［摘 要］ 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際生活問題，不僅要求使用精確的數(shù)學(xué)語言來描述和刻畫問題，還必須確保數(shù)學(xué)抽象與實際問題保持一致. 在數(shù)學(xué)抽象中引入一些假設(shè)，正如著名的“蒙提霍爾悖論”所展示的那樣，往往能激發(fā)辯論和深思. 文章以“三門問題”為例，從問題概述、認知矛盾、探索思考、實驗驗證、模型應(yīng)用、推廣延伸與總結(jié)反思等方面展開建模教學(xué)的探索與研究.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；三門問題；數(shù)學(xué)應(yīng)用

作者簡介：高春明（1973—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，蘇州市學(xué)科帶頭人.

建模能力的培育是一項系統(tǒng)工程，需要教師根據(jù)學(xué)情，基于知識理論基礎(chǔ)，跳出定式思維的框架，幫助學(xué)生構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，解決更多的實際生活問題，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). “三門問題”屬于概率問題的范疇，本文以此為例，展開教學(xué)實踐與探索，具體談一談如何借助數(shù)學(xué)課堂發(fā)展學(xué)生的建模能力.

問題概述

“三門問題”源于美國的一個游戲節(jié)目，具體內(nèi)容為：在電視屏幕的三扇門背后各藏有一件獎品，兩件為山羊，一件是汽車. 猜獎?wù)呷芜x一扇門，并得門背后的獎品. 在猜獎?wù)弋攬鲞x定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發(fā)現(xiàn)后面是山羊. 這時主持人問猜獎?wù)呤欠褚牟铝硪簧乳T. 現(xiàn)在的問題是改猜獲得汽車的概率大，還是不改猜獲得汽車的概率大？［1］

認知矛盾

當學(xué)生看到這個問題時，第一反應(yīng)是“改猜”與“不改猜”的概率是一樣的，均為. 之所以這么認為，是因為主持人打開一扇有山羊的門，剩下的兩扇門背后必定為一只山羊與一輛汽車，那么獲得汽車的概率就是. 但換個思維來分析，當猜獎?wù)叩谝淮芜x定某扇門時，獲取汽車的概率是，汽車在剩余兩扇門背后的概率是. 當主持人打開一扇有山羊的門時，汽車在剩余兩扇門背后的概率仍舊是. 從這個角度進行探索，改猜獲得汽車的概率就是. 那么，究竟哪種思路是正確的呢？汽車在剩下兩扇門背后的概率究竟是還是呢？這是一個涉及博弈論的問題，大多數(shù)學(xué)生展現(xiàn)出了濃厚的探索興趣.

探索思考

生1：從這個游戲來看，任何一扇門背后為汽車的概率均為，與猜獎?wù)摺案牟隆迸c“不改猜”沒有關(guān)系.

生2：我不這么認為，主持人未打開一扇門之前，猜獎?wù)攉@得汽車的概率確實為，一旦打開了一扇門，那么剩下的就是“是”與“不是”兩個結(jié)論，因此不論猜獎?wù)摺案牟隆迸c“不改猜”，獲得汽車的概率均為.

生3：我認為如果“不改猜”，那么獲得汽車的概率為，因為汽車就在其中一扇門的背后；但如果“改猜”，那么獲得汽車的概率就是.

師：看來大家的想法各不一樣，改猜獲得汽車的概率究竟是多少呢？請大家合作討論這個問題.

學(xué)生經(jīng)過激烈的討論與分析，最終達成共識：主持人未打開一扇門之前，猜獎?wù)攉@得汽車的概率為；如果主持人隨機打開一扇門，門背后不是汽車，那么在剩下的兩扇門中，其中一扇門背后為汽車的概率仍舊是；如果主持人在明知道門背后不是汽車的情況下打開這扇門，那么這個概率就被打破了.

實驗驗證

實驗驗證流程：用完全一樣的三張卡片分別代替三扇門，卡片背后分別標注“汽車”“山羊”“山羊”，將卡片放在桌上（字朝下），三人為一個小團隊，其中一人參賽、一人記錄、一人主持.

班上共有48名學(xué)生，分成16個小團隊，一半小組選擇“改”，另一半小組選擇“不改”，各組實驗100次，分別記錄翻開卡片背后為“汽車”的次數(shù).

實驗發(fā)現(xiàn)，選擇“不改”的小組翻得“汽車”卡片的頻率約為33.5%；而選擇“改”的小組翻得“汽車”卡片的頻率約為66.5%. 由此，學(xué)生普遍認同生3的觀點更接近實際情況.

設(shè)計意圖 面對眾多猜想，最佳的策略就是通過實驗操作或利用信息技術(shù)來驗證這些猜想的正確性. 此環(huán)節(jié)借助實操活動，引導(dǎo)學(xué)生親歷問題的探索過程，切身感知門背后為汽車的概率. 如此設(shè)計，一方面讓學(xué)生自主獲得結(jié)論，另一方面促使學(xué)生進一步感知數(shù)學(xué)實驗的獨特魅力，為后續(xù)探索更多知識奠定了基礎(chǔ).

模型應(yīng)用

1. “枚舉法”的應(yīng)用

師：“三門問題”是否屬于古典概型？若是，該怎么獲得它的概率呢？

生4：我認為“三門問題”屬于古典概型，原因在于，所有可能的試驗事件數(shù)量是有限的，并且每個事件發(fā)生的概率是相等的.

師：很好，那么該如何獲得它的概率呢？

關(guān)于這個問題，學(xué)生從以下兩個角度展開分析.

（1）猜獎?wù)哌x擇“不改”

對于這三扇門，由于每扇門背后出現(xiàn)汽車的概率相等，因此假設(shè)猜獎?wù)邎猿诌x擇門1，則存在表1所示的三種情況.

從表1可以看出，猜獎?wù)邎猿诌x擇門1獲得汽車的概率是.

（2）猜獎?wù)哌x擇“改”

當主持人打開門2或門3為山羊時，猜獎?wù)摺案摹焙缶褪Ｒ簧乳T，同樣具備三種情況（見表2）.

從表2可以看出，猜獎?wù)摺案摹焙螳@得汽車的概率變成了，所以選擇“改”獲得汽車的概率更大.

基于以上分析，學(xué)生應(yīng)用樹狀圖（圖1）將“改”與“不改”的概率表示出來，以進一步明晰整個思路.

選擇一門車 ——改——羊不改——車羊1——改——車不改——羊羊2——改——車不改——羊

通過樹狀圖的梳理，問題的結(jié)構(gòu)變得更加清晰，這有助于學(xué)生更深入地理解概率的邏輯脈絡(luò)，并加深了對“三門問題”模型的認識.

2. “貝葉斯公式”的應(yīng)用

師：假設(shè)猜獎?wù)哌x擇的是門1，主持人打開的是門2. 設(shè)“門i背后有車”與“主持人打開門2”分別為事件A（i=1，2，3）與事件B，則猜獎?wù)哌x擇“改”與“不改”的概率分別是P（AB），P（AB）. 這里提到的P（AB）與P（AB）該如何獲得？

生5：結(jié)合條件概率公式可得P（AB）=，P（AB）=.又AB+AB+AB=B，AB，AB，AB三者間為兩兩相斥的關(guān)系，所以P（B）=P（AB+AB+AB）=P（AB）+P（AB）+P（AB），P（A）P（BA）=P（AiB）. 所以，P（B）=P（A）P（BA）. 故P（AB）==，P（AB）==.

結(jié)合“等可能性”可得P（A）=P（A）=P（A）=. 又P（BA）=，P（BA）=0，P（BA）=1，所以P（AB）===，P（AB）===.

根據(jù)上述分析可知，主持人打開門2后，若猜獎?wù)摺安桓摹保@得汽車的概率是；若猜獎?wù)摺案摹?，獲得汽車的概率就是. 由此可見，“改”后獲得汽車的概率更大.

推廣延伸

若將“三門問題”中的“三門”更改成“n門”，同時多扇門背后安排有汽車，在主持人同時打開多扇門的條件下，猜獎?wù)呤欠窀倪x擇與獲得汽車的概率之間存在怎樣的關(guān)系呢？

關(guān)于這個問題，用數(shù)學(xué)語言描述為：若有n（n∈N*）扇門關(guān)閉著，有m（m∈N*，m<n）扇門背后是汽車，猜獎?wù)唠S機選擇一扇門，在沒有打開前，主持人打開了另外的p（p∈N*，p<n－1）扇門，打開的p扇門中有q（q∈N*，q<m，q≤p）扇門背后是汽車. 此時，猜獎?wù)呖梢詧猿肿畛醯倪x擇，也可以重新選擇一扇未被打開的門，分析“改”與“不改”獲得汽車的概率情況.

關(guān)于此問，學(xué)生一致認為借助貝葉斯公式來分析更科學(xué). 在此問中，將“不改獲得汽車”設(shè)為事件A，“改后獲得汽車”設(shè)為事件B，“猜獎?wù)咭婚_始就選中汽車”設(shè)為事件C，“猜獎?wù)叩谝淮螞]有選中汽車”設(shè)為事件D.

結(jié)合題意得P（C）=，P（D）=.

（1）猜獎?wù)邎猿肿畛醯倪x擇，則P（A）=P（C）=.

（2）猜獎?wù)吒倪x擇，則存在如下幾種情況：

①如果猜獎?wù)咭婚_始所選門背后就是汽車，那么他可以選擇的門數(shù)量為“n－p－1”，背后為汽車的門數(shù)量為“m－q－1”. 基于此，可明確猜獎?wù)咴谝婚_始就選中汽車的情況下，更改自己的選擇而再次獲得汽車的概率是P（BC）=.

②如果猜獎?wù)咭婚_始所選門背后不是汽車，那么他可以選擇的門數(shù)量為“n－p－1”，背后為汽車的門數(shù)量為“m－q”. 由此可確定，在猜獎?wù)咭婚_始所選門背后不是汽車的情況下，換一種選擇獲得汽車的概率是P（BD）=.

綜合以上分析，可確定猜獎?wù)吒倪x擇后，獲得汽車的概率是P（B）=P（C）·P（BC）+P（D）·P（BD）=·+·=.

若P（A）<P（B），即<，即m（n－p－1）<mn－nq－m，qn<pm，也就是<.

經(jīng)過上述分析可以清晰地看到，若猜獎?wù)唠S機選擇的一扇門背后為汽車的概率大于主持人所打開的門背后為汽車的概率，則更改初始選擇會提高獲得汽車的概率. 在這種情況下，堅持初始選擇則會降低獲得汽車的概率. 反之，若主持人所打開的門背后為汽車的概率高于猜獎?wù)唠S機選擇的一扇門背后為汽車的概率，則堅持初始選擇會提高獲得汽車的概率.

總結(jié)反思

通過對“三門問題”的探討以及對“n門問題”的分析，可以看見，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力時，教師應(yīng)特別關(guān)注以下四點：

（1）在課堂上確保為學(xué)生提供充分的時間來閱讀和審視題目，鼓勵他們獨立思考和相互交流，學(xué)會從日常生活實踐中抽象出數(shù)學(xué)問題.

（2）精心挑選富有吸引力的模型，以激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)他們的思維經(jīng)歷從表層到深層的轉(zhuǎn)變，逐步增強學(xué)生的建模意識，為將來的模型應(yīng)用做鋪墊.

（3）加強數(shù)學(xué)實驗活動或計算機應(yīng)用，以進一步驗證假設(shè)，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，并為解決模型問題創(chuàng)造有利條件.

（4）加強對學(xué)生思維的引導(dǎo)和模型的拓展，以進一步深化學(xué)生對模型的理解和應(yīng)用.

總之，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力應(yīng)當植根于教學(xué)實踐之中，通過引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作交流以及深入探索，不斷提煉和優(yōu)化模型，從而培養(yǎng)和發(fā)展他們的模型意識. 這為真正實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)理念奠定了基礎(chǔ). 引導(dǎo)學(xué)生運用邏輯思維和表達方式去觀察、分析和闡述實際問題，是提升學(xué)生“三會”能力的核心，也是增強學(xué)生建模技能的關(guān)鍵. 這種教學(xué)方法充分彰顯了數(shù)學(xué)教育的深遠價值.

參考文獻：

［1］ 何書元. 三門問題［Ｊ］. 數(shù)學(xué)通報，2015，54（3）：1-2.