摘要： 球式自動(dòng)平衡器（Automatic Ball Balancer，簡(jiǎn)稱ABB）可以在臨界轉(zhuǎn)速以上區(qū)域完全消除轉(zhuǎn)子未知不平衡量，但其缺點(diǎn)是在臨界轉(zhuǎn)速附近會(huì)引起大振幅的共振響應(yīng)和不穩(wěn)定振蕩。為此增加動(dòng)力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，簡(jiǎn)稱DVA）來克服其缺點(diǎn)，改善其抑振性能。以Jeffcott偏心轉(zhuǎn)子模型為研究對(duì)象，根據(jù)拉格朗日方程建立了吸振器、球平衡器單獨(dú)使用以及兩者結(jié)合使用時(shí)控制轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，使用諧波平衡法理論求解新耦合系統(tǒng)的振幅表達(dá)式，并分析各參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)幅頻曲線的影響規(guī)律以獲得較合適的參數(shù)，采用龍格?庫(kù)塔數(shù)值方法計(jì)算得到穩(wěn)態(tài)幅頻特性圖和瞬態(tài)振幅時(shí)域變化曲線。對(duì)比結(jié)果表明，兩種手段并用的新方案有效降低了轉(zhuǎn)子經(jīng)過臨界共振區(qū)時(shí)的振動(dòng)水平，并使轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速以上區(qū)域衰減為零振幅，達(dá)到了融合兩者優(yōu)點(diǎn)的目的，具有更優(yōu)良的抑振效果。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)控制； Jeffcott偏心轉(zhuǎn)子模型； 動(dòng)力吸振器； 球式自動(dòng)平衡器； 臨界轉(zhuǎn)速

中圖分類號(hào)： TB535； O347.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）06-0954-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.006

引 言

在各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械中因?yàn)椴黄胶舛鴮?dǎo)致的有害振動(dòng)是一種常見的故障，特別是大多數(shù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的工作轉(zhuǎn)速通常位于其自身的一階臨界轉(zhuǎn)速以上，無論是經(jīng)過臨界共振區(qū)時(shí)的強(qiáng)烈共振響應(yīng)還是在工作轉(zhuǎn)速時(shí)始終存在的不平衡振動(dòng)都會(huì)影響機(jī)械壽命和工作精度，因此對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡振動(dòng)控制一直是研究重點(diǎn)。

產(chǎn)生轉(zhuǎn)子不平衡的原因一方面是材質(zhì)不均勻或加工裝配不良，其不平衡量是固定的，可以通過高精度的現(xiàn)場(chǎng)平衡措施消除；另一方面是機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)或操作過程引起的，如熱變形、磨損腐蝕、葉片表面積垢、洗衣機(jī)中衣物放置不均勻等，其不平衡量是隨機(jī)的、變化的，無法提前預(yù)知并消除。各種在線自動(dòng)平衡裝置可以解決這一問題，其分為主動(dòng)式和被動(dòng)式［1?2］。主動(dòng)式自動(dòng)平衡裝置需要結(jié)構(gòu)復(fù)雜的傳感器、控制器和執(zhí)行器，成本高昂，技術(shù)實(shí)現(xiàn)較困難，只適合在少數(shù)高精度的關(guān)鍵場(chǎng)合使用。被動(dòng)式自動(dòng)平衡裝置利用補(bǔ)償質(zhì)量的自由移動(dòng)消除不平衡量，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉、不需外部能源且抑振效果較好，球式平衡器就是其中的一種。

球平衡器由距轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸一定半徑的圓周軌道內(nèi)自由移動(dòng)的球體組成，在轉(zhuǎn)速高于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)這些滾球自然地運(yùn)動(dòng)到特定的平衡位置以抵消轉(zhuǎn)子的不平衡量。許多學(xué)者研究了球平衡器的平衡機(jī)理和動(dòng)態(tài)特性。Green等［3］分析了裝有雙球自動(dòng)平衡器的平面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)子的平衡解、極限環(huán)及其分岔行為。Rodrigues等［4］分析了配備兩個(gè)球平衡器的剛性轉(zhuǎn)子的雙平面自動(dòng)平衡性能。DeSmidt等［5］和Jung等［6?7］考慮了軸內(nèi)部阻尼、球平衡器與不平衡平面之間的安裝距離、非平面運(yùn)動(dòng)、非對(duì)稱支承等因素，研究了安裝球平衡器的柔性轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)解和非同步極限環(huán)行為。張小龍等［8］研究了配備單、雙球自動(dòng)平衡裝置的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期解，并利用特征方程和Routh?Hurwitz判據(jù)分析了其穩(wěn)定性。為了克服傳統(tǒng)球平衡器在亞臨界和臨界轉(zhuǎn)速區(qū)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子振動(dòng)加劇的缺陷，Rezaee等［9］提出了將平衡球用徑向和周向彈簧進(jìn)行約束，使其能同時(shí)在徑向和周向運(yùn)動(dòng)的球平衡器新結(jié)構(gòu)，并研究了其平衡性能。Haidar等［10］提出了帶離心夾具的分區(qū)軌道球式平衡器的新設(shè)計(jì)，建立了包括摩擦和碰撞因素的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。這些改進(jìn)的新型球平衡器增強(qiáng)了該裝置的實(shí)用性，有助于擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。

吸振器的具體形式靈活多變，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，抑振效果良好，其缺點(diǎn)是有效吸振頻帶較窄，會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)新的共振峰。吸振器在土木建筑和往復(fù)式運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)上已經(jīng)獲得了大量的研究和應(yīng)用，近年一些學(xué)者開始嘗試使用吸振器控制旋轉(zhuǎn)機(jī)械的不平衡振動(dòng)。張炳康等［11］設(shè)計(jì)了一種環(huán)形吸振器，并對(duì)其抑制轉(zhuǎn)子過臨界振動(dòng)、變質(zhì)量調(diào)頻、不同安裝位置和數(shù)量時(shí)的實(shí)際控制效果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。黃秀金等［12］設(shè)計(jì)了一種可通過改變懸臂桿有效長(zhǎng)度實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)節(jié)的半主動(dòng)籠式吸振器，根據(jù)變化的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制作動(dòng)時(shí)機(jī)以連續(xù)抑制臨界轉(zhuǎn)速和工作轉(zhuǎn)速下的振動(dòng)，并避免了新共振峰的產(chǎn)生。馮浩然等［13］設(shè)計(jì)了通過電磁鐵的吸合或脫離來控制吸振器質(zhì)量塊的接入或斷開的開關(guān)控制策略，使吸振器只在臨界共振區(qū)時(shí)才接入主系統(tǒng)發(fā)揮減振作用，并針對(duì)多跨轉(zhuǎn)子軸系進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。姚紅良等［14］設(shè)計(jì)了一種通過不同直徑懸臂桿與不同間隙孔的依次接觸來擬合非線性彈性恢復(fù)力的非線性能量阱，并比較了其與線性吸振器對(duì)各向異性轉(zhuǎn)子的抑振效果。以上研究證明了吸振器控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的可行性。

1 吸振器控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)

圖1所示為設(shè)計(jì)的用于轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)控制的吸振器結(jié)構(gòu)圖。在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)軸上安裝滾動(dòng)軸承將轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)隔絕，使外部的整個(gè)吸振器結(jié)構(gòu)不隨轉(zhuǎn)軸一起旋轉(zhuǎn)從而避免引入額外的不平衡量，而只是將轉(zhuǎn)軸的彎曲振動(dòng)傳遞給吸振器。在滾動(dòng)軸承無旋轉(zhuǎn)的外圈，在和兩個(gè)垂直的坐標(biāo)方向各安裝一套參數(shù)完全相同的吸振器，即使用兩個(gè)吸振器分別控制轉(zhuǎn)子和方向的振動(dòng)，其彈簧剛度均為，阻尼系數(shù)均為，吸振器質(zhì)量均為。兩個(gè)吸振器都安裝在一個(gè)固定于地面或基礎(chǔ)的起支撐作用的框架上，通過框架上直線軸承的滑道限制兩個(gè)吸振器只能在各自的方向上做直線運(yùn)動(dòng)。

圖2所示為轉(zhuǎn)子安裝吸振器的物理模型。轉(zhuǎn)子是在一個(gè)無質(zhì)量彈性軸中部安裝質(zhì)量為的偏心圓盤（即Jeffcott轉(zhuǎn)子模型），為了略去重力的影響，設(shè)轉(zhuǎn)子為豎直布置。建立固定坐標(biāo)系?，兩端支承連線與圓盤所在平面的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿兩端支承連線向上為軸，圓盤所在平面為平面。轉(zhuǎn)軸的彎曲剛度為，運(yùn)動(dòng)阻尼為，圓盤形心，質(zhì)心，質(zhì)心與形心的距離即偏心距為。系統(tǒng)靜止時(shí)圓心與重合，取此時(shí)連線方向固定為軸，即旋轉(zhuǎn)的起始位置。吸振器為子系統(tǒng)，其質(zhì)量為，剛度為，阻尼為。吸振器質(zhì)量相對(duì)自身靜平衡位置的位移為和。取廣義坐標(biāo)為，則根據(jù)拉格朗日方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

（1）

式中 為連線從起始位置轉(zhuǎn)過的角位移。當(dāng)圓盤以恒定角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，；當(dāng)圓盤勻加速旋轉(zhuǎn)時(shí)，，，，其中，為角加速度，為初始角速度。

對(duì)式（1）進(jìn)行無量綱化處理，定義如下參量：基準(zhǔn)長(zhǎng)度，基準(zhǔn)時(shí)間，轉(zhuǎn)子固有頻率，吸振器固有頻率，轉(zhuǎn)子與吸振器的質(zhì)量比，轉(zhuǎn)子與吸振器的固有頻率比，偏心量引起的激勵(lì)頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率之比，轉(zhuǎn)子阻尼比，吸振器阻尼比，，，，，。

則關(guān)于新的基準(zhǔn)時(shí)間的無量綱方程為：

（2）

式中 ；；。

下面求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即轉(zhuǎn)子以角速度勻速旋轉(zhuǎn)的情形。在式（2）中令，，，并將其變形為復(fù)數(shù)形式：

（3）

式中 ；。

設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的形式為，代入式（3）求解得到轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振幅和相位角：

（4）

式中 ；。

2 球平衡器控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)

圖3所示為轉(zhuǎn)子安裝球平衡器的物理模型，在不平衡轉(zhuǎn)子圓盤上加工半徑為的圓周軌道，放入2個(gè)可自由移動(dòng)的平衡滾球。設(shè)2個(gè)滾球的質(zhì)量均為（遠(yuǎn)小于圓盤質(zhì)量），球在軌道中的運(yùn)動(dòng)阻尼為，球相對(duì)圓盤質(zhì)心的角位置為，其余參數(shù)與前文一致。取廣義坐標(biāo)，根據(jù)拉格朗日方程得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

（5）

對(duì)式（5）進(jìn)行無量綱化處理，定義如下參量：基準(zhǔn)長(zhǎng)度，基準(zhǔn)時(shí)間，轉(zhuǎn)子固有頻率，，，，，，，，，，。

則關(guān)于新的基準(zhǔn)時(shí)間的無量綱方程為：

（6）

3 兩種抑振手段并用控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)

3.1 動(dòng)力學(xué)模型

圖4為球平衡器與吸振器并用的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)物理模型，以此實(shí)現(xiàn)兩者組合使用的轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)抑制方案。

取廣義坐標(biāo)為，系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散能分別為：

（7）

式中 為圓盤繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；質(zhì)心和滾球的直角坐標(biāo)表示為：

。

根據(jù)如下形式的拉格朗日方程：

。

式中 為廣義外力；為廣義坐標(biāo)；為廣義坐標(biāo)的數(shù)目。

得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

（8）

對(duì)式（8）進(jìn)行無量綱化處理，定義如下參量：基準(zhǔn)長(zhǎng)度，基準(zhǔn)時(shí)間，基準(zhǔn)頻率，，，，，，，，，，，，，，，，。

則關(guān)于新的基準(zhǔn)時(shí)間的無量綱方程為：

（9）

3.2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

3.2.1 推導(dǎo)穩(wěn)態(tài)振幅表達(dá)式

求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即轉(zhuǎn)子以角速度勻速旋轉(zhuǎn)的情形。在式（9）中令，，，得到運(yùn)動(dòng)方程式：

（10）

設(shè)其解的形式為，，代入式（10）并比較等式兩邊對(duì)應(yīng)諧波項(xiàng)的系數(shù)使其相等（即諧波平衡法），可得方程式：

（11）

穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)變量等于常量，所有變量的時(shí)間微分項(xiàng)都為零，得到方程式：

（12）

經(jīng)過計(jì)算最終得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振幅表達(dá)式：

（13）

式中 分子取“+”號(hào)為，取“”號(hào)為，，，，，。

特別地，當(dāng)時(shí)：

（14）

因此在的條件下用表達(dá)式作出轉(zhuǎn)子的穩(wěn)態(tài)振幅曲線，曲線的正值部分為，負(fù)值部分為，而正值部分才是有效解，所以只關(guān)注曲線的正值部分。

3.2.2 各參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律

這里與前文吸振器無量綱化方法類似，定義比例關(guān)系參數(shù)，，，，，，來重新表示方程式（9）中的系數(shù)。即經(jīng)過變形得到，，，，，，，由此，振幅表達(dá)式也相應(yīng)地用關(guān)系參數(shù)表示。

設(shè)圓盤質(zhì)量 kg，安裝在一根長(zhǎng)m，直徑m的軸中央，跨中剛度根據(jù)計(jì)算得 N/m，則軸的臨界轉(zhuǎn)速為rad/s，也即r/min。若給定，，，由此可設(shè)計(jì)出吸振器參數(shù)如表1所示。由表1中數(shù)據(jù)計(jì)算得，，，滿足條件。

由表1參數(shù)，根據(jù)表達(dá)式（4）和（14）等作出轉(zhuǎn)子不使用任何抑振裝置（即原轉(zhuǎn)子）、單獨(dú)使用球平衡器（ABB）、單獨(dú)使用吸振器（DVA）、吸振器與球平衡器并用（ABB+DVA）四種情況下的穩(wěn)態(tài)振幅YDKB2l9+E2ldqI+SjO5ohg==曲線，如圖5所示（圖中縱坐標(biāo)是以基準(zhǔn)長(zhǎng)度進(jìn)行無量綱化得到的振幅，如果以無量綱偏心距作參照，其大小更直觀，下同）。由圖5可知，單獨(dú)使用球平衡器時(shí)，轉(zhuǎn)子在高于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)振幅降為零，達(dá)到了完全平衡，但在臨界轉(zhuǎn)速處其共振峰值相比原轉(zhuǎn)子沒有降低（峰值超出圖中縱坐標(biāo)范圍，故沒有完整顯示），甚至在低于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，其振幅始終比原轉(zhuǎn)子更大，不平衡振動(dòng)更加惡化。單獨(dú)使用吸振器時(shí)，在臨界轉(zhuǎn)速附近，其振幅相比原轉(zhuǎn)子共振峰值有大幅降低，有效抑制了臨界共振區(qū)的振幅，這正是吸振器能夠控制主系統(tǒng)固有頻率處共振響應(yīng)的體現(xiàn)，但在臨界轉(zhuǎn)速以上區(qū)域不平衡振動(dòng)不能完全消除，其振幅將與原轉(zhuǎn)子一樣趨于無量綱偏心距。而本文吸振器與球平衡器并用的抑振方案融合了兩種裝置各自單獨(dú)使用時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，不但有效降低了臨界共振區(qū)的最大峰值，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了臨界轉(zhuǎn)速以上區(qū)域完全消除不平衡振動(dòng)的目的，使轉(zhuǎn)子振幅穩(wěn)定為零。體現(xiàn)出優(yōu)異的抑振性能。

（1） 吸振器阻尼比、轉(zhuǎn)子阻尼比的影響

轉(zhuǎn)子以及吸振器阻尼比對(duì)轉(zhuǎn)子振幅曲線的影響如圖6所示。由圖6（a）可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子阻尼比取較小值如時(shí)，振幅曲線出現(xiàn)不隨吸振器阻尼比變化的3個(gè)定點(diǎn)，第1定點(diǎn)位于橫軸之上，第2和3定點(diǎn)位于橫軸之下。如前文所述只觀察橫軸之上的曲線部分，當(dāng)取值由小到大時(shí)，橫軸之上的曲線部分由雙峰變?yōu)榱说?，2定點(diǎn)之間的單峰。

對(duì)比圖6（a），（b）可知轉(zhuǎn)子阻尼比的影響規(guī)律是：隨著其值的增大，圖中振幅整體減小，但曲線不再嚴(yán)格地相交于3個(gè)定點(diǎn)，曲線出現(xiàn)了分散。

（2） 固有頻率比的影響

轉(zhuǎn)子與吸振器的固有頻率比對(duì)轉(zhuǎn)子振幅曲線的影響如圖7所示。對(duì)比圖7（a），（b）可知，當(dāng)參數(shù)增大時(shí)，從橫軸位置來看，第1，3定點(diǎn)的橫坐標(biāo)都向低速移動(dòng)，而第2定點(diǎn)的橫坐標(biāo)基本不變；從縱軸位置來看，第1定點(diǎn)始終在橫軸之上并靠近橫軸，第3定點(diǎn)始終在橫軸之下并遠(yuǎn)離橫軸，而第2定點(diǎn)則從橫軸之下的位置逐漸上升穿過橫軸并繼續(xù)升高。只觀察橫軸以上的曲線部分，當(dāng)較小、曲線為雙峰時(shí)，隨著增大雙峰的峰值呈現(xiàn)在1定點(diǎn)處縮小、在3定點(diǎn)處增大的規(guī)律。因此合適的參數(shù)應(yīng)使振幅曲線在共振區(qū)之前盡早、以盡量低的峰值進(jìn)入橫軸之下，并且之后一直保持在橫軸之下。這樣的話，就應(yīng)使第2定點(diǎn)處于橫軸之下且盡量壓低第1定點(diǎn)。所以當(dāng)，時(shí)，權(quán)衡利弊，選取，是較優(yōu)選擇，這時(shí)在第1定點(diǎn)附近出現(xiàn)峰值，并且很快降至橫軸以下。

（3） 質(zhì)量比的影響

轉(zhuǎn)子和吸振器的質(zhì)量比對(duì)轉(zhuǎn)子振幅曲線的影響如圖8所示。對(duì)比圖8（a），（b）可知，隨著質(zhì)量比增大，3個(gè)定點(diǎn)帶動(dòng)幅頻曲線在橫軸上向中心聚攏，第1，3定點(diǎn)的縱坐標(biāo)遠(yuǎn)離橫軸，這表明第1定點(diǎn)有靠近共振點(diǎn)且振幅增大的趨勢(shì)，振幅曲線將無法更早、以更小的峰值進(jìn)入橫軸之下，這是不利的。因此在允許的情況下應(yīng)增大吸振器質(zhì)量（即減小質(zhì)量比）。

3.2.3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的數(shù)值計(jì)算

使用龍格?庫(kù)塔法在MATLAB中對(duì)方程式（11）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在轉(zhuǎn)子以恒定角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)比有無安裝吸振器時(shí)球平衡器控制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的效果。圖9為當(dāng)時(shí)，單獨(dú)使用球平衡器和兩種抑振手段并用時(shí)轉(zhuǎn)子振幅的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，只出現(xiàn)一個(gè)圓圈表示在該頻率比下振幅收斂為確定值，出現(xiàn)上、下圓圈連線表示在該頻率比下振幅無法收斂而波動(dòng)的區(qū)間。這是因?yàn)榇藭r(shí)滾球在軌道中持續(xù)滾動(dòng)無法停止，所以在共振峰過后會(huì)出現(xiàn)一段振幅不穩(wěn)定區(qū)域。由圖9可知，兩種抑振手段并用時(shí)無論穩(wěn)定頻段的振幅峰值還是不穩(wěn)定頻段的振幅振蕩水平都明顯降低了。因此針對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)控制，兩者并用的方案有更優(yōu)異的控制效果。

3.3 瞬態(tài)響應(yīng)分析

在實(shí)際工程中，轉(zhuǎn)子通常都是工作在臨界轉(zhuǎn)速以上的高速區(qū)，開機(jī)啟動(dòng)時(shí)需要從靜止?fàn)顟B(tài)逐漸升速越過臨界轉(zhuǎn)速達(dá)到特定的工作轉(zhuǎn)速；關(guān)機(jī)時(shí)又要經(jīng)歷相反的減速過程，同樣也會(huì)經(jīng)過轉(zhuǎn)子的臨界共振區(qū)。所以本節(jié)分析轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)響應(yīng)特性，即轉(zhuǎn)子以一定的角加速度經(jīng)歷“勻加速過共振?穩(wěn)定運(yùn)行?勻減速過共振”整個(gè)動(dòng)態(tài)過程時(shí)其振幅隨時(shí)間的變化情況，進(jìn)一步考察各種抑振方法的效果。

在方程式（2），（6）和（9）中，令轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角位移為：，，，其中為角加速度，為初始角速度。使用龍格?庫(kù)塔法在MATLAB中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。由表1得轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速為 rad/s，設(shè)工作轉(zhuǎn)速（rad/s），所有初始條件均為零時(shí)，原轉(zhuǎn)子、使用吸振器、使用球平衡器、球平衡器與吸振器并用四種情況下轉(zhuǎn)子的瞬態(tài)振幅曲線如圖10所示，圖10（a）和（b）角加速度分別為和（rad/s2），變速階段用時(shí)分別為320 s和32 s，在工作轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定運(yùn)行100 s。

圖10中，單獨(dú)使用球平衡器時(shí)轉(zhuǎn)子振幅一直振蕩上升而沒有如圖9一樣在處降為零，這是因?yàn)閳D9是在轉(zhuǎn)子以恒定角速度穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)后滾球才被釋放，而圖10從一開始滾球就是自由的，隨著轉(zhuǎn)子加速滾球的動(dòng)能越來越大，無法停在特定的平衡位置，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子振動(dòng)愈來愈劇烈。而兩種手段并用的場(chǎng)合，轉(zhuǎn)子振幅經(jīng)過一定程度的振蕩之后仍然可以衰減為零，達(dá)到平衡目的，這說明吸振器抑制了球平衡器原本失控的振動(dòng)，起到了穩(wěn)定系統(tǒng)和降低共振響應(yīng)的作用。單獨(dú)使用吸振器時(shí)，在加減速經(jīng)過臨界共振區(qū)時(shí)可以大幅減小原轉(zhuǎn)子的共振峰值，但在超臨界的工作轉(zhuǎn)速下卻和原轉(zhuǎn)子一樣始終存在振動(dòng)。此外，對(duì)比圖10（a），（b）可見，改變角加速度只是改變了振幅曲線的波動(dòng)形態(tài)，但依然符合以上觀察到的三種抑振方式的作用特點(diǎn)。

3.4 滾球阻尼對(duì)平衡性能的影響

通過參量進(jìn)一步考察滾球運(yùn)動(dòng)阻尼對(duì)球平衡器工作性能的影響，其關(guān)系為，。圖11（a）即為圖10（a）的全貌。由圖11（b），（c）可知，加速階段持續(xù)的能量輸入導(dǎo)致球平衡器中滾球劇烈滾動(dòng)而無法停止，發(fā)揮不了平衡作用而失效，但增加吸振器后經(jīng)過短暫振蕩最終滾球可以穩(wěn)定在特定的平衡位置從而完全消除振動(dòng)。如圖12（b）所示，增大滾球阻尼后，兩滾球運(yùn)動(dòng)后可以停留在偏心的相反一側(cè)，從而部分地消除原始不平衡，但沒有如圖12（c）一樣分離開來，所以仍沒有達(dá)到完全平衡。圖13（b），（c）中繼續(xù)增加阻尼，滾球可以一次就調(diào)整到位實(shí)現(xiàn)平衡，并且由圖13（c）可見，阻尼已經(jīng)稍大而對(duì)滾球運(yùn)動(dòng)有些阻滯使其需要更長(zhǎng)時(shí)間才能停留在精確的位置。之后再繼續(xù)增加滾球阻尼，滾球運(yùn)動(dòng)將愈發(fā)困難，接近固結(jié)于圓盤上成為一體，從而附加ABB+DVA的振幅曲線趨近于單獨(dú)附加DVA的曲線，附加ABB的振幅曲線將趨近于原轉(zhuǎn)子的情形。因此，增加吸振器有助于提高球平衡器的穩(wěn)定性，擴(kuò)大其對(duì)阻尼參數(shù)的適應(yīng)范圍，防止其在滾球阻尼較小時(shí)失控。

4 結(jié) 論

本文以Jeffcott偏心轉(zhuǎn)子模型為研究對(duì)象，建立了分別使用吸振器和球平衡器以及兩者并用時(shí)控制轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，通過理論解析和數(shù)值計(jì)算研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻特性和瞬態(tài)振幅變化規(guī)律，從而比較了三種抑振手段對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)的控制性能。得到結(jié)論如下：

（1） 吸振器可以大幅抑制不平衡轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近的共振峰值，其缺點(diǎn)是在臨界轉(zhuǎn)速以上轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速時(shí)無法完全消除振動(dòng)，其振幅將與原轉(zhuǎn)子一樣趨于偏心距。

（2）球平衡器可以在臨界轉(zhuǎn)速以上時(shí)利用滾球的自動(dòng)分布從而完全消除轉(zhuǎn)子的不平衡振動(dòng)，其缺點(diǎn)是對(duì)轉(zhuǎn)子的臨界共振響應(yīng)無抑制作用，并且在滾球阻尼較小時(shí)內(nèi)部滾球持續(xù)運(yùn)動(dòng)無法停止，反而使振動(dòng)愈來愈劇烈而起不到平衡作用。

（3） 本文的吸振器與球平衡器并用的方案結(jié)合了兩者的優(yōu)點(diǎn)，在加速和減速段通過臨界共振區(qū)時(shí)其振幅水平大幅降低，在臨界轉(zhuǎn)速之上的工作轉(zhuǎn)速時(shí)其振幅完全降為零，并且吸振器克服了球平衡器的持續(xù)振蕩危險(xiǎn)，使其在原本失控的阻尼范圍也可以正常工作，發(fā)揮平衡作用。

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Theoretical study on imbalance vibration of rotor controlled by dynamic vibration absorber and automatic ball balancer simultaneously

ZHU Guang-yuan， ZHANG Xiao-long， DONG Ya-bin， HE Yu-min

（School of Mechanical and Electrical Engineering， Xi’an University of Architecture & Technology， Xi’an 710055， China）

Abstract： An Automatic Ball Balancer （ABB） can entirely eliminate the unknown imbalance of the rotor above the critical speed. However， it has the disadvantage of causing large amplitude resonance response and unstable oscillation near the critical speed. To overcome these shortcomings and improve its vibration suppression performance， this paper proposes the addition of a Dynamic Vibration Absorber （DVA）. Using the Jeffcott eccentric rotor model as the research object， dynamic equations are established to control the unbalanced vibration of the rotor when the DVA and ABB are used either separately or in combination， based on the Lagrange equation. The harmonic balance method is used to solve the amplitude expression of the new coupling system， and the influence laws of each parameter on the steady-state amplitude-frequency curve are analyzed to obtain more suitable parameters. The steady-state amplitude-frequency characteristic diagram and the transient amplitude time-domain change curves are obtained using the Runge-Kutta numerical calculation method. The comparison results show that the new scheme of combining the two methods effectively reduces the vibration level of the rotor when passing through the critical resonance region， and causes the rotor to attenuate to zero amplitude above the critical speed. This new scheme achieves the goal of combining the advantages of the two methods and provides superior vibration suppression.

Key words： vibration control；Jeffcott eccentric rotor model；dynamic vibration absorber；automatic ball balancer；critical speed

作者簡(jiǎn)介： 朱光遠(yuǎn)（1994—），男，碩士研究生。E-mail：2722782889@qq.com。