［摘 要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)，深入思考學(xué)習(xí)方法，以增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)能力和思維能力，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 文章以一個(gè)典型的橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題為例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比的方式深入探索橢圓與圓的性質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與差異，以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析以及解決問(wèn)題的能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)能力；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；類比

作者簡(jiǎn)介：周章權(quán)（1977—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.

數(shù)學(xué)是一門鍛煉思維的學(xué)科，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有助于學(xué)生培養(yǎng)思考能力. 但是，倘若教師僅僅傳授知識(shí)，而不提供思考的機(jī)會(huì)，教學(xué)過(guò)程將變得被動(dòng)、效率低下且乏味. 關(guān)鍵在于，學(xué)生最終可能會(huì)遺忘那些知識(shí)點(diǎn)，而數(shù)學(xué)思維能力卻能夠得以保留. 本文通過(guò)探討一個(gè)橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題，闡述如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考.

案例呈現(xiàn)

例題 如圖1所示，已知橢圓方程為+=1，點(diǎn)P（1，1）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓相交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，求直線l的方程.

圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題既是解析幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱門考點(diǎn)，是一個(gè)值得深入探索的問(wèn)題. 該類問(wèn)題的解法多樣，可以很好地考查學(xué)生的綜合能力. 在本課例教學(xué)中，教師以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多元探究提煉解題方法、提升解題思維，積累解題經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生探究能力和思維能力的發(fā)展.

解法探究

例題是直線與橢圓的相交問(wèn)題，解法多樣. 在教學(xué)中，教師首先讓學(xué)生獨(dú)立求解. 從學(xué)生的反饋來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生采用點(diǎn)差法和韋達(dá)定理法解得直線l的方程為2x+3y－5=0.

師：大家剛剛通過(guò)點(diǎn)差法和韋達(dá)定理法順利地解決了問(wèn)題. 除了這兩種方法外，你們還有其他方法嗎？（學(xué)生沉思）

師：該題除了從曲線中點(diǎn)弦的角度去分析，我們還可以將其看成什么問(wèn)題呢？

生1：還可以看成點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題.

師：非常棒的發(fā)現(xiàn). 若從點(diǎn)對(duì)稱的角度去考慮，有沒(méi)有其他辦法來(lái)求解呢？

生2：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2－x，2－y）. 因?yàn)锳，B均是橢圓上的點(diǎn)，所以+=1，+=1.兩式作差，整理得2x+3y－5=0，所以直線l的方程為2x+3y－5=0.

師：哦，為什么這樣求得的方程就是直線l的方程呢？

生2：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x，y）和（x，y），則+=1，+=1，兩式相減得2x+3y－5=0. 同理可得2x+3y－5=0. 所以，點(diǎn)A，B均在直線2x+3y－5=0上，可知直線l的方程為2x+3y－5=0.

師：這個(gè)解法與我們解決兩圓交點(diǎn)弦問(wèn)題所用的方法是否類似？

學(xué)生覺(jué)得類似.

教學(xué)說(shuō)明 在教學(xué)中，教師安排充足的時(shí)間供學(xué)生深入思考、相互交流，并歸納總結(jié)解決此類問(wèn)題的通用方法. 這樣的做法旨在提高學(xué)生的解題技能，并有效提升解題效率. 另外，教師鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用多種方法求解，這樣既能幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能幫助學(xué)生將相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，促進(jìn)知識(shí)體系的完善和解題能力的提升.

拓展研究

在教學(xué)中，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生反思回顧，并啟發(fā)學(xué)生思考直線l的斜率，發(fā)現(xiàn)斜率為定值，由此引發(fā)一般探究.

探究1 在橢圓內(nèi)，若點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，則k·k的值是否為定值呢？如果是，你能求出定值嗎？

問(wèn)題提出后，教師給予學(xué)生一段時(shí)間進(jìn)行思考和討論. 在此過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓相交弦問(wèn)題的處理方法與圓相交弦問(wèn)題的處理方法之間的聯(lián)系. 這一過(guò)程旨在激活學(xué)生的先前知識(shí)，增強(qiáng)他們解決問(wèn)題的信心.

生3：在相交弦問(wèn)題上，橢圓和圓的處理方法是一致的，因此可以借助圓的中點(diǎn)弦的研究經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題.

師：很好，現(xiàn)在我們一起來(lái)回顧一下圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題. 想一想，圓的中點(diǎn)弦有何性質(zhì)？

生4：垂徑定理.

師：由圓到橢圓相當(dāng)于將圓“壓扁”的過(guò)程，在此過(guò)程中，圓內(nèi)的一些線、角也被“壓扁”了. 結(jié)合這個(gè)變化過(guò)程，你想到了什么？得到了什么猜想？

生5：如圖2所示，在圓內(nèi)，已知點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知OP⊥AB，所以k·k=－1，即k·k是定值. 由此猜想：如圖3所示，在橢圓內(nèi)，若點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，則k·k是定值.

師：該猜想是否成立呢？該如何證明呢？

在此環(huán)節(jié)中，教師沒(méi)有直接給出結(jié)論和證明過(guò)程，而是將探究的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，讓學(xué)生以小組為單位共同探究證明方法.

生6：如圖3所示，不妨設(shè)橢圓的方程為+=1（a>b>0），A（x，y），B（x，y），P（x，y），則x+x=2x，y+y=2y，+=1，+=1.兩式作差后整理可得+=0，即+=0，所以+=0，即k·k=－.

師：非常好，思路清晰，運(yùn)算準(zhǔn)確. 現(xiàn)在我們回頭看例題，你們有何發(fā)現(xiàn)？

生7：有了這一結(jié)論，就可以先求出直線l的斜率，然后利用點(diǎn)斜式來(lái)求直線l的方程了.

師：很好，請(qǐng)大家按照生7的思路嘗試求解例題.

生8：根據(jù)已知易得k=1，因?yàn)閗·k=－，所以k=－. 又直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），所以直線l的方程為y－1=－（x－1），即2x+3y－5=0.

教學(xué)說(shuō)明 通過(guò)觀察、分析例題的求解過(guò)程，發(fā)現(xiàn)直線l的斜率為定值，由此開啟了一般結(jié)論的探究. 在探究過(guò)程中，教師啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系圓的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題和猜想. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師充分發(fā)揮小組合作的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)協(xié)作與交流來(lái)歸納和總結(jié)，從而提升他們的數(shù)學(xué)抽象思維能力. 在得出結(jié)論后，教師引導(dǎo)學(xué)生將這些結(jié)論應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，從而讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

探究2 在橢圓+=1（a>b>0）中，點(diǎn)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且異于A，B兩點(diǎn)，試探究k·k是否為定值.

師：通過(guò)剛才的探究，我們發(fā)現(xiàn)圓和橢圓的一些性質(zhì)是相通的，除了垂徑定理外，兩者還有什么可以類比的性質(zhì)嗎？

生9：圓的直徑所對(duì)的圓周角為90°，也就是說(shuō)，圓上的任意動(dòng)點(diǎn)P（異于A，B兩點(diǎn)）與直徑AB兩端點(diǎn)的連線的斜率之積為－1. 如圖4所示，在圓內(nèi)，k·k=－1. 若將圓改成橢圓，則橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)類似圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn). 因此，我得到以下猜想：若點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)（異于橢圓長(zhǎng)軸的A，B兩個(gè)端點(diǎn)），則k·k為定值.

師：利用圓內(nèi)的又一垂直關(guān)系得到了關(guān)于橢圓的又一猜想，那么該猜想是否成立呢？

學(xué)生通過(guò)合作探究，證明k·k是定值，且k·k=－.

探究3 如果將探究2改一改，即將長(zhǎng)軸改為過(guò)橢圓中心的任意一條弦，此時(shí)k·k是否為定值呢？

生10：在圓內(nèi)，任意一條直徑所對(duì)的圓周角均為90°，顯然在圓內(nèi)，該直徑的兩個(gè)端點(diǎn)不局限于在x軸上. 由此可以得到這樣的猜想：在橢圓+=1（a>b>0）內(nèi)，已知AB是過(guò)橢圓中心的一條弦，點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），則k·k是定值.

師：是一個(gè)非常棒的猜想，那么該猜想是否成立呢？

生11：設(shè)A（m，n），則B（－m，－n），n2=b2－m2. 令P（x，y），則y2=b2－x2，k·k=·==－·=－.

教學(xué)說(shuō)明 探究3在探究2的基礎(chǔ)上進(jìn)行了擴(kuò)展，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的猜想與驗(yàn)證過(guò)程，從而得出關(guān)于橢圓的又一重要結(jié)論. 經(jīng)過(guò)上述探究過(guò)程，圓與橢圓之間的聯(lián)系得到了進(jìn)一步強(qiáng)化，使學(xué)生深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，并領(lǐng)悟到特殊與一般數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)研究中的重要價(jià)值. 這有助于提升學(xué)生的類比聯(lián)想能力和邏輯推理能力.

探究4 為什么圓的性質(zhì)能在橢圓中得到發(fā)展呢？

師：經(jīng)過(guò)剛才的探究，我們可以清晰地看到，圓的性質(zhì)是推導(dǎo)出關(guān)于橢圓結(jié)論的“源泉”. 為什么可以這樣類比呢？有沒(méi)有什么依據(jù)？

生12：若對(duì)橢圓進(jìn)行拉伸，它將逐漸趨近于圓. 反之，若對(duì)圓施加擠壓，圓亦可轉(zhuǎn)變?yōu)闄E圓. 運(yùn)用極限思維去構(gòu)想，我們不難發(fā)現(xiàn)橢圓與圓在本質(zhì)上具有相似性，因此它們之間存在可比性.

師：分析得很有道理. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要善于將一些相似或相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行對(duì)比聯(lián)想，這樣往往可以化難為易、化陌生為熟悉、化繁為簡(jiǎn).

師：剛才生12是從圖形變化的角度來(lái)分析的，如果從代數(shù)的角度來(lái)思考，你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（教師先讓學(xué)生合作交流，然后給出實(shí)例讓學(xué)生對(duì)比分析.）

師：在圓x2+y2=4中，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，求所得曲線的方程，并說(shuō)明它是什么曲線.

生13：設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），則x′=x，y′=2y.因?yàn)閤2+y2=4，所以x2+4y2=4，即+y2=1，所以該曲線的方程為+y2=1. 該曲線為橢圓.

師：很好，通過(guò)這個(gè)典型例題的求解，我們易于發(fā)現(xiàn)，可以將圓擠壓變換成橢圓. 接下來(lái)，你們能夠給出一道實(shí)例，呈現(xiàn)通過(guò)拉伸將橢圓變換成圓的過(guò)程嗎？

生14：對(duì)于橢圓+=1（a>b>0），作變換φ：x′=，y′=，得到圓x′2+y′2=1.

師：非常好. 結(jié)合以上發(fā)現(xiàn)，你們能重新證明探究3嗎？

（學(xué)生積極思考，嘗試運(yùn)用作變換的思路進(jìn)行證明，很快形成了完整的證明思路.）

生15：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y），在變換φ下得點(diǎn)P′（x′，y′）；點(diǎn)A（x，y），B（－x，－y）在變換φ下分別得A（x′，y′），B（－x′，－y′）. 又A′P′⊥B′P′，所以kA′P′·kB′P′=-1，即==·=·k·k=－1. 所以，k·k=－.

師：非常好，通過(guò)研究從圓到橢圓的變換過(guò)程，我們同樣能夠驗(yàn)證前述結(jié)論. 通過(guò)類比研究，我們不難理解：之所以能借助圓的性質(zhì)來(lái)探究橢圓的性質(zhì)，是因?yàn)閳A和橢圓在伸縮變換的影響下，能夠?qū)崿F(xiàn)彼此之間的變換. 如果以后遇到難以理解的橢圓問(wèn)題時(shí)，不妨嘗試將橢圓變換為圓，利用對(duì)圓的理解來(lái)探究橢圓問(wèn)題. 這種方法有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題，使其更易于理解和處理，從而有效提升解題效率.

教學(xué)說(shuō)明 為了讓學(xué)生深刻地體會(huì)這種伸縮變換，教師既要引導(dǎo)學(xué)生從幾何的角度去觀察，也要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度去思考，通過(guò)“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力. 在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生充分體會(huì)通過(guò)類比圓的性質(zhì)來(lái)研究橢圓性質(zhì)的科學(xué)性、合理性，充分感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，充分領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的重要價(jià)值. 在上述探究活動(dòng)中，教師貫徹“以生為本”的教學(xué)理念，為學(xué)生提供了充足的時(shí)間進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與課堂的積極性，拓寬了學(xué)生的視野，促進(jìn)了生本課堂的建構(gòu).

教學(xué)思考

解題教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是教會(huì)學(xué)生如何解題，更重要的是提升他們提出問(wèn)題的能力. 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題的解決途徑，幫助他們揭示解題中所蘊(yùn)含的一般方法和結(jié)論. 這樣的教學(xué)方式旨在增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的技能，進(jìn)而提升他們的數(shù)學(xué)思維能力. 在本節(jié)課教學(xué)中，如果僅僅停留在“就題論題”的層面，而不引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去提問(wèn)、去探究，那么課堂教學(xué)將錯(cuò)失許多精彩. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行思考和交流，激發(fā)他們的思維碰撞，使他們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去思考和解決問(wèn)題，切實(shí)提高綜合能力和綜合素養(yǎng).