［摘 要］ 在新課程背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)更加注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力和數(shù)學(xué)思維能力，以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的產(chǎn)生. 在深度學(xué)習(xí)的背景下，教師應(yīng)以學(xué)生為中心，從整體視角出發(fā)，合理整合教材內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程，以此深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生能力與素養(yǎng)的全面發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；問(wèn)題情境；知識(shí)體系

作者簡(jiǎn)介：安慧嬌（1987—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

在新課程背景下，深度學(xué)習(xí)已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的熱點(diǎn)話題之一. 在深度學(xué)習(xí)視域下，力求實(shí)現(xiàn)從“以學(xué)科為中心”到“以學(xué)生為中心”；從“知識(shí)技能獲得”到“核心素養(yǎng)發(fā)展”；從“教師的教為主”到“學(xué)生的學(xué)為主”；從“單一紙筆測(cè)試”到“成長(zhǎng)綜合評(píng)價(jià)”. 在實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)始終堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”，基于“三個(gè)理解”構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化框架，確定高階思維培養(yǎng)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生全身心參與，充分體驗(yàn)成功喜悅，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 那么，深度學(xué)習(xí)“深”在何處？筆者認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)之所以“深”，在于它使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，促進(jìn)了學(xué)生思維能力的發(fā)展，加深了學(xué)生對(duì)學(xué)科核心知識(shí)的理解和加工，以及個(gè)體知識(shí)體系的構(gòu)建和完善. 筆者以“等比數(shù)列”的教學(xué)為例，基于深度學(xué)習(xí)理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比主動(dòng)獲取知識(shí)，構(gòu)建數(shù)列知識(shí)體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)分析

1. 教學(xué)內(nèi)容

等比數(shù)列是繼等差數(shù)列后的又一特殊數(shù)列，是數(shù)列領(lǐng)域中的重要角色. 在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)積累了豐富的研究等差數(shù)列的知識(shí)經(jīng)驗(yàn). 因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列，通過(guò)有效溝通兩者的差異與聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生深入理解等比數(shù)列，有效激發(fā)學(xué)生的潛能，促成深度學(xué)習(xí).

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生深入理解等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，并能夠運(yùn)用這些知識(shí)解決基礎(chǔ)問(wèn)題；

（2）滲透類(lèi)比思想、方程思想、特殊和一般思想等，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、歸納、演繹等能力，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升；

（3）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，以及發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力.

3. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）等比數(shù)列相關(guān)概念的形成與深化；

（2）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)舊知，引入新課

問(wèn)題1 我們學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，重點(diǎn)研究了哪些內(nèi)容？是如何研究的？

生1：重點(diǎn)研究了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)等內(nèi)容，用歸納法和累加法證明了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用倒序相加法推導(dǎo)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

生2：等差數(shù)列是一種特殊數(shù)列，其特點(diǎn)在于從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).

師：非常好，你能用知識(shí)框架圖來(lái)概括和總結(jié)等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)嗎？

教師安排時(shí)間供學(xué)生思考、交流和表達(dá)，同時(shí)對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)成果進(jìn)行優(yōu)化. 通過(guò)師生共同的互動(dòng)交流，形成了如圖1所示的知識(shí)框架圖.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，其知識(shí)體系中各個(gè)部分之間存在著緊密的聯(lián)系. 在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)系去觀察和思考問(wèn)題，這不僅有助于鞏固學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，還能有效提升他們的自學(xué)能力，并進(jìn)一步完善他們的知識(shí)體系. 在引入新課程的環(huán)節(jié)中，教師安排時(shí)間讓學(xué)生全面回顧之前學(xué)習(xí)的等差數(shù)列，為探索新知奠定基礎(chǔ).

問(wèn)題2 類(lèi)比等差數(shù)列，你是否還能發(fā)現(xiàn)其他特殊數(shù)列？如果可以，你能否提供一些實(shí)例，并給出相應(yīng)的定義？

生3：由等差數(shù)列的定義可知，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù). 因此，若將此處的“差”替換為其他運(yùn)算，例如“和”“積”和“比”，則可以相應(yīng)地得到等和數(shù)列、等積數(shù)列和等比數(shù)列.

師：很好，從運(yùn)算視角出發(fā)，得到了其他數(shù)列. 先看等和數(shù)列，你能給等和數(shù)列下定義，并舉例加以說(shuō)明嗎？

生4：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，其遞推公式為a=a，a+a=c （c為常數(shù)）. 例如：4，－3，4，－3，…；1，，1，，….

師：等積數(shù)列的定義呢？

學(xué)生通過(guò)類(lèi)比等差數(shù)列和等和數(shù)列的定義，自然地引出了等積數(shù)列的概念，其遞推公式為a=a，a·a=c（c為常數(shù)）. 例如：5，，5，，…；1，0， 1，0，1，0，….

師：等和數(shù)列和等積數(shù)列均屬于周期數(shù)列，它們各自具有獨(dú)特的特性，但并非本節(jié)課的主要研究?jī)?nèi)容. 今天，我們將集中探討等比數(shù)列.

綜合上述探究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的定義及其遞推公式顯而易見(jiàn). 教師先讓學(xué)生表達(dá)對(duì)等比數(shù)列的理解，然后利用PPT呈現(xiàn)等比數(shù)列的定義.

設(shè)計(jì)意圖 在講授等比數(shù)列的定義時(shí)，多數(shù)教師傾向于從具體案例入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列中的每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之間的關(guān)系，通過(guò)與等差數(shù)列概念的類(lèi)比，得出等比數(shù)列的定義. 而在本節(jié)課的教學(xué)中，教師直接從等差數(shù)列的定義出發(fā)，通過(guò)運(yùn)算的類(lèi)比，自然而然地引出了其他數(shù)列的概念. 此外，通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生感受等和數(shù)列和等積數(shù)列的獨(dú)特性，認(rèn)識(shí)到等比數(shù)列的探究性更強(qiáng)，從而順利地過(guò)渡到等比數(shù)列的探索中.

2. 類(lèi)比探究，獲得新知

問(wèn)題3 類(lèi)比等差數(shù)列，如何用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示等比數(shù)列？

生5：=q.

師：這些參數(shù)有什么限制嗎？

生6：q≠0，n≥2，且n∈N*.

師：為什么q≠0？

生6：q=0無(wú)意義. 由等比數(shù)列的定義可知，其中不含0這一項(xiàng)，所以q≠0.

師：這里為什么要強(qiáng)調(diào)n≥2呢？

生7：因?yàn)橐獫M(mǎn)足n－1≥1，所以n≥2.

問(wèn)題4 類(lèi)比等差中項(xiàng)的概念，你能給出等比中項(xiàng)的概念嗎？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？

教師在課堂上點(diǎn)名，要求學(xué)生闡述等差中項(xiàng)的定義及其符號(hào)表示. 隨后，教師為學(xué)生安排一段時(shí)間，供他們通過(guò)類(lèi)比和歸納的方式，自行得出等比中項(xiàng)的概念：如果在a，b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 也就是說(shuō)，如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么=，即G2=ab，G=±.

師：等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)有何不同？

生8：等差中項(xiàng)只有一項(xiàng)，而等比中項(xiàng)有兩項(xiàng)，且互為相反數(shù).

師：如果G=±，可以說(shuō)G是a與b的等比中項(xiàng)嗎？

學(xué)生通過(guò)積極思考、爭(zhēng)辯，并列舉反例來(lái)闡釋?zhuān)喝鬭，G，b均為0，其滿(mǎn)足G=±，但a，G，b不能構(gòu)成等比數(shù)列.

師：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？

生9：不一定，這里根式必須有意義，即a，b的符號(hào)必須相同，則a，b才可能有等比中項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師以學(xué)生為中心，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作交流相結(jié)合的方式共同探究等比中項(xiàng)的概念. 這種教學(xué)方法能充分激發(fā)學(xué)生的主體性，提升他們的類(lèi)比探究能力. 同時(shí)，教師通過(guò)問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的思考與辨析，從而加深學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵的理解，并培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.

問(wèn)題5 在等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們主要運(yùn)用了哪幾種方法？與之相類(lèi)比，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？

問(wèn)題給出后，教師讓學(xué)生以小組為單位共同探究，然后分組展示.

生10：可以利用遞推法歸納等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：=q？圯a=aq，=q？圯a=aq=aq2，=q？圯a=aq=aq3，…，由此可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=aqn-1.

生11：還可以利用疊乘法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：=q，=q，=q，…，=q，=q，各式相乘得=qn-1，所以a=aqn-1.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)類(lèi)比推導(dǎo)得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，這不僅讓學(xué)生深刻體會(huì)到類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要性，而且引導(dǎo)他們逐步掌握自主學(xué)習(xí)的方法. 在推導(dǎo)過(guò)程中，教師未直接提供等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，而是鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比理解新舊知識(shí)之間的聯(lián)系. 這樣的學(xué)習(xí)方式有助于學(xué)生自然而然地形成解決問(wèn)題的策略，提升他們思維能力的發(fā)展.

3. 應(yīng)用練習(xí)，提升能力

例1 以下數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，求出其公比；如果不是，說(shuō)明理由.

（1）1，1，1，1；

（2）1，-1，1，-1；

（3）1，2，4，8；

（4）1，a，a2，a3；

（5）b，b，b，b.

題目給出后，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后點(diǎn)名學(xué)生給出答案.

生12：（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，其公比分別為1，-1，2. 對(duì)于第（4）個(gè)數(shù)列，若a≠0，則該數(shù)列是公比為a的等比數(shù)列；若a=0，則該數(shù)列不是等比數(shù)列. 第（5）個(gè)數(shù)列和第（4）個(gè)數(shù)列類(lèi)似，若b≠0，則該數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；若b=0，則該數(shù)列不是等比數(shù)列.

師：非常好，對(duì)于上述數(shù)列，是否有等差數(shù)列？

生13：有，第（1）個(gè)數(shù)列和第（5）個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列.

師：是否存在既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列呢？

生齊聲答：第（1）個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.

師：很好，你們還能列舉一些相似的例子嗎？觀察這些實(shí)例，它們具有怎樣的特征？

學(xué)生通過(guò)觀察和比較實(shí)例，最終達(dá)成共識(shí)：非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，其公差為0，公比為1.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)應(yīng)用知識(shí)和滲透分類(lèi)討論思想方法，可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)等比數(shù)列定義及其相關(guān)參數(shù)的理解. 在教學(xué)中，教師通過(guò)追問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，從而鞏固和加強(qiáng)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列和等差數(shù)列定義的理解，并提升他們發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力.

例2 在等比數(shù)列a中，已知a=12，a=18，求a，a.

生14：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為q，根據(jù)已知可得aq2=12①，aq3=18②. 由②÷①，得q=. 將q=代入①式，解得a=. 所以，a=aq=×=8.

設(shè)計(jì)意圖 例2涉及等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度適中. 學(xué)生運(yùn)用方程思想方法便能解決這個(gè)問(wèn)題. 通過(guò)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題目，可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，并進(jìn)一步提升他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理素養(yǎng).

例3 已知數(shù)列a滿(mǎn)足a=3，a+a=2，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.

問(wèn)題給出后，學(xué)生獨(dú)立求解. 結(jié)合前面的遞推經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠根據(jù)遞推公式計(jì)算出該數(shù)列的前幾項(xiàng)，并通過(guò)歸納和猜想，得出該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a=3（n為奇數(shù)，n∈N*），－1（n為偶數(shù)，n∈N*）.這種方法是眾多學(xué)生所青睞的. 為了拓展學(xué)生的視野并有效溝通不同數(shù)列之間的聯(lián)系，教師在此基礎(chǔ)上提出了一個(gè)啟發(fā)性問(wèn)題：能否通過(guò)構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列a相關(guān)的新數(shù)列，并利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的遞推公式來(lái)求解？這個(gè)問(wèn)題如同投入湖中的一顆石子，激起了學(xué)生思維的層層漣漪. 在教師的進(jìn)一步啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生又提出了以下兩種解題思路.

思路1 a=3，a－1=－（a－1），即數(shù)列a－1是以2為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列.所以，a－1=2·（－1）n-1，即a=2·（－1）n-1+1，n∈N*.

思路2 a=3，a－a=－（a－a），即數(shù)列a－a是以-4為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列. 所以，a－a=－4·（－1）n-1，即a=2·（－1）n-1+1，n∈N*.

設(shè)計(jì)意圖 啟發(fā)并指導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

教學(xué)思考

深度學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)教育發(fā)展的必然趨勢(shì)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)勇于摒棄傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教學(xué)方法，轉(zhuǎn)而以學(xué)生為中心，鼓勵(lì)他們通過(guò)自我批判性理解、知識(shí)遷移應(yīng)用和信息整合，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的深入理解，并推動(dòng)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展. 在具體實(shí)施過(guò)程中，教師應(yīng)從全局出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行聯(lián)想和建構(gòu)，從而將零散、碎片化的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建起一個(gè)完整的知識(shí)體系，并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力.

總之，深度學(xué)習(xí)不僅是一種學(xué)習(xí)策略，更是一種學(xué)習(xí)理念. 實(shí)施深度學(xué)習(xí)有利于突出學(xué)生的主體地位，促進(jìn)知識(shí)的深度加工和知識(shí)體系的構(gòu)建，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生能力與素養(yǎng)的提升.