［摘 要］ 優(yōu)化數(shù)學(xué)思維是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑，而深度學(xué)習(xí)又是優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的重要通道. 在“概率的基本性質(zhì)”教學(xué)中，研究者從四個(gè)角度（導(dǎo)入教學(xué)主題、類比分析概率性質(zhì)、鞏固概率性質(zhì)、建構(gòu)知識(shí)體系）探討如何基于深度學(xué)習(xí)理念優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)

作者簡介：馬少山（1978—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

深度學(xué)習(xí)屬于高效學(xué)習(xí)的范疇，是指在學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，以揭露知識(shí)本質(zhì)，掌握知識(shí)內(nèi)涵，發(fā)展數(shù)學(xué)思維為任務(wù)的一種學(xué)習(xí)方式. 它是一種針對(duì)學(xué)生這個(gè)特殊群體而提出的教學(xué)理念，既屬于學(xué)習(xí)習(xí)慣，又屬于學(xué)習(xí)狀態(tài)［1］. 事實(shí)證明，教師對(duì)深度學(xué)習(xí)理念的理解與落實(shí)情況，決定了學(xué)生在課堂中的學(xué)習(xí)狀態(tài). 深度學(xué)習(xí)的實(shí)施情況，由教師的教學(xué)水平與教學(xué)理念而決定.

教學(xué)流程設(shè)計(jì)

“概率的基本性質(zhì)”雖然在高考題中出現(xiàn)的比重不高，但對(duì)推進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展具有重要價(jià)值與意義. 本節(jié)課教學(xué)可從表1所示的幾個(gè)層面展開，一方面強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的優(yōu)勢(shì)，另一方面為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)實(shí)踐與探索

1. 回顧舊知，導(dǎo)入教學(xué)主題

問題1 根據(jù)以往研究數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)明確了一個(gè)探索對(duì)象后，一般需要研究它的什么呢？

師生活動(dòng)：通過回顧函數(shù)概念的探索方法，以明確探索一個(gè)數(shù)學(xué)概念的基本步驟.

設(shè)計(jì)意圖 回顧舊知，一方面，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)知識(shí)，起到一定的復(fù)習(xí)作用；另一方面，通過類比函數(shù)概念的探索方法，獲得一般性的探索步驟，為本節(jié)課探索概率的性質(zhì)奠定方法基礎(chǔ).

問題2 大家對(duì)概率并不陌生，還記得它的定義是什么嗎？

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生回顧概率的定義，并感知概率的基本意義.

設(shè)計(jì)意圖 課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，將函數(shù)與概率的定義擺上臺(tái)面，意在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比思想來觀察對(duì)象，為接下來探索概率的性質(zhì)做好鋪墊. 通過回顧兩個(gè)定義，學(xué)生對(duì)課堂探索思路有了初步了解，并在類比分析中發(fā)現(xiàn)了概率的本質(zhì).

2. 類比分析概率性質(zhì)

問題3 可從哪些角度來探尋古典概型問題？

教師借助多媒體展示古典概型問題，引導(dǎo)學(xué)生自主討論此問，加強(qiáng)巡視的同時(shí)適當(dāng)點(diǎn)撥. 類比函數(shù)的探索過程，學(xué)生分別從單調(diào)性、樣本空間、特殊事件的概率、概率取值范圍等角度展開分析，分別提出如下猜想：①任意事件A，恒存在P（A）≥0的情況. ②如果一個(gè)事件是必然發(fā)生的，那么它的概率是1；相應(yīng)地，如果一個(gè)事件是不可能事件，那么它的概率是0. 用數(shù)學(xué)符號(hào)描述為P（Ω）=1，P（）=0. ③若A？哿B，則P（A）≤P（B）.

設(shè)計(jì)意圖 通過對(duì)比函數(shù)研究，提出與學(xué)生實(shí)際情況相適應(yīng)的問題，使學(xué)生只需“稍微努力”便能順利解答，從而提升思維能力，為深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

問題4 嘗試證明猜想③是否準(zhǔn)確.

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生分析如下：古典概型內(nèi)，關(guān)于事件A，B，若A？哿B，則n（A）≤n（B），≤，即P（A）≤P（B），所以猜想③是準(zhǔn)確的.

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，只有經(jīng)過嚴(yán)格論證的猜想才是可信的，這是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)思維的關(guān)鍵. 以古典概型為基礎(chǔ)，驗(yàn)證猜想③的準(zhǔn)確性，有助于學(xué)生深入理解概率的本質(zhì).

問題5 探索互斥事件的概率時(shí)，該怎么操作？先請(qǐng)大家分析以下“摸球”事件的概率.

若一個(gè)不透明的箱子內(nèi)，放有手感完全一樣的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為①和②），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為③和④），從箱內(nèi)隨機(jī)取出2個(gè)球，不放回去. 假設(shè)事件R=“兩次均取出紅球”，R=“第一次取出紅球”，R=“第二次取出紅球”，G=“兩次均取出綠球”，M=“取出的兩個(gè)球顏色相同”，N=“取出的兩個(gè)球顏色不同”.

師生活動(dòng)：通過思考與分析，學(xué)生獲得了上述幾個(gè)事件的概率，并明確P（R∪G）=P（R）+P（G）. 由此，問題迎刃而解.

設(shè)計(jì)意圖 抽象問題常讓學(xué)生難以應(yīng)對(duì)，但將其置于具體情境中，數(shù)學(xué)就變得生動(dòng). 數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活，能激發(fā)學(xué)生的探究興趣，并簡化復(fù)雜問題. 通過情境教學(xué)，學(xué)生能理解互斥事件. 為了拓展學(xué)生的思維，可在原問題的基礎(chǔ)上追問.

師：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）是否成立？

生1：如圖1所示，若事件A與事件B互斥，則它們的樣本點(diǎn)就不一樣，因此n（A∪B）=n（A）+n（B），所以P（A∪B）=P（A）+P（B）成立.

此為從特殊到一般思想的應(yīng)用，即將由特殊案例所形成的結(jié)論推廣至一般情況的范疇. 學(xué)生經(jīng)過自主探索，成功獲得了互斥事件概率的加法公式，即性質(zhì)3.

師：若存在多個(gè)互斥事件，該結(jié)論是否依然成立呢？

師生積極互動(dòng)，將該結(jié)論進(jìn)一步拓展到更多互斥事件的概率分析中，從而初步形成以下結(jié)論：若事件A，A，…，A之間兩兩相斥，則P（A∪A∪…∪A）=P（A）+P（A）+…+P（A）.

師：非常好！如果事件A與事件B對(duì)立，那么它們的概率之間存在什么關(guān)系呢？

生2：如圖2所示，如果事件A與事件B對(duì)立，那么P（A∪B）=P（A）+P（B）=1.

設(shè)計(jì)意圖 幾個(gè)問題的探索，讓學(xué)生對(duì)互斥事件與對(duì)立事件有了更進(jìn)一步的了解，其中對(duì)立事件屬于互斥事件的特殊情況，將特殊且具有代表性的情況拎出來單獨(dú)探索，可深化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

問題6 在“摸球”事件中，R∪R=“兩個(gè)球內(nèi)有紅色的球”，P（R∪R）與P（R）+P（R）是否具有相等的關(guān)系？說明理由，并探索P（R∪R）的計(jì)算方法.

學(xué)生探索獲得P（R∪R）＜P（R）+P（R）.

師：誰來具體說一說P（R∪R）＜P（R）+P（R）的理由？

生3：將事件R，R與事件R，G進(jìn)行類比分析，可得事件R與事件R并非互斥：如圖3所示，根據(jù)n（R∪R）=n（R）－n（R∩R）+n（R），得P（R∪R）==－+=P（R）－P（R∩R）+P（R）.

設(shè)計(jì)意圖 通過問題激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引領(lǐng)學(xué)生觀察與分析事件之間的關(guān)系. 問題6引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)兩個(gè)非互斥事件的概率之間的關(guān)系，由此提煉出概率的性質(zhì)6.

3. 應(yīng)用新知，鞏固概率性質(zhì)

例1 有一副不含大小王的撲克牌，共52張. 若從這52張牌中隨機(jī)抽取一張牌，設(shè)事件A=“抽到的牌是紅桃”，事件B=“抽到的牌是方片”，且P（A）=P（B）=.

（1）設(shè)事件C=“抽到的牌是紅花”，則P（C）的值是多少？

（2）設(shè)事件D=“抽到的牌是黑花”，則P（D）的值是多少？

顯然，本例中的事件A與事件B互斥，關(guān)于事件C的判定，僅需了解事件C與事件A，B存在什么聯(lián)系. 由于C=A∪B，通過概率加法可獲得事件C的概率. 由于事件C與事件D對(duì)立，因此可通過性質(zhì)4得到事件D的概率.

師生活動(dòng)：學(xué)生主動(dòng)探索與分析，獲得問題的結(jié)論，教師則在學(xué)生描述過程中加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與補(bǔ)充，以不斷完善學(xué)生的思維.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生領(lǐng)悟復(fù)雜事件的概率運(yùn)算，可借助概率的性質(zhì)來簡化.

例2 夏季即將結(jié)束，廠家為了將飲料快速銷售出去，采取了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，即每箱6瓶飲料中有2瓶可中獎(jiǎng)，分析隨機(jī)從一箱內(nèi)取2瓶飲料的中獎(jiǎng)概率.

本例中的“中獎(jiǎng)”事件屬于一個(gè)偏復(fù)雜的事件，存在的情況較多. 可設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A=“第一瓶中獎(jiǎng)”，事件A=“第二瓶中獎(jiǎng)”，則A=AA∪A∪A. 鑒于“中獎(jiǎng)”事件與“不中獎(jiǎng)”事件互斥，因此P（A）=P（AA）+P（A）+P（A）. 在探索過程中，教師高度關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，適時(shí)加以引導(dǎo)，讓學(xué)生盡可能想辦法將復(fù)雜的問題簡單化. “中獎(jiǎng)”事件的復(fù)雜程度高，除了上述探索方法外，還可以從對(duì)立事件著手進(jìn)行分析，借助概率的性質(zhì)4來探索. 本題的重點(diǎn)在于計(jì)數(shù)，關(guān)于多樣本點(diǎn)的問題，需做到不重復(fù)、不遺漏，此為解題的關(guān)鍵.

師生活動(dòng)：學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上相互交流，探索解題辦法. 教師給予指導(dǎo)，尤其引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“中獎(jiǎng)”事件的復(fù)雜性，做到不重不漏地探尋樣本點(diǎn). 關(guān)于樣本點(diǎn)的探索，學(xué)生主要有三種方法.

第一種：將有獎(jiǎng)的兩瓶飲料分別設(shè)為a，b，無獎(jiǎng)的四瓶飲料則分別設(shè)為c，d，e，f，用列表的方式將所有的樣本點(diǎn)展示出來，以便于分析與探索.

第二種：以同樣的方法假設(shè)箱內(nèi)的飲料，借助樹狀圖將所有的樣本點(diǎn)展示出來，以便于分析與探索.

第三種：如圖4所示，以取出的飲料作為事件來探索，借助導(dǎo)圖將事件間的關(guān)系展示出來.

設(shè)計(jì)意圖 借助概率的性質(zhì)來分析問題，可將原本復(fù)雜的問題簡單化，尤其是表格、樹狀圖和導(dǎo)圖等工具的應(yīng)用，增加了探索的直觀性，起到了化繁為簡，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的作用.

4. 提煉總結(jié)，建構(gòu)知識(shí)體系

問題7 在本節(jié)課的探索中，應(yīng)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你們有哪些感悟與體驗(yàn)？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生經(jīng)過思考與整理，將本節(jié)課主要的教學(xué)內(nèi)容與探索方法羅列在一起，梳理成結(jié)構(gòu)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)（與表1類似）. 凸顯了深度學(xué)習(xí)理念，同時(shí)也進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

教學(xué)思考

與幾何或函數(shù)相比，概率的研究具有隨機(jī)性，因情況復(fù)雜而容易出現(xiàn)失誤. 為此，在探索概率的性質(zhì)時(shí)，可從運(yùn)算或事件關(guān)系著手進(jìn)行分析，以發(fā)展學(xué)生思維的深刻性與嚴(yán)謹(jǐn)性. 問題是數(shù)學(xué)的心臟，概率性質(zhì)的教學(xué)同樣需要恰當(dāng)?shù)膯栴}加以引導(dǎo)，讓學(xué)生的思維有明確的方向，此為提升“四能”的根本［2］.

總之，教無定法，貴在得法. 核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生在課堂中的一舉一動(dòng)，針對(duì)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，也能從真正意義上提升學(xué)生的關(guān)鍵品格與能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 章建躍，程海奎. 高中必修課程中概率的教材設(shè)計(jì)和教學(xué)思考：兼談“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何落地”［J］. 課程·教材·教法，2017，37（5）：27-33.

［2］ 張格波. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一場(chǎng)深度對(duì)話［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（3）：18-21+26.