［摘 要］ 在培育核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)秉持“以生為本”的教學(xué)理念，將發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力作為課堂教學(xué)的首要目標(biāo). 研究者借助一道函數(shù)題，從以下三方面展開教學(xué)：大數(shù)據(jù)揭露易錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題；診斷易錯(cuò)信息，發(fā)現(xiàn)理解偏差；發(fā)揮主體作用，增強(qiáng)解題理解.

［關(guān)鍵詞］ 以生為本；數(shù)學(xué)理解；函數(shù)

作者簡介：胡瀟（1991—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

隨著教育教學(xué)手段的革新，“以生為本”的教學(xué)理念已經(jīng)滲透在課堂的方方面面. 在高中數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的研究方興未艾. 教師應(yīng)立足學(xué)情、教情與考情，為學(xué)生提供充足的時(shí)間與空間，鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考、自主研究、合作交流和實(shí)踐探索的基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)理解能力，為培育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

什么是數(shù)學(xué)理解？從具體的數(shù)學(xué)問題來說，數(shù)學(xué)理解就是明確問題條件與結(jié)論，清晰地梳理從條件到結(jié)論的每一步邏輯和數(shù)據(jù)關(guān)系，并提煉與領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過程. 在實(shí)際教學(xué)中，部分教師在編制試卷時(shí)只關(guān)注考點(diǎn)的分布情況，卻忽略了對錯(cuò)題的整合，從而錯(cuò)失了評估學(xué)生糾正錯(cuò)誤效果的機(jī)會；在講評課上，也往往將注意力集中在如何清晰地講解錯(cuò)題上，卻忽視了遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和滿足他們真正的學(xué)習(xí)需求. 為了避免此類情況的重現(xiàn)，筆者進(jìn)行了深入的研究. 本文以一道函數(shù)題的教學(xué)為例，詳細(xì)探討如何基于“以生為本”的教學(xué)理念，有效地解決錯(cuò)題問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力.

教學(xué)簡錄

1. 大數(shù)據(jù)揭露易錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題

隨著信息技術(shù)的崛起，大數(shù)據(jù)為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了福音. 例如，智學(xué)網(wǎng)的應(yīng)用能夠迅速展示學(xué)生的易錯(cuò)題以及知識點(diǎn)的掌握情況. 為了了解學(xué)生對函數(shù)知識的掌握情況，筆者搜集了與函數(shù)相關(guān)的錯(cuò)題資源，并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力水平，設(shè)計(jì)了一道函數(shù)“摸底題”. 這旨在深入洞察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，為后續(xù)的復(fù)習(xí)和點(diǎn)評工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，從而實(shí)現(xiàn)有效的查漏補(bǔ)缺.

摸底題：已知函數(shù)f（x）=xlnx，a∈R.

（1）F（x）=在區(qū)間［a，2a］上的最大值是多少？

（2）證明：lnx>－，x∈（0，+∞）.

2. 診斷易錯(cuò)信息，發(fā)現(xiàn)理解偏差

通過分析學(xué)生的解題情況，發(fā)現(xiàn)了以下問題：①在解答第（1）問時(shí)，部分學(xué)生忽略了隱含條件a>0，并且缺乏繪圖和利用圖形解決問題的習(xí)慣. ②將“F（x）=在區(qū)間［a，2a］上”轉(zhuǎn)化成“f（x）在區(qū)間［a，2a］上”時(shí)，增加了分類討論的過程，其實(shí)這個(gè)過程不是必需的. ③關(guān)于第（2）問，部分學(xué)生直接忽略掉了第（1）問的解答結(jié)果，將“求證lnx>－，x∈（0，+∞）”的問題轉(zhuǎn)化成了“求證lnx－+>0，x∈（0，+∞）”的問題. 這種解題思路導(dǎo)致許多學(xué)生的思維陷入停滯，無法從真正意義上理解數(shù)學(xué).

3. 發(fā)揮主體作用，增強(qiáng)解題理解

一旦明確了學(xué)生的薄弱點(diǎn)，那么教學(xué)就有了方向. 針對學(xué)生的實(shí)際情況，可做如下預(yù)設(shè)：請兩名思路清晰、解題完整的學(xué)生到講臺上，分別講一講兩個(gè)小問的解答過程.

“摸底題”第（1）問的探索：

生1：F′（x）=（1+lnx），當(dāng)0<x<時(shí)，F(xiàn)′（x）<0；當(dāng)x>時(shí)，F(xiàn)′（x）>0. 因此，F(xiàn)（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為0，，單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞.

①當(dāng)2a≤，即a≤時(shí)，F(xiàn)（x）=F（a）=lna.

②當(dāng)a≥時(shí)，F(xiàn)（x）=F（2a）=2ln2a.

③當(dāng)<a<時(shí)，F(xiàn)（x）=max｛F（2a），F(xiàn)（a）｝，F(xiàn)（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 當(dāng)<a<時(shí)，根據(jù)F（2a）>F（a），可得F（x）=F（2a）=2ln2a；當(dāng)<a≤時(shí)，根據(jù)F（2a）≤F（a），可得F（x）=F（a）=lna.

綜上所述，F(xiàn)（x）=lnaa≤，2ln2aa>.

師：你們覺得這位同學(xué)的解答過程有沒有問題？

生2：導(dǎo)函數(shù)F′（x）=（1+lnx）的符號與a有關(guān).

師：關(guān)于這個(gè)問題，誰能給予補(bǔ)充？

生3：隱含條件a＞0隱藏在區(qū)間［a，2a］中，只要能夠挖掘出這個(gè)條件，問題便迎刃而解.

師：很好！還存在更簡便的解題方法嗎？

生4：關(guān)于最大值的求法可以進(jìn)一步優(yōu)化. 根據(jù)生1所得的函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖象可知：F（x）=max｛F（2a），F(xiàn)（a）｝，F(xiàn)（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 在a>的情況下，F(xiàn)（2a）>F（a），因此F（x）=F（2a）=2ln2a；在0<a≤的情況下，F(xiàn)（2a）≤F（a），因此F（x）=F（a）=lna. 所以，F(xiàn)（x）=lna0<a≤，2ln2aa>.

學(xué)生自主展示、點(diǎn)評與優(yōu)化，整個(gè)教學(xué)過程自然流暢，學(xué)生的思維充滿了張力. 顯然，教學(xué)成果超出了預(yù)期，預(yù)設(shè)目標(biāo)與實(shí)際生成內(nèi)容相輔相成，學(xué)生的思維在相互碰撞中得到了發(fā)展. 此時(shí)，筆者順應(yīng)學(xué)生的思維趨勢，提出了類似的訓(xùn)練題，起到鞏固知識和提升能力的作用.

訓(xùn)練題1：假設(shè)函數(shù)f（x）=a2lnx+ax－x2，a>0.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）分析所有實(shí)數(shù)a，讓e－1≤f（x）≤e2對x∈［1，e］成立.

“摸底題”第（2）問的探索：

生5：想要證明lnx>－（x∈（0，+∞）），只要證明xlnx>－（x∈（0，+∞））即可. 設(shè)f（x）=xlnx，則f′（x）=1+lnx. 當(dāng)0<x<時(shí)，f′（x）<0；當(dāng)x>時(shí)，f′（x）>0. 因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間分別為，+∞和0，. 所以，f（x）≥f=ln= －.令h（x）=－，則h′（x）=. 因此，h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間分別為（0，1）和（1，+∞）. 所以，h（x）≤h（1）=－. 綜上所述，xlnx>－，即lnx>－.

師：這是一種很不錯(cuò)的解法！同學(xué)們有沒有什么疑問？

生6：f（x）≥f=ln= －，h（x）≤h（1）=－. 不是應(yīng)該xlnx≥－，即lnx≥－嗎？而原題中待證的不等式卻沒有等號，這究竟是怎么回事呢？

生7：盡管不等式兩邊的函數(shù)均為同一個(gè)變量x，但它們?nèi)∽钪禃r(shí)，無法同時(shí)取到同一個(gè)x值.

對于這個(gè)說法，有些學(xué)生似懂非懂，為了進(jìn)一步深化學(xué)生的理解，筆者借助圖形進(jìn)行了解釋，使得所有學(xué)生恍然大悟——原來利用圖形可以說明一切問題. 筆者趁機(jī)融入數(shù)形結(jié)合思想，并引用華羅庚的名言“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀”，以此再傳遞數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生更深入地領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想，從而提升他們的數(shù)學(xué)理解能力.

為了進(jìn)一步加深學(xué)生的理解，幫助學(xué)生鞏固和提升知識，筆者又提供了兩道訓(xùn)練題.

訓(xùn)練題2：若函數(shù)f（x）=－x2+2ex－1+m，g（x）=+x（x>0），請嘗試明確m的取值范圍，讓函數(shù)f（x）的圖象位于g（x）的下方.

訓(xùn)練題3：如果函數(shù)f（x）=－x+ex－1，g（x）=－x2+2x－2，請證明g（x）的圖象必然位于f（x）圖象的下方.

4. 教學(xué)過程的評價(jià)

當(dāng)學(xué)生面臨解題挫折時(shí)，恰當(dāng)?shù)脑u價(jià)可力挽狂瀾，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，這是幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的重要策略. 基于筆者的引導(dǎo)與學(xué)生的自主探索，他們充分理解了函數(shù)圖象的“高低”：①f（x）>g（x）？圯函數(shù)f（x）的圖象恒位于函數(shù)g（x）的圖象的上方；②函數(shù)f（x）與g（x）的定義域是D，函數(shù)f（x）的值域是A，而函數(shù)g（x）的值域是B，且A∩B=？圯函數(shù)f（x）的圖象恒位于函數(shù)g（x）的圖象的上方或下方；③函數(shù)y=f（x），y=g（x），x∈D，F(xiàn)（x）=f（x）－g（x），函數(shù)f（x）的圖象位于函數(shù)g（x）的圖象的上方？圳函數(shù)F（x）>0對？坌x∈D成立.

通過探討簡單的一道題，學(xué)生不僅清晰掌握了處理此類題目的方法jxuzLbFYkdeYMp9bzklgRQ==，還深入理解了解決此類題目所必需的數(shù)學(xué)思想.

幾點(diǎn)思考

1. 大數(shù)據(jù)揭示錯(cuò)誤，生成教學(xué)問題

教育信息化隨著信息技術(shù)的崛起已經(jīng)普及到各門學(xué)科的教學(xué)中，利用好大數(shù)據(jù)的功能，不僅能充分分析每個(gè)學(xué)生的學(xué)情，還能發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍存在的共性問題以及薄弱點(diǎn). 利用大數(shù)據(jù)技術(shù)，可以在教學(xué)過程中有效地捕捉并篩選出學(xué)生的典型錯(cuò)誤. 通過對這些錯(cuò)誤題目的搜集和整合，能夠創(chuàng)建出具有明確針對性的例題，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

捕捉錯(cuò)誤資源，生成教學(xué)內(nèi)容后，教師可組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練、點(diǎn)評、反思和提煉，給予學(xué)生充足的自我剖析與感悟的時(shí)間與空間，從真正意義上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力. 例如本節(jié)課，筆者借助智學(xué)網(wǎng)提供的數(shù)據(jù)，針對學(xué)生在函數(shù)知識掌握上存在的錯(cuò)誤設(shè)計(jì)了一系列訓(xùn)練題，旨在從根本上幫助學(xué)生澄清概念、理清思路.

2. 營造教學(xué)環(huán)境，激活學(xué)生思維

在良好的教學(xué)環(huán)境中，學(xué)生通常能夠更加積極地投入到問題的探究之中，從而激活他們的思維，并推動課堂活動的生動發(fā)展. 正如常言道，授人以魚不如授人以漁. 教師將課堂的主導(dǎo)權(quán)轉(zhuǎn)移給學(xué)生，鼓勵(lì)他們自主合作并進(jìn)行展示，這不僅能促進(jìn)學(xué)生之間的思維碰撞，還能實(shí)現(xiàn)共鳴效應(yīng).

例如本節(jié)課，整個(gè)探索過程都以學(xué)生為主體，激勵(lì)他們主動闡述解題步驟，并通過積極的互動，逐步優(yōu)化解題方法，加深全體學(xué)生對解題步驟的理解，確保每位學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然，從而促進(jìn)思維的發(fā)展.

3. 給予充足的時(shí)間和空間，展示解題思路

創(chuàng)新意識是增強(qiáng)人才競爭力的核心要素，而培育學(xué)生的創(chuàng)新才能是時(shí)代對教師提出的重大使命. 為了激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，首先應(yīng)為他們提供充分的時(shí)間和空間，以便他們能夠自由地展現(xiàn)自己的創(chuàng)造力. 如果教師僅僅為了追求教學(xué)進(jìn)度，而直接向?qū)W生揭示結(jié)論，那么學(xué)生將錯(cuò)失探索和思考的機(jī)會，從而難以真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓.

教師在課堂上應(yīng)多創(chuàng)造機(jī)會，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，并展示一些優(yōu)秀的解題策略. 這樣做能顯著促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，使他們對解題步驟、解題方法和解題理念有更深刻的理解. 例如本節(jié)課，筆者邀請兩位學(xué)生分享他們的解題過程，并引導(dǎo)全班同學(xué)進(jìn)行討論. 這一做法不僅提升了學(xué)生的思維層次，還幫助他們對問題有了更清晰的認(rèn)識.

4. 教師適當(dāng)點(diǎn)撥，把握好教學(xué)方向

雖然學(xué)生是課堂的主體，但若完全將課堂交給學(xué)生，讓他們自主分析、講解解題過程，容易引發(fā)一些問題. 例如：①理解表淺，對錯(cuò)誤根源的揭露不夠明確；②對于同伴提出的疑問，無法給出合理的解釋；③分析、講解的要點(diǎn)不明確，淡化對通性通法的提煉，一味強(qiáng)調(diào)解題技巧.

鑒于此，課堂離不開教師的組織、引導(dǎo)與點(diǎn)撥. 以本節(jié)課為例，筆者從以下幾個(gè)方面著手引導(dǎo)學(xué)生：①課前借助大數(shù)據(jù)搜集錯(cuò)題資源，確定典型問題；②課堂上引導(dǎo)學(xué)生在寬松、民主的氛圍下從容地分析、講解解題思路，并在理性回歸的基礎(chǔ)上提煉數(shù)學(xué)思想方法，通過有效溝通，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解；③課后點(diǎn)撥和帶領(lǐng)學(xué)生及時(shí)反思，給予學(xué)生更多的信心與精神動力.

總之，立足“以生為本”的教學(xué)理念，在充分尊重學(xué)生個(gè)體差異的前提下，精選適當(dāng)?shù)腻e(cuò)題資源，通過典型例題激發(fā)學(xué)生的思維活力. 在師生、生生互動和交流中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，是新課程改革背景下數(shù)學(xué)教學(xué)的主要趨勢.