［摘 要］ 提高學(xué)生解題能力和思維能力是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的重要任務(wù). 在具體實(shí)施過(guò)程中，教師應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為出發(fā)點(diǎn)，重視展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生反思解題方法的必然性，并揭示解題的一般方法，從而提高復(fù)習(xí)教學(xué)的效果.

［關(guān)鍵詞］ 解題能力；思維能力；思維過(guò)程

作者簡(jiǎn)介：徐歡（1982—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲南京市教學(xué)先進(jìn)個(gè)人稱(chēng)號(hào).

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了提高學(xué)生的成績(jī)，大多數(shù)教師追求試題的“難、新、多”，這不僅會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且會(huì)影響學(xué)生的解題信心，不利于學(xué)生提升解題能力. 其實(shí)，高考主要考查的是基礎(chǔ)知識(shí)和基本經(jīng)驗(yàn)，因此在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)從典型的基礎(chǔ)題入手，充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況制定有效的教學(xué)策略，以此通過(guò)有效的啟發(fā)和指導(dǎo)幫助學(xué)生消除思維障礙，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 筆者在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“基本不等式”時(shí)，以對(duì)話(huà)的方式展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，取得了較好的教學(xué)效果，現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)給大家，供參考.

教學(xué)背景

基本不等式是高考的重要考點(diǎn). 在新知教學(xué)中已經(jīng)對(duì)基本不等式進(jìn)行了詳細(xì)講解，并進(jìn)行了典型且重點(diǎn)的練習(xí). 然而，從模擬考試的結(jié)果來(lái)看，解題效果并未達(dá)到預(yù)期目標(biāo). 基于此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是帶領(lǐng)學(xué)生解決含兩個(gè)參數(shù)的最值問(wèn)題，以期通過(guò)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高學(xué)生舉一反三的能力. 在具體教學(xué)實(shí)施中，教師將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，重視展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，以此通過(guò)有效的交流揭示解法背后的“秘密”，讓學(xué)生領(lǐng)悟解決此類(lèi)問(wèn)題的通性通法，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力.

教學(xué)過(guò)程

1. 巧借錯(cuò)誤，引發(fā)探究

例題 若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+y=1，求+的最小值.

例題提出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，并投影展示學(xué)生的解題過(guò)程.

師：我們一起看一看，以下解法是否正確呢？

因?yàn)閤>0，y>0，所以x+y≥2，即≤.

又+≥2≥12，所以+的最小值是12.

生1：以上解法有問(wèn)題，這里用了兩次基本不等式，第一次的取等條件為x=y，第二次的取等條件為9x=y. 又x，y均為正數(shù)，顯然兩次等號(hào)不能同時(shí)成立，所以最后的12取不到. （生1分析完解題過(guò)程后，運(yùn)用上述解法解題的學(xué)生恍然大悟.）

師：分析得非常好，我們利用基本不等式解決最值問(wèn)題時(shí)切勿忽視取等條件. 看來(lái)以上解法行不通，那么，該題我們應(yīng)該如何解決呢？

生2：因?yàn)閤+y=1，所以+=+=10++≥10+2≥16，當(dāng)且僅當(dāng)3x=y=時(shí)取等號(hào).

師：非常好，你是如何想到的呢？

生2：偶然想到的.

師：大家說(shuō)一說(shuō)例題待求的是什么？已知是什么？

生3：待求的是“+的最小值”，已知“x，y為正數(shù)，且滿(mǎn)足x+y=1”.

師：很好，它們之間存在怎樣的差異呢？（學(xué)生沉思）

師：它們的次數(shù)是否一致呢？（教師提醒）

生4：x+y=1是一次式，+是負(fù)一次式.

師：很好，如何消除差異呢？

生5：將+乘上“x+y”就可以使其次數(shù)上升，又x+y=1，這樣相乘后不會(huì)改變式子的值.

師：非常好，這樣通過(guò)尋找差異、消除差異，我們就發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含其中的“秘密”. 你們還有其他解題方法嗎？

生6：我是利用消元法求解的. 將x+y=1變形得y=1－x，所以+=+=. 令1+8x=t（t>1），則原式=. 又t>0，所以t+≥6. 所以，≥16.當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，即x=時(shí)取等號(hào).

師：很好，通過(guò)消元將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題. 求函數(shù)最值的方法眾多，這為解決基本不等式問(wèn)題帶來(lái)了很多便利. 那么，以上兩種解法各自具備什么優(yōu)勢(shì)呢？

生7：基本不等式法計(jì)算量小，但要考慮“一正、二定、三相等”；消元法計(jì)算量大，不過(guò)求函數(shù)最值的方法眾多.

教學(xué)評(píng)析 在教學(xué)中，教師精心挑選典型例題讓學(xué)生獨(dú)立求解，以此了解學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的掌握情況，從而為接下來(lái)的教學(xué)策略制定提供依據(jù). 在此過(guò)程中，教師以學(xué)生的典型錯(cuò)誤入手，先是帶領(lǐng)學(xué)生分析錯(cuò)因，然后提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生自主尋找解題方案，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性和主動(dòng)性，優(yōu)化學(xué)生的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn). 另外，教師鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同方法解題，并引導(dǎo)學(xué)生剖析不同解法，使學(xué)生充分感知不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性.

2. 變式拓展

師：現(xiàn)在，我們來(lái)看一下接下來(lái)的兩道題該如何求解.

變式題1：若正數(shù)x，y滿(mǎn)足2x+y=xy，求x+y的最小值.

變式題2：已知a>0，b>0，且2a+b=1，求+的最小值.

題目給出后，教師首先啟發(fā)學(xué)生思考以下5個(gè)問(wèn)題：（1）待求的是什么？（2）已知條件是什么？（3）它們之間有何不同？（4）如何轉(zhuǎn)化？（5）等號(hào)成立的條件是什么？

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，變式題1該如何求解？

生8：“x+y”的最高次數(shù)是1，“2x+y=xy”的最高次數(shù)是2，可見(jiàn)它們的差異還是在次數(shù)上. 對(duì)于2x+y=xy，左右兩邊同時(shí)除以xy，可得+=1. 通過(guò)相乘，我們可以找到齊次式，即x+y=（x+y）+=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)y=x時(shí)取等號(hào).

師：很好，通過(guò)簡(jiǎn)單變形已知等式，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，順利地解決了問(wèn)題. 現(xiàn)在，我們繼續(xù)來(lái)看變式題2，結(jié)合思考的5個(gè)問(wèn)題，你們想到了什么？

生9：將b=1－2a代入+，得到+－2，這樣轉(zhuǎn)化后，就與前面的兩題一樣了.

師：你是怎么想的呢？

生9：因?yàn)榕c的次數(shù)不齊，所以就想到利用已知條件轉(zhuǎn)化+，就得到了前面的結(jié)果.

師：很好. 大家總結(jié)一下，我們解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是什么呢？

生齊聲答：尋找差異，消除差異.

教學(xué)評(píng)析 為了凸顯上述問(wèn)題的本質(zhì)，幫助學(xué)生尋找解決此類(lèi)問(wèn)題的通法，教師精心設(shè)計(jì)了變式問(wèn)題，以此讓學(xué)生在變化中領(lǐng)悟不變的本質(zhì)，提高學(xué)生舉一反三的能力. 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考5個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，這不僅使學(xué)生的解題思路更加條理化，而且有效地促進(jìn)他們思維能力的提升.

3. 課堂小結(jié)

師：今天，我們重點(diǎn)復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？

在該環(huán)節(jié)中，教師鼓勵(lì)學(xué)生積極分享自己的思考和收獲，通過(guò)互動(dòng)交流來(lái)深化對(duì)基本不等式的理解，并增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心.

教學(xué)評(píng)析 課末，教師安排一段時(shí)間供學(xué)生思考自己掌握了哪些內(nèi)容，還存在哪些問(wèn)題，以便學(xué)生更深入地了解自身情況，從而進(jìn)一步提升和完善自我，提高解題技能.

教學(xué)思考

對(duì)于高考試題，許多學(xué)生用“難、新、怪”來(lái)評(píng)價(jià)，但是考后分析卻發(fā)現(xiàn)，其實(shí)高考重點(diǎn)考查的就是基礎(chǔ)題. 學(xué)生之所以感覺(jué)“難、新、怪”，是因?yàn)樵谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中既未認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，也沒(méi)有掌握解決問(wèn)題的通法. 當(dāng)題目略加變化時(shí)，就顯得不知所措. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重通性通法的講解，以切實(shí)提升學(xué)生的解題技能.

在本節(jié)課復(fù)習(xí)中，教師利用對(duì)話(huà)的方式，充分了解了學(xué)生的思維過(guò)程和真實(shí)想法，進(jìn)而為“教什么”“如何教”提供了依據(jù). 教師先是呈現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)解，然后讓學(xué)生自主分析“錯(cuò)在哪里”，引導(dǎo)學(xué)生尋找到真正的錯(cuò)因，進(jìn)而有效避免重蹈覆轍. 隨后，教師給出變式題供學(xué)生深入研究，并通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考解題的通性通法. 這樣，最終實(shí)現(xiàn)“掌握一題，通曉一類(lèi)題”的效果. 相信通過(guò)本節(jié)課的專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，當(dāng)學(xué)生再解決此類(lèi)含兩個(gè)參數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，一定可以得心應(yīng)手.