。運動過程產(chǎn)生的摩擦力很小，本文分析時忽略該摩擦力。

設(shè)計不同的凸輪輪廓線可以使阻尼產(chǎn)生不同的效果。本文選取如圖1（d）所示的輪廓曲線進(jìn)行探討。整個運動過程中，凸輪與阻尼活塞桿之間相對豎直分位移方向為軸，相對水平分位移方向為軸，輪廓線與軸之間形成的傾角為。為阻尼開始產(chǎn)生的位置相對凸輪橫向?qū)ΨQ線的距離，即圖1（d）中T形導(dǎo)軌槽方向改變的位置到水平對稱軸的距離。運動過程中，當(dāng)軸承與凸輪塊之間相對位移小于時，阻尼活塞桿與阻尼油缸之間無水平分速度，系統(tǒng)瞬時不會產(chǎn)生阻尼力。當(dāng)相對位移大于時，阻尼活塞桿與阻尼油缸之間會產(chǎn)生一對水平分速度，系統(tǒng)瞬時產(chǎn)生阻尼力。該輪廓曲線對應(yīng)的位移幾何關(guān)系式為：

（1）

（2）

令兩側(cè)單個線性阻尼器的阻尼系數(shù)為。在有阻尼范圍內(nèi)，阻尼力作用在凸輪輪廓線上的水平分力自相平衡，豎直分力等效為由阻尼系數(shù)為的垂向布置阻尼產(chǎn)生，等效阻尼與實際阻尼瞬時功率相等，即

（3）

化簡可得：

（4）

結(jié)合式（1）相對位移小于部分，可以得出圖1（d）形式的凸輪輪廓曲線對應(yīng)的等效阻尼系數(shù)：

（5）

2 動力吸振器動力學(xué)方程及求解

如圖2所示，傳統(tǒng)Voigt型動力吸振器模型用彈簧和阻尼連接主系統(tǒng)與吸振器，其中，為主系統(tǒng)質(zhì)量，為主系統(tǒng)剛度，為附加吸振器質(zhì)量，為附加吸振器剛度，為阻尼系數(shù)，為主系統(tǒng)的位移，為附加動力吸振器位移，為激勵力幅值，為激振頻率。本文將模型中的線性阻尼的阻尼系數(shù)變?yōu)閳D1（b）所示的分段阻尼的阻尼系數(shù)，該模型可以利用主系統(tǒng)與吸振器之間相對振幅來被動調(diào)節(jié)阻尼大小。設(shè)置圖1（c）凸輪兩端輪廓曲線傾角為，即圖1（d）的傾角α為，則垂向阻尼系數(shù)為：

（6）

2.1 無阻尼部分動力學(xué)分析

對于Voigt型動力吸振器來說，主系統(tǒng)與吸振器之間的相對位移相當(dāng)于凸輪與滾子沿軸方向的相對位移，所以需要求出無阻尼條件下主系統(tǒng)與吸振器的穩(wěn)態(tài)相對振幅。當(dāng)穩(wěn)態(tài)相對振幅小于時，滾動軸承在變阻尼點位置以下移動，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)。此時系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

（7）

令模型各部分穩(wěn)態(tài)響應(yīng)形式為：

（8）

式中 為主系統(tǒng)與吸振器之間的相對位移；X1，X2及X12分別為主系統(tǒng)、吸振器及主系統(tǒng)與吸振器之間的相對位置位移變振幅。

引入歸一化參數(shù)：

。

將上述參數(shù)代入式（7）中，得到：

（9）

引入歸一化振幅：

，解得主系統(tǒng)歸一化振幅、吸振器歸一化振幅，以及主系統(tǒng)與吸振器之間相對歸一化振幅分別為：

（10）

（11）

（12）

根據(jù)文獻(xiàn)［29］可知，當(dāng)激勵頻率達(dá)到系統(tǒng)反共振頻率，即頻率化時，主系統(tǒng)歸一化振幅為0，將代入式（11）和（12），獲得吸振器歸一化振幅與相對歸一化振幅為：

（13）

在此引入歸一化振幅：

（14）

上述過程表明在反共振頻率處，主系統(tǒng)歸一化振幅為0，吸振器歸一化振幅為，在對應(yīng)的實際位置設(shè)置第1節(jié)所述的模型阻尼產(chǎn)生，即可使系統(tǒng)在反共振頻率處無阻尼參與，能夠達(dá)到歸一化振幅為0的特性。

由式（12）和（14）得到歸一化振幅為時對應(yīng)的四個頻率比分界點分別為：

（15）

（16）

（17）

（18）

圖3為改變參數(shù)時分界點處四個頻率比的大小關(guān)系。圖4為在根據(jù)式（12）得到的動力吸振器無阻尼頻率范圍內(nèi)，歸一化振幅的幅頻曲線低于的部分。由圖3和4可以得到動力吸振器無阻尼頻率區(qū)間為：

（19）

式中 ；。

由圖4可見，在式（19）所示的區(qū)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)相對振幅低于阻尼分界點，所以可適用無阻尼公式（10）～（12）來獲得系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)振幅。

2.2 有阻尼部分動力學(xué)分析

當(dāng)穩(wěn)態(tài)歸一化振幅大于時，系統(tǒng)存在分段阻尼。對應(yīng)的頻率比區(qū)間為：

（20）

系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)振動階段的相對穩(wěn)態(tài)振幅曲線與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般形式（8）基本相同。圖5為相對穩(wěn)態(tài)振幅在一個振動周期內(nèi)所經(jīng)歷的時程曲線，在一個穩(wěn)態(tài)周期內(nèi)滾子會四次經(jīng)過對稱的阻尼產(chǎn)生位置，此位置對應(yīng)歸一化振幅，設(shè)第一次經(jīng)過變阻尼點時主系統(tǒng)與吸振器之間的相角為：

（21）

由對稱性和循環(huán)性可以得到其他三個變阻尼點對應(yīng)的相角關(guān)系。

圖5表明系統(tǒng)在一個振動周期內(nèi)的有阻尼頻率區(qū)間由三部分組成。在有阻尼的三部分頻率區(qū)間內(nèi)對阻尼力進(jìn)行積分，得到一個周期內(nèi)的分段阻尼耗能。同時對系統(tǒng)一個周期內(nèi)的等效線性阻尼做功積分得到等效線性阻尼耗能。根據(jù)能量等效的方法，一個周期內(nèi)分段線性阻尼的三部分做功與等效阻尼做功相等，可獲得如下關(guān)系式：

（22）

解得等效阻尼為：

（23）

由式（23）可見，等效阻尼只與變量相角有關(guān)。將等效阻尼代入系統(tǒng)模型，得到系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

（24）

添加歸一化參數(shù)：

（25）

得到有阻尼范圍內(nèi)各部分歸一化振幅分別為：

（26）

（27）

（28）

觀察式（21）和（23）可見等效阻尼與歸一化振幅，有關(guān)，即與頻率比有關(guān)，所以在不同頻率下系統(tǒng)的等效線性阻尼是不一樣的。若將式（21）代入等效阻尼式（23），并將含有反三角函數(shù)的等效阻尼代入式（28）來反解歸一化的激振頻率，再將和等效阻尼代入式（26）中求主系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振幅，整個計算過程將十分復(fù)雜。式（23）中等效阻尼只與歸一化振幅有關(guān)，且在已知的情況下，可由式（28）反解出等效線性阻尼下對應(yīng)的頻率。將得到的參數(shù)和代入式（23），即可解出對應(yīng)頻率和相對振幅下的主系統(tǒng)歸一化振幅。由圖4可知，當(dāng)歸一化相對穩(wěn)態(tài)振幅大于阻尼產(chǎn)生位置歸一化振幅時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動才會有阻尼參與。所以從開始，取系列歸一化相對穩(wěn)態(tài)振幅，形成。利用式（21）和（23）獲得對應(yīng)變阻尼相角和等效線性阻尼：

（29）

式中 內(nèi)部元素為所取的不同歸一化相對穩(wěn)態(tài)振幅的值，和各參數(shù)內(nèi)部元素如下：

（30）

（31）

由等效阻尼可得到等效阻尼比為：

（32）

式中 結(jié)構(gòu)形式與相同，為便于后文說明，定義內(nèi)部元素為。

通過式（28）求解等效線性系統(tǒng)下相對穩(wěn)態(tài)振幅和等效阻尼比對應(yīng)的激振頻率比為：

（33）

經(jīng)計算，頻率中每個元素包含四個解：

（34）

引入?yún)?shù)：

解得式（34）中各元素分別為：

（35）

（36）

（37）

（38）

將結(jié)果代入式（26）中，可得到與和對應(yīng)的主系統(tǒng)振幅為：

（39）

與形式相同，每個元素包含四個解：

（40）

式中 中各元素解分別為：

（41）

（42）

（43）

（44）

3 數(shù)值解驗證及主系統(tǒng)幅頻特性

3.1 數(shù)值解仿真驗證

取參數(shù)，，，，， 。由式（14）確定阻尼產(chǎn)生位置歸一化振幅，并利用第2，3節(jié)所述方法可以得到主系統(tǒng)歸一化振幅。計算無阻尼參與的頻率范圍內(nèi)解析解和有阻尼頻率范圍內(nèi)的近似解析解，并將有阻尼頻率范圍內(nèi)的數(shù)值解與解析解對比，得到結(jié)果如圖6所示。圖6表明，除振幅較大的峰值處略有不同外，解析解和數(shù)值解基本重合，說明本文對分段阻尼的處理方法是有效可行的。

3.2 主系統(tǒng)幅頻特性

如圖7所示，固定剛度為1120 N/m，并在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)線性阻尼可改變兩振幅的自身高度。如圖8所示，固定阻尼并調(diào)節(jié)剛度可以有效調(diào)節(jié)兩峰值的相對高度，這種情況與線性系統(tǒng)相似。同時改變吸振器的剛度和阻尼，不會對在反共振點頻率處主系統(tǒng)振幅為0這一特性產(chǎn)生影響。

圖9為其他參數(shù)不變，只改變激勵力幅值后的主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線。分別設(shè)置激勵力為1000，1300和2000 N。其中變阻尼點為激勵力為1300 N時無阻尼反共振點相對振幅，即

（45）

當(dāng)激勵力小于1300 N時，主系統(tǒng)在反共振頻率處振幅保持為0，且整體振幅較低。當(dāng)激勵力大于1300 N時，主系統(tǒng)在反共振頻率處振幅大于0，但是依舊處在較低的響應(yīng)水平，且整體振幅較高。

圖10為其他參數(shù)不變，改變變阻尼點后的主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線。當(dāng)大于時，主系統(tǒng)在反共振頻率處振幅可以保持為0，但峰值振幅較高。當(dāng)小于時，系統(tǒng)在反共振頻率處振幅大于0，但峰值振幅較低。

通過設(shè)置不同的激勵力幅值和不同的變阻尼點后對比主系統(tǒng)的響應(yīng)，可分析出反共振頻率處主系統(tǒng)的響應(yīng)特點。在激勵為正弦激勵時，該模型實現(xiàn)主系統(tǒng)振幅為0的本質(zhì)是反共振頻率處阻尼不參與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過程，從而保留無阻尼反共振頻率的效果。從式（14）和（45）可以看出，變阻尼點位置的設(shè)定與主系統(tǒng)靜位移有關(guān)，即在系統(tǒng)確定的情況下與激勵力幅值有關(guān)。要達(dá)到反共振頻率處主系統(tǒng)振幅為0，需要使系統(tǒng)在反共振頻率處穩(wěn)態(tài)相對振幅小于變阻尼點，此時系統(tǒng)無阻尼產(chǎn)生，這樣就保留了無阻尼反共振頻率的效果。

為了更直觀地展現(xiàn)此模型的特點，將該模型與傳統(tǒng)線性Voigt型動力吸振器以及無阻尼動力吸振器進(jìn)行對比，過程中保持基本參數(shù)，和相同。在線性Voigt型動力吸振器模型中，吸振系統(tǒng)剛度和阻尼經(jīng)過H?infinity優(yōu)化得到［29］。根據(jù)如下公式得到線性最優(yōu)同調(diào)以及最優(yōu)阻尼比：

（46）

（47）

根據(jù)式（46），（47）得到線性最優(yōu)剛度為1074.4 N/m，線性最優(yōu)阻尼為76.6 N/（m/s）。

在含分段阻尼的Voigt型動力吸振器模型中，設(shè)置變阻尼裝置的有阻尼段為100 N/（m/s），通過第2節(jié)推導(dǎo)過程獲得此非線性模型主系統(tǒng)響應(yīng)，并調(diào)節(jié)剛度，使主系統(tǒng)兩共振峰等高。最終得到吸振器剛度為1120 N/m。計算各頻率振幅，得到如圖11所示的結(jié)果。

圖11表明，與傳統(tǒng)線性Voigt型動力吸振器相比，含分段阻尼的Voigt型動力吸振器能夠在反共振頻率范圍內(nèi)使系統(tǒng)振幅得到有效優(yōu)化。與線性無阻尼動力吸振器相比，含分段阻尼的Voigt型動力吸振器能夠在兩共振頻率處有效降低共振峰值。

3.3 掃頻下的振動響應(yīng)對比

為了表現(xiàn)此模型在掃頻下的響應(yīng)情況，構(gòu)建了時長為30 s，頻率由1 Hz到2 Hz，力幅值為2500 N的掃頻激勵。將Voigt型線性動力吸振器和本文所述的非線性動力吸振器進(jìn)行對比，其中各吸振器參數(shù)與前述一致，兩模型響應(yīng)對比結(jié)果如圖12所示。

計算結(jié)果顯示，應(yīng)用線性動力吸振器的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差為1.4024×10-1，非線性動力吸振器的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差為2.6356×10-1。可見，非線性動力吸振器掃頻激勵下整體響應(yīng)沒有明顯改善。

4 結(jié) 論

基于移動凸輪和線性阻尼器設(shè)計了分段阻尼裝置，并將該裝置應(yīng)用于動力吸振器，分析了含分段阻尼特性動力吸振器的吸振特性，得到結(jié)論如下：

（1）當(dāng)激勵幅值不大時，本文提出的動力吸振器在反共振點處的振幅為0，振動控制效果等同于無阻尼動力吸振器，但共振點附近主系統(tǒng)的振幅得到有效抑制，特性明顯優(yōu)于無阻尼動力吸振器。

（2）當(dāng)激勵幅值較大時，主系統(tǒng)反共點處的幅值不為0，但振幅遠(yuǎn)小于有阻尼動力吸振器的振幅。

（3）傳統(tǒng)無阻尼動力吸振器能夠在反共振頻率處使主系統(tǒng)振幅為0，但抑振頻帶狹窄，尤其在共振點處，主系統(tǒng)的振幅為無限大；傳統(tǒng)線性Voigt型動力吸振器能夠很好地抑制共振振幅，卻在反共振頻率處大大增加了主系統(tǒng)振幅。本文提出的分段阻尼裝置仍然適用于反共振點處較窄的吸振頻帶，其吸振效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)線性阻尼器，且當(dāng)激振頻率偏離吸振頻帶，尤其是共振點處時，仍能有效抑制主系統(tǒng)的振動。

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Vibration absorption characteristics of dynamic vibration absorber with piecewise damping characteristics

LU Xue-li， XING Hai-jun， RUAN Zi-yue

（School of Mechanical Engineering， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang 050043， China）

Abstract： A segmented damping device is designed using a cam mechanism in this study. Based on the traditional Voigt dynamic vibration absorber， this device is installed between the main system and subsystem of the dynamic vibration absorber， and the dynamic equation of the vibration absorber is established. Using the principle of equivalent damping energy dissipation within one vibration period， the equivalent damping coefficient of the segmented damping device at the same vibration frequency is obtained. The theoretical solution of a dynamic vibration absorber with piecewise damping characteristic is derived and verified by numerical solution. The vibration absorption characteristics of undamped， traditional linear damping， and dynamic absorber with piecewise damping are compared and analyzed. The results show that the amplitude frequency characteristics of the dynamic vibration absorber with piecewise damping characteristics integrate the characteristics of undamped and traditional linear damping dynamic vibration absorbers. This ensures that the amplitude of the main system at the anti-resonance point is very low， and the suppression effect of the resonance amplitude of the main system is close to that of the traditional linear damping dynamic vibration absorber.

Key words： dynamic vibration absorber；piecewise damping；resonance；anti-resonance；energy equivalence principle

作者簡介： 盧學(xué)禮（1997—），男，碩士研究生。 E-mail： 2093728776@qq.com。

通訊作者： 邢海軍（1967—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。 E-mail： 412261035@qq.com。