［摘 要］ 深度教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，使學(xué)生的思維在問題的解決中逐漸走向深處，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的達(dá)成.

［關(guān)鍵詞］ 深度教學(xué)；核心素養(yǎng)；深度學(xué)習(xí)

作者簡介：路建國（1971—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

隨著新課改的推進(jìn)，深度學(xué)習(xí)正逐漸成為課堂教學(xué)中的一個熱門概念. 然而，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，傳統(tǒng)的以教師講授為主的教學(xué)模式仍然普遍存在. 這種模式導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解僅停留在表層，從而妨礙了他們深入學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 在教學(xué)中，教師應(yīng)貫徹“以生為本”的教學(xué)理念，為學(xué)生搭建一個自我發(fā)展、自我完善的舞臺，引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識的建構(gòu)，讓學(xué)生獲得持久的學(xué)習(xí)動力，提升課堂教學(xué)質(zhì)量.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是高考的核心考點(diǎn). 本節(jié)課在學(xué)習(xí)直線與方程等知識后，進(jìn)一步深化了對解析幾何的理解. 在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生對方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識和應(yīng)用. 不僅為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線等更高級的幾何知識打下堅(jiān)實(shí)的知識和方法基礎(chǔ)，而且增強(qiáng)他們運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力. 此外，這也有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力與素養(yǎng)的提升.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析

圓的方程是圓錐曲線章節(jié)中的重要內(nèi)容之一，本節(jié)課的學(xué)習(xí)將為探索橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程提供思路. 在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)掌握了“直線與方程”以及“坐標(biāo)平面上的直線”等知識內(nèi)容，并且積累了一定的研究圓錐曲線的思想和方法. 在教學(xué)中，教師要重視研究學(xué)生、研究教學(xué)、研究教材，在“四個理解”的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在由淺入深、由易到難的問題的探索中理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)研究方法，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)全面提升.

2. 學(xué)情分析

高中生已經(jīng)具備一定的觀察、類比、歸納、表達(dá)等能力和素養(yǎng)，因此，在本節(jié)課教學(xué)中，教師應(yīng)“以師為主導(dǎo)，以生為主體”，鼓勵學(xué)生參與知識形成、發(fā)展、應(yīng)用等過程，促進(jìn)學(xué)生的知識與能力、情感與價值觀全面發(fā)展. 學(xué)生雖然掌握了一定的研究解析幾何問題的方法，不過接觸得不多，因此在應(yīng)用坐標(biāo)法研究圓的方程問題時可能會感到不適. 在教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的真實(shí)反饋，及時提供啟發(fā)和指導(dǎo)，從而調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，讓學(xué)生理解并掌握相關(guān)的研究方法，提高學(xué)習(xí)能力.

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圓的定義及幾何元素推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡單的問題；

（3）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力；

（4）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成、發(fā)展及應(yīng)用等過程，感悟數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的價值，提高學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng).

4. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用；

（2）運(yùn)用坐標(biāo)法研究圓的方程問題.

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題情境：公園欲在人工湖上建造一座圓拱橋，設(shè)計(jì)的剖面圖如圖1所示. 已知圓拱橋的跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，拱柱間隔為4 m，求拱柱AB的長度. （精確到0.01 m）

圖1

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師以學(xué)生熟悉的公園圓拱橋?yàn)檠芯勘尘埃瑔l(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，提高學(xué)生參與研究的積極性. 在引入階段，為了讓學(xué)生更好地感知圓，快速地引入課題，教師利用幾何畫板將圓拱橋補(bǔ)全為一個圓（如圖2所示），并讓學(xué)生通過小組合作探究的方式討論解題方案. 從學(xué)生交流反饋來看，有的學(xué)生提出可以添加輔助線，利用幾何方法求解問題；有的學(xué)生提出可以從代數(shù)的角度出發(fā)，通過建立平面直角坐標(biāo)系尋找解題的切入點(diǎn).學(xué)生探索的積極性被點(diǎn)燃.

2. 深入探究，獲得新知

問題1 圓的定義是什么？圓的幾何要素有哪些？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的定義及圓的幾何要素，啟發(fā)學(xué)生利用幾何方法來解決問題.

問題2 設(shè)圓心為C（a，b），圓的半徑為r，試推導(dǎo)該圓的方程.

問題給出后，教師啟發(fā)學(xué)生將圓置于平面直角坐標(biāo)系中研究，根據(jù)圓的定義尋找蘊(yùn)含其中的數(shù)量關(guān)系. 在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生通過互動交流給出了如下推導(dǎo)過程：

設(shè)點(diǎn)M（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則由圓的定義可知CM=r，所以CM==r，兩邊平方得（x－a）2+（y－b）2=r2.

由此可知，圓C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為方程（x－a）2+（y－b）2=r2的解；而方程（x－a）2+（y－b）2=r2的解所表示的點(diǎn)均在圓C上. 因此，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，順利地推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn). 為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圓的定義建立等量關(guān)系，推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 盡管圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)具有一定難度，但得益于先前知識的積累，這一過程變得相對容易掌握.

問題3 若給出圓心坐標(biāo)和半徑，你能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？反過來，若已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能寫出它的圓心坐標(biāo)和半徑嗎？

要求學(xué)生兩人一組進(jìn)行互動交流，以此深化學(xué)生對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，提高學(xué)生的語言表達(dá)能力.

問題4 方程（x+a）2+（y+b）2=m表示的是什么曲線？

問題4具有一定難度，主要考查學(xué)生對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度及分類討論意識. 在教學(xué)中，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后以小組為單位進(jìn)行合作探究. 教師一邊巡視，一邊給予啟發(fā)，并引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)：若m>0，則該方程表示以（－a，－b）為圓心，為半徑的圓；若m=0，則該方程表示一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（－a，－b）；若m<0，該方程無意義，不能表示任何曲線.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的問題，讓學(xué)生在問題的解決中體會方程與曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用代數(shù)方法來研究幾何問題. 在教學(xué)中，教師要提供時間和空間讓學(xué)生進(jìn)行互動交流，通過解決問題培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識，提高學(xué)生的辯證思維能力，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn).

3. 應(yīng)用舉例，鞏固提高

問題5 除了圓心和半徑外，還能由其他條件來確定一個圓嗎？

該問題是一個開放性問題，其答案不唯一，具有一定的探究性. 在探究中，教師應(yīng)堅(jiān)持“以生為本”，鼓勵學(xué)生合作學(xué)習(xí). 學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)給出了多種答案，有的學(xué)生提出根據(jù)圓的直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)可以確定一個圓；有的學(xué)生提出根據(jù)圓心及圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個圓；還有的學(xué)生提出不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個圓……學(xué)生積極地進(jìn)行交流和實(shí)踐，使得課堂氛圍充滿了活力.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，通過設(shè)計(jì)開放性問題來激發(fā)學(xué)生的潛能，使他們探索確定圓的方法的多樣性，從而培養(yǎng)他們的發(fā)散性和靈活性思維.

例1 （1）已知圓C的圓心坐標(biāo)為（3，4），且圓C過點(diǎn)M（1，－3），求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知圓C的圓心坐標(biāo)為（－1， 2），且與直線l：2x－3y－5=0相切，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（3）已知P（3，4），Q（－5，6）為圓C直徑的兩個端點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（4）已知A（7，1），B（－2，2），C（0，2）三點(diǎn)在圓C上，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 上述問題與問題5遙相呼應(yīng)，通過對實(shí)際問題的解決，加深學(xué)生的理解. 學(xué)生解題后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思?xì)w納，形成解題策略. 對于問題（1），已知圓心及圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個圓，該圓的半徑為圓心與圓上一點(diǎn)的距離；對于問題（2），已知圓心坐標(biāo)及圓的切線方程可以確定一個圓，該圓的半徑為圓心到切線的距離；對于問題（3），已知直徑的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)可以確定一個圓，其圓心為直徑兩個端點(diǎn)的中點(diǎn)，其半徑為直徑兩端點(diǎn)間的距離的一半. 對于問題（4），不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個圓，該圓的圓心位于由三個點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的三條中垂線的交點(diǎn)，其半徑為圓心與三點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離. 通過解決這四個問題，學(xué)生不僅驗(yàn)證了相應(yīng)結(jié)論，而且清晰地掌握了求解圓方程的方法.

例2 已知圓C的圓心在直線2x－y－7=0上，且與y軸相交于A（0，－4），B（0，－2）兩點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

該題可以利用待定系數(shù)法求解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2+（y－b）2=r2，根據(jù)已知可得2a－b－7=0，a2－（－4－b）2=r2，a2－（－2－b）2=r2.獲得方程組后，問題便迎刃而解.

設(shè)計(jì)意圖 在完成該題的求解后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧并思考：例1是否也可以運(yùn)用待定系數(shù)法來求解？通過一題多解的方式，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，并教會他們?nèi)绾卫脠A的標(biāo)準(zhǔn)方程來解決問題.

問題6 回歸課初時提出的問題，現(xiàn)在能計(jì)算出拱柱AB的長度了嗎？

該題的綜合性較強(qiáng)，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后鼓勵學(xué)生互動交流，逐步優(yōu)化解題策略. 從解題反饋來看（解題過程略），有的學(xué)生在建立平面直角坐標(biāo)系時遇到了難點(diǎn)，有的學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)了問題. 教師依據(jù)學(xué)生反饋的具體問題提供指導(dǎo)，協(xié)助學(xué)生消除了解題障礙，順利完成了解答.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回歸課初時提出的問題，鼓勵學(xué)生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，積累解題經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)“學(xué)以致用”教學(xué)目標(biāo)的落實(shí). 在解題后，教師預(yù)留時間供學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，從而把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成解決此類問題的基本策略.

4. 課堂小結(jié)，拓展延伸

問題7 通過上述問題的探究，你掌握了哪些知識？有何心得體會？

在此環(huán)節(jié)中，教師先讓學(xué)生從知識、經(jīng)驗(yàn)、方法等多方面進(jìn)行歸納總結(jié)，然后組織學(xué)生互動交流，以此促進(jìn)學(xué)生深化知識、積累經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他圓錐曲線提供了基本思路.

設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié)在課堂教學(xué)中必不可少，但要注意的是，教師切勿大包大攬，而應(yīng)提供機(jī)會讓學(xué)生自主進(jìn)行歸納總結(jié)，從而激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們持續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)在驅(qū)動力，并提升他們的數(shù)學(xué)綜合能力.

教學(xué)思考

圓是學(xué)生們較為熟悉的一個主題，他們在初中階段已經(jīng)對圓的基本屬性進(jìn)行了系統(tǒng)性的探究. 因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)他們的思維能力發(fā)展，并激發(fā)深入學(xué)習(xí)的興趣.

1. 以生為主體，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、提煉數(shù)學(xué)方法和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的舞臺. 在課堂教學(xué)中，教師要以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點(diǎn)，為學(xué)生打造一個平等、充滿探究精神、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，以此激發(fā)學(xué)生的主體意識，引導(dǎo)學(xué)生主動思考和主動建構(gòu)，逐步發(fā)展個體自主學(xué)習(xí)能力. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師并未采取灌輸式教學(xué)，而是根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，設(shè)計(jì)了多個貼合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題. 教師將探索和解決問題的主動權(quán)交予學(xué)生，讓學(xué)生在思考與交流的過程中吸收新知識，掌握新方法.

2. 以師為主導(dǎo)，提升教學(xué)效率和質(zhì)量

教師作為課堂教學(xué)的啟發(fā)者、點(diǎn)撥者和組織者，其在課堂教學(xué)中的地位和作用是無法被替代的. 在教學(xué)中，教師既要充分地預(yù)設(shè)教學(xué)方案，又要及時捕捉課堂生成，通過啟發(fā)和引導(dǎo)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，提升教學(xué)質(zhì)量. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師以學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考和合作探究相結(jié)合的方式獲得圓的方程. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生探索確定圓的方法，突破了僅通過圓心和半徑確定圓的局限，激發(fā)了思維的多樣性，并將課堂教學(xué)推向了高潮. 另外，在解題過程中，教師啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用不同方法解決問題，以此通過知識的橫向拓展和縱向延伸逐漸優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為新知應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 關(guān)注學(xué)習(xí)過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

眾所周知，學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育是一個長期的過程. 因此，教師切忌急于求成，而應(yīng)適時放緩教學(xué)節(jié)奏，為學(xué)生提供充分的思考、探索、歸納、反思和總結(jié)的時間與空間. 這樣，學(xué)生才能逐步完善自身的知識體系，并提升自主學(xué)習(xí)能力. 例如，本節(jié)課教學(xué)以問題為主線，以探究活動為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圓的標(biāo)準(zhǔn)方程生成和應(yīng)用等過程，從而提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力與素養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷新知探索、深化、應(yīng)用等過程，以此讓學(xué)生深刻理解知識的同時，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn).