［摘 要］ 優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅應(yīng)聚焦于知識的習得，還應(yīng)重視能力的增強以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育. 文章以探索知識為明線，以滲透思想方法為暗線，精心設(shè)計問題，激發(fā)學(xué)生主動探究橢圓的幾何性質(zhì)，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面，取得了顯著成效，實現(xiàn)了真正意義上的有效教學(xué)與高效教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；有效教學(xué)；高效教學(xué)

作者簡介：王友福（1982—），中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)與研究工作.

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與研究越來越受到專家、學(xué)者和一線教師的關(guān)注. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）明確提出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析. 一般認為，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性等特征. 它是一個長期積累的過程，需要落實到數(shù)學(xué)實踐中［1］. 在實踐教學(xué)中，教師應(yīng)重視開展探究式教學(xué)模式，給予學(xué)生足夠的時間和空間去操作、發(fā)現(xiàn)、思考、交流、歸納和反思. 通過這種方式，學(xué)生不僅能夠掌握知識，還能學(xué)會學(xué)習方法，提高自身的綜合素養(yǎng). 這有助于學(xué)生的長期發(fā)展和終身學(xué)習，確保數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得以在心中扎根. 在教學(xué)“橢圓的幾何性質(zhì)”時，筆者通過設(shè)計問題來引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用代數(shù)方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質(zhì). 這種方法在增強學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面取得了一定成效. 現(xiàn)在，筆者將這一教學(xué)設(shè)計過程整理成文，以供大家參考.

教學(xué)設(shè)計過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1 上節(jié)課我們主要學(xué)習了哪些知識內(nèi)容？

追問：如果讓你畫橢圓，你會嗎？

師生活動：教師預(yù)留時間先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所學(xué)的知識、思想和方法，然后引導(dǎo)各小組畫橢圓，并展示學(xué)生的作品，從而為接下來學(xué)生自主研究橢圓的性質(zhì)做準備. 學(xué)習橢圓的幾何性質(zhì)，需要學(xué)生在大腦中構(gòu)建起橢圓的表象，作為思維加工的對象. 這里所說的橢圓不只是橢圓本身，還包括畫橢圓的過程. 因為在畫橢圓的過程中，學(xué)生通常會借助具體的體驗來認識和理解橢圓的一些基本特征，例如橢圓上的點到兩個定點的距離之和為定值. 這些認識和理解，為深入探究橢圓的幾何性質(zhì)提供了堅實的基礎(chǔ).

問題2 請以小組為單位，觀察并對比所畫的橢圓，談?wù)勀銈兊陌l(fā)現(xiàn).

師生活動：學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)不同橢圓的扁平程度不同；不同大小、不同形狀的橢圓對折后，其上下、左右可以完全重合.

設(shè)計意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的定義、標準方程等基礎(chǔ)知識，并創(chuàng)造機會讓學(xué)生動手操作，以便他們通過直觀觀察來理解橢圓的幾何特征，從而自然而然地引入新知. 同時，通過親自動手實踐，為新知的研究創(chuàng)造了一個平等和諧的交流氛圍，有效激發(fā)了學(xué)生的探索欲望. 值得一提的是，學(xué)生在畫橢圓的過程中所發(fā)現(xiàn)的“不同橢圓的扁平程度不同”，起初僅是他們的直觀感知. 要將這種直觀感知轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達，需要學(xué)生在畫橢圓的過程中，利用形成的視覺表象，通過數(shù)學(xué)推理來導(dǎo)出結(jié)論. 這一過程是后續(xù)深入探究的關(guān)鍵基礎(chǔ).

2. 問題驅(qū)動，探索新知

問題3 我們是如何推導(dǎo)橢圓標準方程的？我們?yōu)槭裁匆茖?dǎo)橢圓的標準方程？

師生活動：橢圓標準方程的推導(dǎo)是上節(jié)課的重點內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生可以清晰、準確地給出相關(guān)步驟及兩種形式的標準方程. 對于為什么推導(dǎo)，學(xué)生難以表達，此時教師需要提供啟發(fā)和指導(dǎo).

設(shè)計意圖 在鞏固知識、思想方法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生學(xué)會用代數(shù)方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質(zhì).

環(huán)節(jié)1 對稱性.

問題4 通過畫橢圓、觀察橢圓，我們已經(jīng)知曉橢圓是對稱圖形. 若從代數(shù)的角度來看，如何通過橢圓的標準方程來探究其對稱性？

追問：如果是曲線方程呢？如何研究它的對稱性？

師生活動：為了讓學(xué)生更好地體會橢圓的對稱性，教師啟發(fā)學(xué)生在橢圓+=1（a>b>0）上任取一點P（x，y），分別求出點P關(guān)于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標，最后判斷這些對稱點是否在橢圓上.

設(shè)計意圖 在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，從數(shù)的角度分析橢圓的對稱性，以此加深學(xué)生對橢圓對稱性的理解，提高學(xué)生的分析和推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 其中，問題4至關(guān)重要，因為它引導(dǎo)學(xué)生的思維從“形”轉(zhuǎn)向“數(shù)”，這表明學(xué)生在大腦中構(gòu)建的橢圓表象，需要在更深層次的抽象和推理過程中，利用精確的數(shù)學(xué)語言來闡述其特征. 因此，從問題4出發(fā)，后續(xù)的邏輯推理正是通過運用“對稱性”原理來完成的. 在教學(xué)中，教師應(yīng)充分運用“對稱性”這一特征，引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)展. 此外，這種思維方式的構(gòu)建，對于深入探究橢圓等幾何圖形的其他性質(zhì)，同樣具有積極的促進作用.

環(huán)節(jié)2 頂點.

問題5 以橢圓+=1（a>b>0）為例，坐標軸除了是橢圓的對稱軸外，其與橢圓還有其他關(guān)系嗎？橢圓與坐標軸有交點嗎？如果有，你能求出交點的坐標嗎？

師生活動：學(xué)生運用他們所掌握的知識和經(jīng)驗，成功解決了上述問題. 在此基礎(chǔ)上，教師引入橢圓頂點、長軸、短軸等概念，并詳細闡述橢圓標準方程中參數(shù)a和b的幾何意義.

設(shè)計意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生在分析和解決問題的過程中構(gòu)建橢圓頂點的概念，掌握求橢圓頂點的方法，從而提高學(xué)生運用代數(shù)方法研究幾何問題的能力. 這個過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，與新課標對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的定義相呼應(yīng)，涵蓋了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等過程. 這里需要指出的是，橢圓頂點概念的構(gòu)建，本質(zhì)上是通過橢圓的標準方程在平面直角坐標系中展示頂點的位置特征，這是橢圓的幾何性質(zhì)的一個重要體現(xiàn). 在探索過程中，學(xué)生常常會形成一些雖然簡單但相對準確的理解. 例如，有學(xué)生提出：“橢圓的頂點決定了橢圓的位置和尺寸. ”可以認為，當學(xué)生在探究過程中形成這樣的理解時，便意味著他們能夠依靠自己的探究經(jīng)歷來促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展. 另外，在此過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注橢圓標準方程中參數(shù)a和b的幾何意義，可幫助學(xué)生更形象、直觀地掌握橢圓的標準方程，從而為后續(xù)的應(yīng)用奠定堅實的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3 范圍.

問題6 對于橢圓+=1（a>b>0），這里的x，y有何限制？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度進行分析，通過圖形及作圖經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)x≤a，y≤b. 在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度進行驗證，得≤1，≤1，即x≤a，y≤b.

設(shè)計意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生先從“形”的角度出發(fā)，觀察并確定橢圓的范圍，然后從“數(shù)”的角度進行驗證. 通過這種多角度的思考與探索，一方面可以加深學(xué)生對橢圓性質(zhì)的認識和理解，另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，掌握研究曲線方程的方法.

問題7 通過對比觀察發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，那么，是什么決定了橢圓的扁平程度呢？

師生活動：教師讓每個小組畫兩個扁平程度不同的橢圓，并思考為什么有的橢圓“扁”，有的橢圓“圓”，從而自然而然地引出橢圓離心率的定義. 引出離心率的定義后，教師讓學(xué)生思考離心率的范圍，并回答這樣一個問題：e越接近1，橢圓越圓，還是越扁？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生動手做、用眼看、用心想，通過具身體驗感受橢圓的離心率與a，c兩個量密切相關(guān)，由此順利得到離心率的定義［2］. 學(xué)生對橢圓形狀的“圓”與“扁”的理解十分直觀，這反映他們將生活語言直接應(yīng)用于幾何概念. 此時，生活語言向數(shù)學(xué)語言過渡，需要借助數(shù)學(xué)工具來完成，對應(yīng)著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的邏輯推理與數(shù)學(xué)建模. 離心率這一陌生概念，可以在學(xué)生提出問題和解決問題的過程中，變得相對熟悉，并能夠體現(xiàn)學(xué)生大腦中關(guān)于橢圓形狀是“圓”還是“扁”的認知. 學(xué)生這樣的認知發(fā)展過oHxbPT9LfMcDJuJFdTB9HQ==程也表明，通過由具體到抽象，由形式到本質(zhì)的逐層探究，不僅有利于知識的理解和接受，而且能有效淡化數(shù)學(xué)的抽象感，提升學(xué)習積極性，提高直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

問題8 結(jié)合前面的探究過程，請說一說橢圓+=1（a>b>0）具有怎樣的幾何性質(zhì).

師生活動：教師放手讓學(xué)生自主探究，并鼓勵學(xué)生進行組內(nèi)交流；教師投影展示學(xué)生的探究結(jié)果，并將這些結(jié)果整理填入表格中，以便學(xué)生進行對比和觀察.

設(shè)計意圖 在教學(xué)中，教師特意安排時間，讓學(xué)生利用研究橢圓的經(jīng)驗去深入探索橢圓的幾何性質(zhì). 這一做法不僅能夠加深學(xué)生對相關(guān)知識、概念和方法的理解，而且還能培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法來解決問題的能力. 同時，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過歸納總結(jié)，能有效溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，不斷優(yōu)化個體知識結(jié)構(gòu)，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 應(yīng)用練習，加深理解

例 試求橢圓16x2+25y2=400的離心率、頂點、長軸長和短軸長，并嘗試利用描點法繪制該橢圓.

變式：方程4x2+y2=16表示的是什么圖形？說一說它具有怎樣的幾何性質(zhì).

師生活動：上述兩題難度不大，學(xué)生利用研究橢圓幾何性質(zhì)的經(jīng)驗，順利地解決了問題.

設(shè)計意圖 通過基礎(chǔ)練習，檢測學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，并以此來鞏固和加強他們的理解. 此外，這些練習旨在讓學(xué)生學(xué)會如何利用橢圓方程來研究橢圓的幾何性質(zhì).

4. 回顧反思，總結(jié)提升

問題9 請圍繞知識、思想、方法等談一談自己的心得體會.

師生活動：學(xué)生以小組為單位進行互動交流，隨后集體展示他們的體會.

設(shè)計意圖 教師指導(dǎo)學(xué)生從多個方面進行反思和回顧，旨在深化他們對相關(guān)知識和思想方法的理解，優(yōu)化他們的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)他們良好的反思和歸納習慣. 此外，這種做法還能提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力以及數(shù)學(xué)表達能力，從而增強他們的綜合能力和素養(yǎng).

教學(xué)反思

眾所周知，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想讓學(xué)生真正地理解抽象的數(shù)學(xué)知識，并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題，僅憑教師單方面的“灌輸”是很難達成的. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)造機會讓學(xué)生主動參與知識的構(gòu)建，讓學(xué)生理解知識的同時，掌握數(shù)學(xué)研究方法，提升學(xué)生可持續(xù)學(xué)習的能力和品質(zhì). 這是“在游泳中學(xué)會游泳”的道理遷移，同時也是數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要思路.

在本節(jié)課教學(xué)中，教師以學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗為出發(fā)點，精心創(chuàng)設(shè)“問題串”，指導(dǎo)學(xué)生在問題的驅(qū)動下主動發(fā)現(xiàn)和探索橢圓的幾何性質(zhì)，構(gòu)建對幾何性質(zhì)的理解，學(xué)會用代數(shù)方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習打下堅實的基礎(chǔ). 另外，在本節(jié)課教學(xué)中，教師創(chuàng)造機會讓學(xué)生思考與探究，可以很好地調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，有助于激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的自主探究能力，以及理性思考能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該認真研究學(xué)生、研究數(shù)學(xué)、研究教材，以學(xué)生認知為基礎(chǔ)，以問題驅(qū)動為策略，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標，精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識生成過程，有效激發(fā)學(xué)生的潛能，促進學(xué)生的長效發(fā)展和終身發(fā)展，切實提高教學(xué)有效性.

參考文獻：

［1］ 倪樹平. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課堂教學(xué)設(shè)計之思考：以“橢圓及其標準方程”教學(xué)設(shè)計為例［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2018（8）：23-27.

［2］ 李剛，朱曉祥. 基于核心素養(yǎng)背景的深度教學(xué)例析：以“橢圓的幾何性質(zhì)”教學(xué)片斷為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2021，40（1）：23-27.