［摘 要］ 文章從章節(jié)結構、內容表征和內容呈現(xiàn)等方面比較兩版教材中的數列知識內容，得出新版教材的特點：注重數學知識的整體構建，促進數學思維素養(yǎng)的發(fā)展；注重知識系統(tǒng)與訓練系統(tǒng)的整體設計，促進數學方法素養(yǎng)的提高；注重問題情境的全面豐富，促進數學工具素養(yǎng)的提升.基于新版教材的特點，文章提出教學建議：注重“四基”，構建知識結構體系；發(fā)展“四能”，內化數學研究方法；強化“三會”，提升數學學科核心素養(yǎng)；變革方法，切實促進學生發(fā)展．

［關鍵詞］ 高中數學；教材；數列；比較研究

基金項目：廣東省基礎教育學科教研基地項目，廣東省于濤名教師工作室，廣東省教育科學規(guī)劃課題“基于SOLO分類理論的高中數學學業(yè)質量評價的實踐研究”（2021YQJK103）.

作者簡介：于濤（1982—），本科學歷，中學高級教師，廣東省名教師工作室主持人，從事數學教育教學研究工作.

教材作為連接課程標準與課堂教學的重要媒介，是落實課程改革理念的載體. 為了在新課程教學實踐中更有效地發(fā)揮數學教材的作用，并貫徹數學學科核心素養(yǎng)，本文采用統(tǒng)計分析法和文本分析法，對人民教育出版社2019年出版的《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（A版）》（下文簡稱新版教材）與2004年出版的《普通高中課程標準實驗教科書數學必修5（A版）》（下文簡稱舊版教材）中的“數列”知識內容進行了比較研究. 本研究旨在為新版教材的運用提供有價值的參考.

研究框架

根據教材編寫內容，從宏觀和微觀兩個層面，分章節(jié)結構、內容表征和內容呈現(xiàn)三個維度對教材進行定性或定量分析. 具體比較兩版教材在章節(jié)結構、欄目設置、素材選取、知識編排、例習題編排等方面的情況，分析新版教材的特點，提出教學建議.具體教材比較研究框架如圖1所示.

教材內容比較分析

1. 章節(jié)結構比較

比較兩版教材中數列知識內容的章節(jié)結構，詳見表1.

數列作為函數主線的內容之一，新版教材在編排邏輯上類比函數知識內容，按照“一般數列→特殊數列”的順序，將數列知識內容由舊版教材的5節(jié)整合為3節(jié)，突顯了函數主線中不同知識內容之間的內在邏輯聯(lián)系以及研究方法的連貫性；新版教材將數學歸納法與數列知識內容整合為一個章節(jié)，把教學重點從證明不等式調整為證明與數列、恒等式緊密相關的數學問題. 具體比較發(fā)現(xiàn)，前n項和公式的定義從舊版教材的2.3節(jié)調整到新版教材的4.1節(jié)，一是完整呈現(xiàn)“一般數列”的研究路徑，為兩類“特殊數列”的研究做好鋪墊；二是深化對數列作為特殊函數的全面理解，通項公式是函數，前n項和也是函數；三是滲透運算是研究數學對象的重要方法，通項公式是直接的研究對象，前n項和是經過運算得到的研究對象.新版教材對數列知識內容的重構，更加注重整體性，有助于幫助學生構建更為完整的知識體系.

2. 內容表征比較

（1）欄目設置

兩版教材在數列知識內容的總體結構呈現(xiàn)上，均遵循“章首導航→各節(jié)知識內容→拓展內容→小結→復習參考題”的順序. 本文對兩版教材的欄目設置進行了統(tǒng)計，結果如表2所示.

從統(tǒng)計數量來看，新版教材中的“思考”欄目的數量約為舊版教材的2.3倍，更加注重以問題的方式引導學生進行深入思考，凸顯“問題導學”理念，培養(yǎng)學生理性思維；新版教材在“思考”“探究”“歸納”等欄目中多次使用“仿照”“類比”等詞語，借此來滲透類比、特殊與一般等思想方法，引導學生積累并運用數學活動經驗，培養(yǎng)學生遷移能力；新版教材刪除了“估計的值”“九連環(huán)”“購房中的數學”等拓展內容，豐富了“斐波那契數列”，新增了“中國古代數學家求數列和的方法”，使數學文化的內容與知識聯(lián)系更加緊密，增加了教材的趣味性與可讀性.

（2）素材選取

素材作為數學教學的重要載體，可以使數學教學具有開放性、多元性、動態(tài)聯(lián)系性. 本文對兩版教材的素材選取情況進行了統(tǒng)計，結果如表3所示.

從統(tǒng)計數量來看，新版教材的素材總數略少于舊版教材.其中，文化素材的數量增加了6個，使得涵蓋的國家或地區(qū)從原先的7個擴展至10個，這有助于拓寬學生對數學及其文化背景的認識，讓他們體會到數學如何植根于文化之中，并進一步推動文化的進步. 同時，生活素材的數量減少了12個，刪減了不能更好地反映數列本質的“高中生人數”“人民幣面額”“水庫水位”等素材，精簡了“銀行存款”“購房問題”“人口問題”等反復出現(xiàn)的素材，增加了“天壇圜丘壇”“理財產品”“新能源汽車”“教育網站”等富有時代氣息的素材，體現(xiàn)了數學與現(xiàn)實生活廣泛且密切的聯(lián)系.數學素材增加了2個，分別是“除數函數”“歐拉函數”等數學新定義素材，更加強調數學課程學習情境的重要性.

（3）圖表設置

圖表作為表征數學知識的重要工具，可以使學生直觀、形象地理解抽象的數學概念與性質［1］. 本文對兩版教材的圖表設置情況進行了統(tǒng)計，結果如圖2所示.

從統(tǒng)計圖表來看，新版教材精簡了僅用于豐富教材畫面的插圖，為舊版教材的60%，增添了輔助教學的解釋圖和函數圖. 新版教材中有3幅圖用于展示數列的表示方法，2幅圖用于闡釋等差數列和等比數列的通項公式與函數之間的關系，2幅圖用于探究數列的性質. 這些函數圖的多角度應用，充分體現(xiàn)了新版教材始終貫穿函數主線的教學理念，強調了函數思想與方法的實際應用.

3. 內容呈現(xiàn)比較

教材內容的編寫體系分為知識系統(tǒng)和訓練系統(tǒng)，知識系統(tǒng)包括研究路徑、問題情境、產生發(fā)展、方法思想等，具體呈現(xiàn)即知識編排；訓練系統(tǒng)包括例題、練習、習題（包括變式、拓展、延伸）等，具體呈現(xiàn)即例習題編排.

（1）知識編排

本文對兩版教材的知識編排（必學內容）進行了比較，結果如表4所示.

由表4可知，新版教材按照“背景—概念—表示—性質—求和公式—應用”的研究路徑編排知識［2］，強調等差數列與等比數列學習過程的相似性.新版教材在數列概念引入環(huán)節(jié)中的素材均呈現(xiàn)出兩組數之間的對應關系，為理解數列是定義在正整數集或其有限子集上的一類離散函數的本質提供了實際情境基礎，情境設置更加恰當.新版教材更注重概念、方法的生成過程，對等差、等比數列概念的編排，緊扣“運算（減法、除法）”這一核心，從“數”到“項”，逐步完成兩個特殊數列取值規(guī)律的歸納與抽象；對等差數列前n項和的編排，從高斯問題到特殊數列｛ｎ｝，再到一般等差數列｛ａ｝的求和公式的推導，引導學生從特殊到一般，在方法簡化的情形下自然而然地發(fā)現(xiàn)新方法.新版教材更強調數列的函數屬性，通過把“數列—特殊函數”“等差數列—一次函數”“等比數列—指數函數”聯(lián)系起來，引導學生感受數列與函數的聯(lián)系與區(qū)別.此外，新版教材多次使用猜想或迭代等不完全歸納法，并將數學歸納法作為選學內容補充在數列這一章的最后一節(jié)，與前述知識方法形成了一個思維整體，有助于學生構建邏輯嚴密連貫的方法體系.

（2）例習題編排

從例習題的編排結構來看，舊版教材以“小節(jié)”為編排單位，按照“例題—練習—習題”的順序編排，新版教材以“課時—小節(jié)”為編排單位，按照“課時（例題、練習）—小節(jié)（習題）”的順序編排. 新版教材更加注重知識系統(tǒng)與訓練系統(tǒng)的有機融合，與教學內容的適配性更佳.

從例習題的數量來看（統(tǒng)計結果如圖3所示），新版教材大幅增加了例題、練習，減少了習題，刪減了舊版教材中的52道例習題，保留了32道，改編了19道（有4道題目合并成了2道題目），新增了69道，例習題的調整數量高達72.8%. 具體地，新版教材增加了證明題、探究題，適度關注訓練系統(tǒng)與高考的關聯(lián)，提高了應用題的質量. 在舊版教材中，有4道例題所涉及的知識點單一，可直接套用公式求解；在新版教材中，有6道例題涉及“等差×等比”型數列、“等差-等比”型數列、數列構造等，更好地體現(xiàn)了數列模型應用的豐富性與層次性.

從例習題層次來看，新版教材將舊版教材中的“A組”“B組”兩個層次的例習題調整為“復習鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”三個層次. 本文應用SOLO分類理論［3］對例習題思維水平進行了統(tǒng)計分析，結果如圖4所示. 在兩版教材中，例習題思維水平層次分布總體相似，單點結構的例習題比例和拓展抽象結構的例習題比例相近，分別約為20%和9%. 在新版教材中，多點結構的例習題比例約為47%，較之前下降了6%；而關聯(lián)結構的例習題比例約為24%，較之前增加了6%. 新版教材增加了關聯(lián)結構的例習題比例，使得不同思維水平的例習題分布更為均衡，有效地促進了教學的循序漸進. 多層次的例習題設計，為不同數學基礎和思維層次的學生提供了適宜的學習材料，有助于實現(xiàn)因材施教.

圖4 兩版教材中數列必學知識內容的

例習題思維水平統(tǒng)計

研究啟示

通過對兩版教材數列知識內容的比較分析，新版教材充分體現(xiàn)了培養(yǎng)數學學科核心素養(yǎng)的特點.研究發(fā)現(xiàn)：（1）新版教材注重數學知識的整體建構，突出對研究數學對象基本套路的呈現(xiàn)，按照“背景—概念（定義、表示、分類）—性質—特例（等差數列、等比數列）”編排章節(jié)內容，強調數列的函數屬性，借助圖表的直觀作用，促進對數列本質的理解；新版教材以“運算”作為一般觀念貫穿數列整章知識編排，引導學生從“運算”的視角來研究數列，深化對數與數量關系基礎研究方法的理解.通過從不同角度整體理解數學知識，促進數學思維素養(yǎng)的發(fā)展［4］24. （2）新版教材注重知識系統(tǒng)與訓練系統(tǒng)的整體設計.知識層面，注重生成過程，借助“思考”“探究”“歸納”“旁注”等欄目，構建問題鏈，加強教材對學習的引導功能，幫助學生掌握歸納、抽象、類比、推理等數學思想方法，積累活動經驗；訓練層面，注重知識與訓練的統(tǒng)一，優(yōu)化編寫邏輯，合理設計例習題的比例和各思維水平層次的例習題的比例，引導教學循序漸進. 通過兩個系統(tǒng)的有機融合，促進數學方法素養(yǎng)的提高［4］24. （3）新版教材注重問題情境的全面豐富，創(chuàng)設了多種類型和層次的學習情境，精選了富有時代氣息的問題情境.通過熟悉的情境，幫助學生理解較為抽象的概念、性質等；借助關聯(lián)的數學情境、科學情境、人文情境等，引導學生感悟數學的科學價值、文化價值、審美價值；依托綜合的實際情境，引導學生應用數學知識解決實際問題. 通過運用數學知識和方法解決各類問題，促進數學工具素養(yǎng)的提升［4］24.

1. 注重“四基”，構建知識結構體系

“四基”是培養(yǎng)學生數學學科核心素養(yǎng)的有效載體. “四基”教學要注重知識的上、下位聯(lián)系，關注結構性，突出整體性. 教學應立足教材編寫的主線，從教材結構入手，整體把握數學教學內容之間的內在聯(lián)系，克服僅關注基礎知識、基本技能的教學局限，樹立單元整體教學意識. 通過單元教學整合“碎片化”的知識，引導學生把握數學知識的本質，明晰數學知識之間的聯(lián)系與區(qū)別，促進學生形成良好的認知結構. 例如，數列章節(jié)的概念教學要緊扣數列與函數的聯(lián)系，深化項與序號之間的函數關系，理解給定一個序號就有一個確定的數與之對應的數列本質，理解通項公式是函數，前n項和公式也是函數；在教學等差數列與等比數列時，應充分利用它們知識結構的相似性，將“差”變?yōu)椤吧獭?，引導學生積累并應用數學活動經驗.

2. 發(fā)展“四能”，內化數學研究方法

“四能”是發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)的重要途徑. “四能”教學要以問題為導向，以數學活動為載體，關注情境性，突出過程性.教學應深入理解教材的編寫意圖，厘清教材中相關內容、素材、例習題之間的關系，多思考教材中的數學問題是如何發(fā)現(xiàn)和提出的，明晰數學研究方法，引導學生經歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的學習全過程. 例如，在教學通項公式與求和公式時，要注意數列與函數的區(qū)別：函數的研究內容是對應關系、圖象和性質，強調運用數形結合思想研究問題；數列的研究內容是通項公式和求和公式，強調運用數學運算研究問題. 在教學時，要重視列舉、觀察、歸納，強化合情推理. 對于教材中“研究數列｛ａ｝，｛ｂ｝的公共項，以及數列｛ａ±ｂ｝，｛ａ·ｂ｝，”等情境，教學時要引導學生從運算的觀點出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并提出新的數列問題. 此外，很多數列問題的分析和解決，離不開數學歸納法的演繹推理，建議面對學情較好的學生，將數學歸納法調整為必學內容.

3. 強化“三會”，提升數學核心素養(yǎng)

“三會”是提升學生數學學科核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn). “三會”教學要“以生為本”，以“三會”等行為表現(xiàn)為目標，關注創(chuàng)新性，突出實踐性.教師應多讀、多思，舍棄應試教育教學的功利取向，深層次把握知識本質，增強學生數學內部的“三會”表現(xiàn)；多創(chuàng)設好的實際問題，提高學生數學外部的“三會”表現(xiàn). 例如，從數學內部來看，等差數列的性質與平均數緊密相連，等差中項是平均數的特例，等差數列的前n項和也可以從平均數的角度進行闡釋；等比數列的性質與比例的性質緊密相連，等比中項是比例的特例，等比數列的前n項和也可以從比例性質的角度進行研究. 從數學外部來看，教材提供了“垛積術”“隙積術”“圭垛數”等數學文化素材，以及“理財產品”“貸款”等貼近生活的實際問題. 在教學中，不僅要充分利用這些素材來培養(yǎng)學生運用數學知識解決實際問題的能力，還要發(fā)揮其文化價值和應用價值，以此來培養(yǎng)學生的綜合素養(yǎng).

4. 變革方法，切實促進學生發(fā)展

從”四基”“四能”到“三會”是一條培養(yǎng)學生數學學科核心素養(yǎng)的主線.教學不妨緊扣這一主線，以單元整體教學變革教學方法，促進學生發(fā)展. 首先，從單元整體視角設計教學目標. 設計教學目標不僅要關注顯性目標，還要關注隱性目標. 不妨從“四基”“四能”“素養(yǎng)”三個層面進行目標設計，既關注學生“學會”，又關注學生“會學”. 其次，將研究方法作為單元教學主題. 數列知識內容的教學，可以把“運算”作為教學明線，把基本套路作為教學暗線，以知識為學習載體，幫助學生掌握研究數學對象的一般方法，把握知識間的內在聯(lián)系. 再次，按“一般對象—特殊對象”的教材編寫邏輯設計學習順序. 先按照研究方法學習一般數列，再通過類比學習特殊數列，從而感悟研究方法，深化類比思想，促進遷移能力的培養(yǎng). 最后，通過總結歸納，完善學生的認知結構. 通過連接知識間的關聯(lián)點，將新知識融入現(xiàn)有的認知框架，進行重塑或改造，從而構建一個邏輯嚴密、連貫且結構功能完善的知識體系.

參考文獻：

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