摘要： 介紹了采用階躍函數(shù)模擬橋梁斷面時(shí)域氣動(dòng)自激力的方法并對(duì)模擬的精度進(jìn)行了研究。提出了采用現(xiàn)代遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別的方法。在模擬橋梁斷面時(shí)域自激力的過程中，建立了顫振導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)各參數(shù)之間的等量關(guān)系，基于MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了遺傳優(yōu)化算法并識(shí)別了階躍函數(shù)的各個(gè)參數(shù)，根據(jù)參數(shù)值與上述等量關(guān)系反算得到顫振導(dǎo)數(shù)的擬合值，并通過對(duì)比顫振導(dǎo)數(shù)的擬合值與試驗(yàn)值來評(píng)估模擬的精度。數(shù)值算例表明，遺傳優(yōu)化算法的計(jì)算效率很高且不受參數(shù)個(gè)數(shù)與參數(shù)取值范圍的影響；階躍函數(shù)參數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)顫振導(dǎo)數(shù)擬合精度存在較大的影響；當(dāng)參數(shù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，對(duì)于較為復(fù)雜的顫振導(dǎo)數(shù)曲線，擬合精度不高。隨著參數(shù)個(gè)數(shù)的增加，擬合精度顯著提高。擬合精度直接影響后續(xù)時(shí)域顫振分析得到的橋梁顫振性能；因此，需要依據(jù)顫振導(dǎo)數(shù)曲線規(guī)律，合理地選取階躍函數(shù)的參數(shù)個(gè)數(shù)，才能建立精度較高的時(shí)域自激力模型，進(jìn)而準(zhǔn)確評(píng)估橋梁的顫振穩(wěn)定性能。

關(guān)鍵詞： 橋梁； 顫振； 時(shí)域； 階躍函數(shù)； 遺傳優(yōu)化

中圖分類號(hào)： U441+.3； TU312+.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）06-0997-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.010

引 言

顫振是大跨橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題之一。目前研究橋梁顫振的方法主要包括頻域法與時(shí)域法兩類。頻域方法很成熟，能夠較為準(zhǔn)確地描述橋梁斷面的氣動(dòng)力特性，已被廣泛應(yīng)用于橋梁顫振臨界問題的研究中［1?2］。較晚形成的時(shí)域方法也具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，不僅便于考慮多種非線性效應(yīng)的影響，還能與結(jié)構(gòu)的有限元計(jì)算模型相結(jié)合，在橋梁顫振、非線性顫振、顫抖振一體化研究中得到了廣泛的應(yīng)用［3?9］。橋梁斷面的氣動(dòng)自激力一般采用由氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)描述的Scanlan自激力模型模擬，直接基于該模型進(jìn)行的顫振分析屬于頻域方法。若建立合適的與試驗(yàn)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的過渡函數(shù)，將Scanlan自激力模型轉(zhuǎn)換為純時(shí)域模型，然后基于時(shí)域自激力模型進(jìn)行顫振分析，這類方法屬于時(shí)域方法。

建立橋梁斷面時(shí)域自激力模型的主要方法有階躍函數(shù)法與有理函數(shù)法［10］。階躍函數(shù)（Indicial Functions， IFs）已被廣泛用于描述橋梁的氣彈效應(yīng)與時(shí)域顫振分析［11?14］。階躍函數(shù)時(shí)域表達(dá)橋梁斷面自激力的本質(zhì)是通過已知的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)來擬合未知的階躍函數(shù)，即確定階躍函數(shù)的參數(shù)值，這屬于最優(yōu)化問題，且擬合精度必須滿足工程要求才能保證后續(xù)時(shí)域顫振分析的可靠性。在以往的研究中，常采用傳統(tǒng)的最小二乘優(yōu)化方法，為了提高擬合效率，期望階躍函數(shù)所含的參數(shù)個(gè)數(shù)越少越好，通常參數(shù)取4個(gè)或6個(gè)，且各參數(shù)的搜索范圍也不宜太大。當(dāng)顫振導(dǎo)數(shù)隨折算風(fēng)速的變化較為平順時(shí)，較少的參數(shù)可能達(dá)到較高的擬合精度；當(dāng)顫振導(dǎo)數(shù)隨折算風(fēng)速的變化較為復(fù)雜時(shí)，較少的參數(shù)將無法滿足精度要求，此時(shí)只能增加階躍函數(shù)的指數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)即增加參數(shù)個(gè)數(shù)來提高擬合精度，然而參數(shù)個(gè)數(shù)的增加，將會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化算法的效率降低。鑒于此，本文引入了現(xiàn)代智能優(yōu)化方法中的遺傳算法［15］，并基于MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了階躍函數(shù)參數(shù)的快速識(shí)別，該方法計(jì)算效率高，且不受參數(shù)個(gè)數(shù)及搜索域的影響，可同時(shí)求解多個(gè)參數(shù)的最優(yōu)解。

以江底河大橋?yàn)槔谶z傳優(yōu)化算法，分別選取含有4，6，8，10與12參數(shù)的階躍函數(shù)對(duì)主梁斷面的試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行擬合，得到階躍函數(shù)的參數(shù)值與顫振導(dǎo)數(shù)的擬合值。通過考查顫振導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)值與擬合值的吻合情況來評(píng)估參數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)顫振導(dǎo)數(shù)擬合精度的影響。基于ANSYS有限元軟件，分別采用不同類型階躍函數(shù)建立的時(shí)域自激力模型對(duì)橋梁進(jìn)行時(shí)域顫振分析，得到相應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速，并進(jìn)一步討論采用階躍函數(shù)法進(jìn)行橋梁時(shí)域顫振分析的可靠性。

1 顫振導(dǎo)數(shù)與IFs參數(shù)等價(jià)關(guān)系

Scanlan自激力模型描述的是微小振幅簡諧運(yùn)動(dòng)引起的自激氣動(dòng)力［16］，以橋梁斷面二維自激氣動(dòng)力為例，其表達(dá)式如下式所示：

（1）

（2）

式中 及分別為單位長度主梁的自激氣動(dòng)升力及升力矩；與分別表示豎向運(yùn)動(dòng)引起的升力與升力矩時(shí)程，與分別表示扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)引起的升力與升力矩時(shí)程；為空氣密度；U為來流風(fēng)速；B為橋面寬度；K為無量綱折算頻率，K=Bω/U，其中ω為結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率；與 （i=1，2，3，4）為顫振導(dǎo)數(shù)；與分別為豎向位移及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；與分別為扭轉(zhuǎn)位移及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

階躍函數(shù)可以描述階躍響應(yīng)所引起的結(jié)構(gòu)斷面氣動(dòng)力變化時(shí)程。在描述橋梁斷面自激氣動(dòng)力中，階躍函數(shù)通常采用如下的形式：

（3）

式中 ，為待定參數(shù)；r為指數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)。

借助上述階躍函數(shù)，任意微小扭轉(zhuǎn)振動(dòng)所引起的升力時(shí)程可以表示為如下式所示的卷積形式：

（4）

式中 ，為積分變量，表示無量綱時(shí)間s的變化。

對(duì)于橋梁斷面，通常分開處理豎向與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所引起的自激氣動(dòng)力后再疊加，即單位長度主梁所受的氣動(dòng)升力與升力矩分別表示如下：

（5）

（6）

式中 s為無量綱時(shí)間，s=Ut/B，其中t為時(shí)間；與分別為升力與升力矩系數(shù)對(duì)攻角的導(dǎo)數(shù)；為扭轉(zhuǎn)位移對(duì)s的一階導(dǎo)數(shù)；為豎向位移對(duì)s的二階導(dǎo)數(shù)；，，與為階躍函數(shù)，其表達(dá)式可統(tǒng)一為如下形式：

（7）

式中 與為階躍函數(shù)參數(shù)，其中x表示L或M，y表示h或，如為描述扭轉(zhuǎn)階躍響應(yīng)引起斷面升力變化的階躍函數(shù)。將公式（5）和（6）稱為IF型時(shí)域自激力模型。

通過Scanlan自激力模型來建立與之等價(jià)的IF型時(shí)域自激力模型，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)已知的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)（包括顫振導(dǎo)數(shù)與三分力系數(shù)）來識(shí)別階躍函數(shù)各個(gè)參數(shù)值的過程。下面介紹一種直觀簡便的方法來建立氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)各參數(shù)之間的等量關(guān)系。

假設(shè)結(jié)構(gòu)做單位幅值的正弦豎向運(yùn)動(dòng)與扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，表達(dá)式分別如下：

豎向：（8）

扭轉(zhuǎn)：（9）

將公式（8）和（9）代入公式（1）和（2）中可得Scanlan自激力模型的具體表達(dá)式如下式所示：

（10）

（11）

（12）

（13）

將公式（8）和（9）代入公式（5）和（6）中可得IF型自激力模型的具體表達(dá)式如下式所示：

（14）

（15）

（16）

（17）

對(duì)比公式（10）～（13）與（14）～（17）可知，后者均比前者多一個(gè)含的指數(shù)項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的曲線規(guī)律，假如參數(shù)為負(fù)值，指數(shù)項(xiàng)將會(huì)發(fā)散，此時(shí)IF型時(shí)域自激力無法與Scanlan自激力等價(jià)。因此，必須為一正值，讓指數(shù)項(xiàng)隨時(shí)間衰減；但需要說明的是，為正值的前提下，IF型自激力時(shí)程在起初的一段時(shí)間內(nèi)也可能會(huì)出現(xiàn)較為明顯的瞬態(tài)現(xiàn)象，但隨著時(shí)間的推移，自激力時(shí)程最終會(huì)趨于穩(wěn)態(tài)，如圖1所示。

綜上可知，要建立與Scanlan模型等價(jià)的IF型時(shí)域自激力模型，必須滿足以下兩個(gè)條件：首先，IF型自激力模型中的指數(shù)項(xiàng)必須隨時(shí)間衰減為零，即要求參數(shù)必須為正值；其次，在保證擬合精度的前提下，的下限可以適當(dāng)?shù)靥岣?，促使指?shù)項(xiàng)在較短時(shí)間內(nèi)衰減；最后，兩類自激力模型的正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等，即如下式所示：

（18）

（19）

（20）

（21）

整理即可建立氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)各待定參數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系，如下式所示：

（22）

（23）

（24）

（25）

根據(jù)上述等價(jià)關(guān)系，建立如下式所示的目標(biāo)函數(shù)，通過求解目標(biāo)函數(shù)的極小值來識(shí)別階躍函數(shù)的參數(shù)值，進(jìn)而確定公式（5）和（6）所示時(shí)域自激力模型的具體表達(dá)式。顯然，階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別是一個(gè)典型的最優(yōu)化問題。

（26）

（27）

（28）

（29）

式中 與（m=1，2，3，4）為顫振導(dǎo)數(shù)的試驗(yàn)值；n為試驗(yàn)數(shù)據(jù)組數(shù)。

由于公式（26）～（29）中分式的分母存在待識(shí)別的參數(shù)，因此它是一個(gè)較為復(fù)雜的非線性最優(yōu)化問題。針對(duì)此類非線性優(yōu)化問題，下面介紹現(xiàn)代優(yōu)化算法中的遺傳算法，并基于MATLAB平臺(tái)進(jìn)行求解。

2 階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別

2.1 遺傳優(yōu)化算法

遺傳算法是基于優(yōu)勝劣汰、適者生存的進(jìn)化論原理，模擬生物在自然環(huán)境中遺傳進(jìn)化過程的一種隨機(jī)搜索優(yōu)化算法［15］。具體來說，就是依照遺傳進(jìn)化原理，將隨機(jī)產(chǎn)生的初始種群作為優(yōu)化問題的一組初始解，通過對(duì)初始種群施加選擇、交叉、變異等一系列遺傳進(jìn)化操作來產(chǎn)生適應(yīng)性較好的新一代種群，重復(fù)上述操作直至種群優(yōu)化到包含近似最優(yōu)解的狀態(tài)。

遺傳優(yōu)化算法的具體思路為：針對(duì)某一具體的優(yōu)化問題，建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)作為個(gè)體評(píng)價(jià)的適應(yīng)度函數(shù)。在進(jìn)化過程的每一代中，分別計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度，適應(yīng)度小的個(gè)體淘汰，適應(yīng)度大的個(gè)體留下作為產(chǎn)生新一代種群的母體。若某一代個(gè)體的適應(yīng)度達(dá)到目標(biāo)容許誤差，或遺傳代數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大值，則停止計(jì)算，返回最優(yōu)解。與傳統(tǒng)優(yōu)化方法相比，遺傳優(yōu)化算法具有較廣的搜索域，較強(qiáng)的并行運(yùn)算能力，靈活性更強(qiáng)，效率更高，有利于獲取全局最優(yōu)解。

階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別實(shí)質(zhì)上是求解公式（26）～（29）所示目標(biāo)函數(shù)取得極小值時(shí)的參數(shù)值。根據(jù)上述優(yōu)化問題的性質(zhì)，借助MATLAB遺傳工具箱的“ga”函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，“ga”函數(shù)的一般格式如下：

該函數(shù)主要的輸出與輸入?yún)?shù)如下：

輸出參數(shù)：x表示階躍函數(shù)所有參數(shù)（，，，…，；，，，…，）組成的數(shù)組；fval為x對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。

輸入?yún)?shù)：fitnessfcn為適應(yīng)度函數(shù)，公式（26）～（29）所示的目標(biāo)函數(shù)即為適應(yīng)度函數(shù)，用于計(jì)算x對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值；nvars為適應(yīng)度函數(shù)中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，即待擬合參數(shù)的個(gè)數(shù)；lb，ub分別為x搜索域的下限與上限；options為算法結(jié)構(gòu)參數(shù)，主要包括種群大小、最大遺傳代數(shù)、交叉概率、變異概率、適應(yīng)度的閾值等，可以根據(jù)具體問題的性質(zhì)調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)的范圍。采用遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別的流程如圖2所示。

2.2 參數(shù)識(shí)別結(jié)果與精度討論

以江底河懸索橋?yàn)槔?，通過上述遺傳優(yōu)化算法來識(shí)別得到階躍函數(shù)的各個(gè)參數(shù)值，相關(guān)的計(jì)算參數(shù)如表1所示。由表1可知，風(fēng)攻角為+3°，與分別為升力與升力矩系數(shù)對(duì)攻角的一階導(dǎo)數(shù)，參數(shù)（i=1，2，…，r）的搜索域設(shè)置為全體實(shí)數(shù)，（i=1，2，…，r）的搜索域設(shè)置為≥0.1。階躍函數(shù)的指數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)分別取2，3，4，5，6項(xiàng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)個(gè)數(shù)依次為4，6，8，10，12，如表2所示。若階躍函數(shù)的指數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)為2，即含有4個(gè)參數(shù)，則稱為4參數(shù)階躍函數(shù)，其他情形類推。

分別采用4，6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)橋梁斷面的試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行擬合。當(dāng)遺傳優(yōu)化算法的種群大小取1000，遺傳代數(shù)取1000，其余計(jì)算參數(shù)采用默認(rèn)值時(shí)，5種工況的計(jì)算時(shí)間成本均低于2 min，計(jì)算效率非常高。表3～7分別給出了4，6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)的參數(shù)識(shí)別結(jié)果。

將階躍函數(shù)參數(shù)值代入公式（22）～（25）即可求得顫振導(dǎo)數(shù)的擬合值。通過比較顫振導(dǎo)數(shù)的擬合曲線與試驗(yàn)曲線，即可判斷顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度。

由公式（26）～（29）可知，參數(shù)擬合過程均是以兩組顫振導(dǎo)數(shù)成對(duì)的形式進(jìn)行擬合的，如與為一對(duì)，因此往往也將成對(duì)的兩組顫振導(dǎo)數(shù)曲線繪制在同一個(gè)圖形中，然而當(dāng)成對(duì)的兩組顫振導(dǎo)數(shù)的數(shù)值范圍相差較大時(shí)，這樣繪制的顫振導(dǎo)數(shù)曲線圖很可能從視覺上掩蓋了數(shù)值較小的那一組顫振導(dǎo)數(shù)的擬合誤差。鑒于此，本文將8組顫振導(dǎo)數(shù)分別繪制在獨(dú)立的圖形中，這樣便可很直觀地考查各組顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度。

圖3給出了橋梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)試驗(yàn)值與由階躍函數(shù)參數(shù)反算得到的顫振導(dǎo)數(shù)擬合值。由圖3可知，對(duì)于4參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，除了顫振導(dǎo)數(shù)與的擬合精度較好之外，其他顫振導(dǎo)數(shù)的擬合均是失敗的；對(duì)于6參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，顫振導(dǎo)數(shù)，與的擬合精度較低，其他顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度較好；對(duì)于8與10參數(shù)階躍函數(shù)擬合的情形，顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度較低，其他顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度較高；12參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果最佳，所有顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度均很高。

綜上所述，4參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)某些顫振導(dǎo)數(shù)的擬合是失敗的，因此不能采用4參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)橋梁斷面自激力進(jìn)行時(shí)域化。隨著階躍函數(shù)參數(shù)個(gè)數(shù)的增加，顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度也逐漸提高，采用6參數(shù)、8參數(shù)與10參數(shù)階躍函數(shù)擬合時(shí)，除了少數(shù)顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度不高外，其余顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度均較高。12參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)所有顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度均較高。

3 數(shù)值算例及結(jié)果討論

江底河大橋是一座主跨920 m，全長1146 m的特大公路懸索橋。兩橋塔高度分別為181 m和102.5 m，主纜矢跨比為1∶9，主梁采用流線型扁平鋼箱梁，其斷面寬度為32 m，高度為3 m，如圖4所示。

采用ANSYS軟件建立大橋的全橋有限元模型，如圖5所示。全橋采用魚骨梁模型進(jìn)行模擬，其中加勁梁與橋塔均采用BEAM4梁單元模擬；主纜以及吊桿均采用LINK10桿單元模擬；主梁與吊桿的連接件采用剛臂單元進(jìn)行模擬；橋面二期恒載通過MASS21附加質(zhì)量單元模擬，全橋共劃分464個(gè)節(jié)點(diǎn)與703個(gè)單元。主梁兩端施加橫向、豎向位移約束及繞橋軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)約束，主纜兩端在錨固點(diǎn)固結(jié)。

基于ANSYS軟件分別采用6，8，10與12參數(shù)階躍函數(shù)擬合得到的自激力時(shí)程對(duì)江底河大橋進(jìn)行時(shí)域顫振分析，得到各工況對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速及頻率。時(shí)域顫振計(jì)算的參數(shù)如表8所示。結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞利阻尼模型進(jìn)行描述，其表達(dá)式如下式所示：

（30）

式中 ，與分別為結(jié)構(gòu)的阻尼、質(zhì)量與剛度矩陣；和為瑞利阻尼系數(shù)。根據(jù)表8的參數(shù)可得到阻尼比與圓頻率的關(guān)系如圖6所示。

圖7給出了橋梁不同工況的顫振臨界風(fēng)速及頻率。由圖7可知，8與10參數(shù)所對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速相差不大，且略低于6參數(shù)所對(duì)應(yīng)的風(fēng)速值，但均明顯低于12參數(shù)的風(fēng)速值。這一結(jié)果可從圖3所示的顫振導(dǎo)數(shù)擬合效果來解釋，相比6參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果，8與10參數(shù)階躍函數(shù)的擬合效果得到了一定的改善，且8與10參數(shù)的擬合效果相差不大；相比之下，12參數(shù)階躍函數(shù)的整體擬合效果最佳。不同工況對(duì)應(yīng)的顫振頻率相差甚微，表明4種工況在顫振臨界點(diǎn)的氣動(dòng)剛度相差很小。

表9給出了江底河大橋不同工況對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速相對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果的誤差。由表9可知，12參數(shù)對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速為90.05 m/s，與風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果十分接近，誤差僅為0.39%，而其他工況對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速顯著低于風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果，即明顯地低估了此橋的顫振穩(wěn)定性能。

綜上所述，階躍函數(shù)的參數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度存在顯著的影響，參數(shù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，有些顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度不高，將會(huì)導(dǎo)致時(shí)域顫振計(jì)算得到的顫振臨界風(fēng)速與試驗(yàn)值存在較大的偏差，因此需要增加參數(shù)個(gè)數(shù)，提高所有顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度，這樣才能保證時(shí)域法進(jìn)行橋梁顫振穩(wěn)定分析的可靠性。

4 結(jié) 論

本文詳細(xì)地介紹了采用階躍函數(shù)時(shí)域表達(dá)橋梁斷面自激氣動(dòng)力的方法。采用現(xiàn)代優(yōu)化算法中的遺傳算法進(jìn)行階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別并基于MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。以江底河大橋?yàn)槔?，研究了階躍函數(shù)的參數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)顫振導(dǎo)數(shù)擬合效果的影響；基于ANSYS平臺(tái)進(jìn)行了大跨橋梁的時(shí)域顫振分析，并討論了應(yīng)用階躍函數(shù)法進(jìn)行時(shí)域顫振分析的可靠性。主要結(jié)論如下：

（1） 階躍函數(shù)參數(shù)識(shí)別的遺傳優(yōu)化算法具有很高的計(jì)算效率，且能在很廣的搜索域內(nèi)識(shí)別出最優(yōu)參數(shù)值。在本文設(shè)置的計(jì)算參數(shù)與搜索域的條件下，5種工況的計(jì)算成本均低于2 min。因此，遺傳優(yōu)化算法的引入顯著地提高了大跨橋梁時(shí)域顫振分析的效率與精度；

（2） 對(duì)江底河大橋斷面而言，采用4參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)其試驗(yàn)顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行擬合的精度很差，甚至對(duì)于某些顫振導(dǎo)數(shù)的擬合是失敗的，因此4參數(shù)階躍函數(shù)不能用于此橋自激氣動(dòng)力的時(shí)域表達(dá)。算例表明，隨著階躍函數(shù)參數(shù)個(gè)數(shù)的增加，顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度得到逐步提高。

（3） 由于不同類型階躍函數(shù)在自激力時(shí)程的擬合精度上存在差異，因此時(shí)域顫振計(jì)算得到的顫振臨界風(fēng)速也會(huì)存在差異。5種工況中，12參數(shù)階躍函數(shù)擬合精度最高，它對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速為90.05 m/s，與節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果的89.7 m/s十分接近。而6， 8與10參數(shù)階躍函數(shù)對(duì)于某些顫振導(dǎo)數(shù)的擬合精度不高，因此得到的顫振臨界風(fēng)速與試驗(yàn)值相差較大。

由于遺傳優(yōu)化算法具有很高的計(jì)算效率，因此對(duì)于顫振導(dǎo)數(shù)曲線較為復(fù)雜的橋梁鈍體斷面，建議選取參數(shù)個(gè)數(shù)較多的階躍函數(shù)進(jìn)行顫振導(dǎo)數(shù)擬合，建立精度較高的時(shí)域自激力模型，進(jìn)而保證后續(xù)時(shí)域顫振分析的可靠性。

參考文獻(xiàn)：

［1］ Ge Y J， Tanaka H. Aerodynamic flutter analysis of cable-supported bridge by multi-mode and full-mode approaches［J］. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2000， 86（2-3）： 123-153.

［2］ Ding Q S， Chen A R， Xiang H F. Coupled flutter analysis of long-span bridges by multimode and full-order approaches［J］. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2002， 90（12-15）： 1981-1993.

［3］ Chen X Z， Matsumoto M， Kareem A. Time domain flutter and buffeting response analysis of bridges［J］. Journal of Engineering Mechanics， 2000， 126（1）： 7-16.

［4］ Miyata T， Yamada H， Boonyapingo V， et al. Analytical investigation on the response of a very long suspension bridge under gust wind［C］//In Proceedings of 9th International Conference on Wind Engineering. New Delhi， 1995： 1006-1017.

［5］ Zhang Z T. Multistage indicial functions and post flutter simulation of long-span bridges［J］. Journal of Bridge Engineering， 2018， 23（4）： 04018010.

［6］ 吳長青， 張志田， 張偉峰. 考慮幾何非線性的橋梁后顫振極限環(huán)特性［J］. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2018， 45（5）：1-10.

WU Changqing， ZHANG Zhitian， Zhang Weifeng. Limit cycle oscillation of bridge post-flutter with geometric nonlinearities［J］. Journal of Hunan University （Natural Sciences）， 2018， 45（5）：1-10.

［7］ 吳長青，張志田. 平均風(fēng)與氣彈效應(yīng)一體化的橋梁非線性后顫振分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2018，31（3）： 399-410.

WU Changqing， ZHANG Zhitian. Nonlinear post-flutter analysis of bridge decks with the integrated mean and aero-elastic wind effects［J］. Journal of Vibration Engineering， 2018， 31（3）： 399-410.

［8］ Zhang Z T. Mean wind load induced incompatibility in nonlinear aeroelastic simulations of bridge spans［J］. Frontiers of Structural and Civil Engineering， 2019， 13： 605-617.

［9］ 汪志雄， 張志田， 吳長青，等. π型疊合梁顫振試驗(yàn)及數(shù)值研究［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)， 2021， 34（2）：301-310.

WANG Zhixiong， Zhang Zhitian， WU Changqing， et al. Experimental and numerical investigations on flutter of π-shaped side-girders［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（2）： 301-310.

［10］ Salvatori L， Borri C. Frequency- and time-domain methods for the numerical modeling of full-bridge aeroelasticity［J］. Computers & Structures， 2007， 85（11-14）： 675-687.

［11］ 張志田， 陳政清， 李春光. 橋梁氣動(dòng)自激力時(shí)域表達(dá)式的瞬態(tài)與極限特性［J］. 工程力學(xué)， 2011， 28（2）： 75-85.

ZHANG Zhitian， CHEN Zhengqing， LI Chunguang. Limiting and transient characteristics of time-domain expressions for bridge self-excited aerodynamic forces［J］. Engineering Mechanics， 2011， 28（2）： 75-85.

［12］ de Miranda S， Patruno L， Ubertini F， et al. Indicial functions and flutter derivatives： a generalized approach to the motion-related wind loads［J］. Journal of Fluids & Structures， 2013， 42： 466-487.

［13］ Farsani H Y， Valentine D T， Arena A， et al. Indicial functions in the aeroelasticity of bridge decks［J］. Journal of Fluids & Structures， 2014， 48： 203-215.

［14］ Zhang Z T， Chen Z Q， Cai Y Y， et al. Indicial functions for bridge aero-elastic forces and time-domain flutter analysis［J］. Journal of Bridge Engineering， 2011， 16（4）： 546-557.

［15］ 吳長青. 大跨度橋梁非線性顫振及后顫振強(qiáng)健性研究［D］. 長沙：湖南大學(xué)， 2019.

WU Changqing. Investigation on nonlinear flutter and post flutter robustness of long span bridges［D］. Changsha： Hunan University， 2019.

［16］ Scanlan R H. Problematics in formulation of wind-force models for bridge decks［J］. Journal of Engineering Mechanics， 1993， 119（7）： 1353-1375.

Precision investigation on the self-excited aerodynamic force model of bridge decks simulated by indicial functions

WU Chang-qing1， ZHANG Zhi-tian2

（1.College of Civil Engineering and Architecture， Hunan Institute of Science and Technology， Yueyang 414006， China；2.School of Civil Engineering and Architecture， Hainan University， Haikou 570228， China）

Abstract： This paper introduces a method of using indicial functions （IFs） to simulate the time-domain expressions of self-excited aerodynamic loads of bridge decks， and studies the precision of this simulation. A modern genetic optimization algorithm is proposed to identify the parameters of IFs based on the tested flutter derivatives. During the simulation process， the equivalent relation between flutter derivatives and IFs parameters is first established. Then， the genetic optimization algorithm is implemented to identify all the IFs parameters using the MATLAB software. Based on the obtained IFs parameters， the fitted flutter derivatives are calculated according to the relation expression between IFs parameters and flutter derivatives. Finally， the simulation precision is evaluated by comparing the fitted and tested flutter derivatives. Numerical results indicate that the genetic optimization algorithm has high computational efficiency and is not affected by the number or range of parameters. The number of IFs parameters greatly influences the fitting precision of the flutter derivative. When the number of IFs parameters is small， the fitting precision is not ideal for complex flutter derivative curves. As the number of IFs parameters increases， the fitting precision significantly improves. The difference in fitting precision directly affects the critical wind speed of flutter obtained by the subsequent time-domain flutter analysis. Therefore， it is necessary to carefully select the number of IFs parameters based on the properties of flutter derivative curves. This allows for the simulation of a high-precision time-domain self-excited aerodynamic loads model， which can accurately evaluate the flutter stability of long-span bridges.

Key words： bridges；flutter；time-domain；indicial functions；genetic optimization

作者簡介： 吳長青（1987―），男，博士，講師。E-mail：12021048@hnist.edu.cn。