［摘 要］ 問題導向下的探究式教學對發(fā)展學生的學力，提升學生的核心素養(yǎng)具有深遠的意義. 研究者在“三角函數(shù)的概念”教學設計中，從問題情境、問題串啟發(fā)等維度揭露了三角函數(shù)概念的本質以及知識間的邏輯關系，踐行了深度學習理念，旨在幫助學生積累豐富的學習經(jīng)驗，提升學生的認知水平和核心素養(yǎng).

［關鍵詞］ 三角函數(shù)；問題導向；探究教學

作者簡介：陳璐帆（1989—），中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.

高中階段的數(shù)學課堂內容多、難度大，部分教師為了追求教學容量，縮短了學生在課堂中的自主探索時間，導致學習過程處于淺層次狀態(tài)，難以實現(xiàn)深度學習. 問題導向下的探究式課堂教學可改變這一現(xiàn)狀，使學生在開放、有趣、梯度明確且具有啟發(fā)性的問題引導下獲得豐富的學習體驗，從而提升課堂學習效率，且加快數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展. “三角函數(shù)的概念”屬于基礎知識，其重要性不言而喻. 該如何借助問題導向，提升探究效率，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)呢？

學情分析

建構主義理論認為：新知構建在舊知的基礎之上. 課堂教學之前，探明學生的認知基礎至關重要. 學生在平面幾何的學習中已經(jīng)接觸過軸對稱、中心對稱、相似等內容，對不同種類的函數(shù)也有所認識，初步掌握了探索函數(shù)的一般方法. 同時，關于周期現(xiàn)象，在其他學科中也有所接觸，如地理學科中的潮漲潮落、季節(jié)更替，物理學科中的交變電流、圓周運動等. 這些內容均可作為學生本節(jié)課學習的認知經(jīng)驗基礎. 由此可見，學生對本節(jié)課的認知經(jīng)驗相當豐富，教師可在此基礎上設計問題，激發(fā)學生共鳴，促進教學進程.

教學過程設計

1. 借助情境，提出問題

問題1 古詩云：“離離原上草，一歲一枯榮.”我們稱自然界中以一定規(guī)律呈現(xiàn)的現(xiàn)象為周期現(xiàn)象，請大家結合自身的生活經(jīng)驗，說一說你所知道的哪些運動具備“周期性”特征.

在這個問題的啟發(fā)下，學生提出了許多生活中的“周期現(xiàn)象”，如“日出日落三百六，周而復始從頭來”等.

設計意圖 利用學生耳熟能詳?shù)墓旁娫~作為情境素材，不僅能夠縮短學生與教學內容之間的距離，讓學生體會到數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，還能夠有效地滲透數(shù)學文化，為引出教學主題奠定基礎.

2. 問題啟發(fā)，抽象概念

問題2 通過之前的學習，大家都知道函數(shù)屬于一種描述客觀世界變化規(guī)律的模型，例如用一次函數(shù)模型對勻速直線運動進行描述，用二次函數(shù)模型對自由落體運動進行描述，用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等模型對指數(shù)爆炸現(xiàn)象進行描述. 那么，對圖1所示的周期勻速圓周運動的描述，可用哪種函數(shù)模型呢？

為了幫助學生構建思維的“腳手架”，教師精心設計了一系列問題串，旨在激發(fā)學生思考，并引導他們找到清晰的思考路徑，為深入探究問題核心打下堅實的基礎.

問題串1：結合過往探索函數(shù)的基本經(jīng)驗，應該從何處著手來探索這個問題呢？

問題串2：（用幾何畫板展示圖2）觀察并分析點P在運動過程中存在哪些變量.

問題串3：思考各個變量之間的聯(lián)系.

設計意圖 此問揭露了本節(jié)課的探索主題，并借助問題串為學生思考指明了方向. 此問及其問題串引導學生從研究背景出發(fā)，通過探索變量之間的對應關系，給自主掌握相應的定義與性質打下了基礎.

問題3 角α的值是不明確的，結合現(xiàn)有的探索經(jīng)驗，接下來該怎么辦呢？

面對這一問題，許多學生顯得困惑不解. 此時，教師繼續(xù)利用問題串來引導和激發(fā)學生進行思考.

問題串1：如圖3所示，若角α為，則點P的坐標是什么？

問題串2：探索點P的坐標，涉及哪些數(shù)學知識？

問題串3：具體的探索步驟是怎樣的？點P具有唯一性嗎？

問題串4：嘗試根據(jù)以上探索方法分別獲得α=，α=時（見圖4、圖5），點P的坐標.

設計意圖 以學生的認知為探索的基礎，以特殊角為起點進行探討與分析，引導學生根據(jù)角α建立平面直角坐標系，明確點P的坐標，此為化繁為簡的過程，一方面符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，另一方面凸顯了探究式課堂教學的循序漸進的特征.

問題4 若角α為一個任意角，其終邊OP和單位圓相交于點P，從中可以發(fā)現(xiàn)什么？

問題串1：當角α為任意角時，其終邊與單位圓的交點具有唯一性嗎？

問題串2：任意角α與點P的對應關系該怎樣刻畫？這種對應關系與函數(shù)相關嗎？

問題串3：怎樣為這類函數(shù)命名更合理？

問題串4：點P的縱坐標與橫坐標的比值是不是角α的函數(shù)值？

問題串5：如何用符號描述三角函數(shù)？

設計意圖 此過程不僅讓學生明晰了任意角與單位圓上的點的坐標之間的對應關系，還讓學生感知到從特殊到一般的數(shù)學思想方法，獲得了用數(shù)學模型與數(shù)學語言描述事物的能力，有效促進了數(shù)學抽象與建模能力的提升.

3. 深入探索，內化新知

問題5 嘗試自主描述什么是三角函數(shù)，何為三角函數(shù)的定義域與值域.

問題串1：分別說一說什么是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù).

問題串2：為什么正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域均為R，而正切函數(shù)的定義域為xx≠+kπ，k∈Z呢？

問題串3：分析三角函數(shù)值在對應的定義域內是否具有唯一性.

問題串4：分別說一說三角函數(shù)中的各個符號所表達的意義.

設計意圖 三角函數(shù)概念的抽象，促使學生自主探索三角函數(shù)的“三要素”，從而基于三角函數(shù)的內涵與本質，深入理解其意義. 學生基于自身現(xiàn)有的知識體系，不僅深化了對數(shù)學符號實際含義的理解，還提煉出了數(shù)形結合和歸納類比等思想方法，有效地培養(yǎng)了數(shù)學邏輯推理能力.

問題6 說一說任意角三角函數(shù)和銳角三角函數(shù)之間存在怎樣的關系.

問題串1：何為銳角三角函數(shù)？其自變量與函數(shù)值分別是什么？

問題串2：若α∈0，，該如何獲得sinα的值？

問題串3：根據(jù)三角函數(shù)的概念，可怎樣獲得sinα的值？

問題串4：不同方法獲得的正弦值一樣嗎？

問題串5：正切函數(shù)和余弦函數(shù)是否存在與以上一樣的情況？

問題串6：已知任意角三角函數(shù)值可為負數(shù)，而銳角三角函數(shù)值為正數(shù)，那么三角函數(shù)值為負數(shù)時具備什么特殊含義嗎？

設計意圖 新舊知識的深度融合不僅讓學生進一步理解了銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，還有效培育了學生的數(shù)學邏輯推理能力，促使學生感知三角函數(shù)值為負數(shù)時所具備的現(xiàn)實意義，為后續(xù)的靈活應用打下了基礎.

4. 新知應用，夯實基礎

問題7 如圖6所示，請分別求出的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值.

為了啟發(fā)學生的思維，教師在學生自主探索過程中又提出了以下幾個問題供學生思考：①的終邊位于何處？②如何獲得點P的坐標？③由概念出發(fā)，總結探索三角函數(shù)值的基本步驟.

在上述問題串的引導下，學生不僅獨立解決了問題，而且求出了，0，π，的三角函數(shù)值.

設計意圖 深入探究實際問題進一步驗證并加強了學生對三角函數(shù)概念的理解及應用技巧. 通過總結探索方法，學生得以整理思維過程，為構建結構化的數(shù)學思維打下了基礎.

問題8 若α為任意角，點P（x，y）為其終邊上與原點O不重合的任意點，且PO=r，請分別求證：sinα=，cosα=，tanα=.

例題：若點P（－12，5）位于角θ的終邊上，則角θ的三個三角函數(shù)值分別是多少？

拓展：已知圓C的圓心位于直角坐標系的原點上，半徑r=2，若點P（0，2）由其位置開始在圓C上以 rad/s的速度進行逆時針運動，勻速運動3 s后抵達點P′處，求點P′的坐標.

設計意圖 例題的拓展應用鼓勵學生深入辨析三角函數(shù)的概念，并對單位圓與角的終邊的交點坐標有更深刻的理解. 這一環(huán)節(jié)不僅能夠促進學生發(fā)散思維，還能夠幫助他們明晰三角函數(shù)的概念，并拓展其應用范圍，是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要方法.

5. 總結提煉，感悟反思

鼓勵學生分享本節(jié)課的成果、感悟和體會，特別注重對知識點、思維方法和模型的提煉. 隨著交流的深入，學生將本節(jié)課的教學內容整理成圖7.

設計意圖 對于概念課總結環(huán)節(jié)異常重要，它能幫助學生進一步梳理整個教學流程，鞏固知識基礎. 在問題的導向下，學生基于知識、方法與思想等層面進行梳理與總結，不僅能培養(yǎng)結構性思維，還能增強整理能力，發(fā)展數(shù)學素養(yǎng).

感悟與思考

1. 親歷過程是探究式課堂的基礎

在傳統(tǒng)的教學實踐中，概念的傳授往往采取的是一種簡單直接的“注入式”方法，這導致許多學生雖然能夠流暢地復述概念，但將這些概念應用于解決實際問題時卻顯得力不從心. 本節(jié)課并未直接向學生灌輸三角函數(shù)的概念，而是通過引導學生親歷概念的構建和演進過程，借助單位圓工具，幫助學生理解角的終邊和單位圓的交點坐標與三角函數(shù)之間的關系. 這種方法能激勵學生自主歸納出相應的概念，有效地提升他們的數(shù)學邏輯推理能力，并幫助他們提煉多種數(shù)學思想方法，從而真正實現(xiàn)深度學習.

2. 問題驅動是探究式課堂的關鍵

在課堂上，每個問題都可能對學生發(fā)揮出“四兩撥千斤”的效果. 新知是建立在學生已有的認知經(jīng)驗之上的. 面對新問題時，學生常常感到無從下手. 然而，通過精心設計問題串，可以引導學生從較低的起點開始，將未知轉化為已知. 例如，本節(jié)課根據(jù)學生的學習情況共設計了8個問題，并為每個問題提供了相應的問題串. 這使得學生能夠在自主探索和交流的過程中，逐漸抽象出概念，理解并內化這些概念，最終靈活地應用它們. 因此，問題驅動是推動探究式課堂發(fā)展的關鍵，對于促進學生思維和學習能力的發(fā)展具有重要的價值.

3. 發(fā)展學力是探究式課堂的目標

在新課程改革的背景下，數(shù)學課堂教學的目標不僅僅是構建新知，更重要的是促進學生能力的發(fā)展和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 在本節(jié)課中，每個教學環(huán)節(jié)的問題設計都體現(xiàn)了層次性、開放性和探究性. 在這些問題的引導下，學生不僅鞏固了已有的知識基礎，還構建了新的知識體系. 通過對問題的深入探究，學生不僅培養(yǎng)了出色的數(shù)學抽象能力，還提煉出了從特殊到一般、數(shù)形結合、轉化與化歸等思想方法. 特別是在總結環(huán)節(jié)，知識與方法的整合提煉，充分展現(xiàn)了學生能力的提升.

總之，在新課程與新高考的背景下，教師需特別注重培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，而以問題為導向的高中數(shù)學探究式課堂的構建是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵教學方法之一. 因此，教師應在深入理解學情的前提下，通過精心設計問題和開展探究活動，持續(xù)激發(fā)學生的智力潛能和非智力品質，確保數(shù)學學科核心素養(yǎng)落實.