［摘 要］ 關(guān)注過程，對培養(yǎng)學生的數(shù)學理性思維具有重要意義. 文章以“橢圓及其標準方程”為例，具體從“鑒賞橢圓之美，激發(fā)探究興趣”“親歷操作過程，感知橢圓形成”“關(guān)注發(fā)展過程，滲透數(shù)學文化”“注重方程推導(dǎo)過程，活化思維”“加強實際應(yīng)用，鞏固橢圓方程”“總結(jié)歸納提升，完善認知結(jié)構(gòu)”六個方面展開教學，并從教學過程、數(shù)學文化與問題引領(lǐng)三個維度談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 教學過程；理性思維；橢圓

作者簡介：胡玲玲（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作.

數(shù)學是一門思維含量極高的學科. 學生在探索與思考問題時，理性思維會處于活躍狀態(tài)，這對發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)具有推動作用. 作為教師，應(yīng)不斷革新教育教學理念，關(guān)注教學過程的調(diào)整與創(chuàng)新，使學生的理性思維在課堂中落地生根，為學生長期可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

教學過程設(shè)計

1. 鑒賞橢圓之美，激發(fā)探究興趣

課堂伊始，在回顧直線與圓的位置關(guān)系的研究方法后，教師利用PPT呈現(xiàn)與橢圓相關(guān)的幾個問題，以此激發(fā)學生的探究興趣.

問題1 古希臘大數(shù)學家阿波羅尼奧斯（Apollonius？搖of？搖Perga）發(fā)現(xiàn)，用一個與圓錐的軸垂直的平面來截圓錐，其截口為圓. 若用一個與圓錐的軸不垂直的平面來截圓錐，其截口會是什么形狀呢？

師生活動：教師借助信息技術(shù)進行演示，幫助學生直觀理解問題中的截口是拋物線、橢圓與雙曲線. 鑒于這些曲線都源于圓錐與其截面，故統(tǒng)稱為圓錐曲線. 之后，教師將討論延伸至探照燈和行星軌跡等實際應(yīng)用，以拓寬學生的認識.

設(shè)計意圖 信息技術(shù)的應(yīng)用使圓錐曲線之美直觀地呈現(xiàn)在學生眼前. 學生能夠從認知經(jīng)驗出發(fā)，結(jié)合日常生活實例，感悟數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，理解圓錐曲線的起源，從而激發(fā)對后續(xù)課程內(nèi)容的探究興趣.

問題2 直線與圓的位置關(guān)系可用坐標法來探索，那么圓錐曲線可用什么方法來研究呢？

師生活動：教師引導(dǎo)學生根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的探索經(jīng)驗，初步猜想圓錐曲線的研究方法. 學生獨立思考后合作交流，初步形成研究思路為：背景→曲線的幾何特征→方程→性質(zhì)→應(yīng)用.

設(shè)計意圖 新舊知識的類比與勾連，可讓學生借鑒已有的研究方法形成先行組織者，為接下來的操作與探究做鋪墊.

2. 親歷操作過程，感知橢圓形成

課前準備好以下作圖工具：鉛筆、細繩、小木板等. 先讓學生以小組合作的方式繪制橢圓圖形，隨后邀請一位學生上臺展示其繪圖步驟.

問題3 在繪制橢圓的過程中，筆尖移動時，圖中的變量與不變量分別是什么？

生1：變量為筆尖的位置，不變量為筆尖到兩個定點的距離之和（繩子長度）.

設(shè)計意圖 開展繪圖活動不僅揭示橢圓的形成過程，而且使學生在動手、動腦、動眼的實踐中深刻理解橢圓的本質(zhì)屬性，從而為構(gòu)建橢圓的定義打下堅實的基礎(chǔ). 此外，學生在繪圖過程中的動手實踐，也是鍛煉手腦協(xié)調(diào)能力的過程，這對于培養(yǎng)理性思維具有顯著的重要性.

問題4 與圓的定義進行類比，如何利用好“變化中的不變以及存在的規(guī)律”抽象出橢圓的定義？

生2：基于繪圖實操可知，平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡為橢圓.

師：歸納得不錯. 誰來說說要確定一個橢圓，哪些條件不可或缺？

生3：首先要確定在同一個平面內(nèi)，其次是與兩個定點的距離之和等于常數(shù).

師：可否根據(jù)你們所提出的定義畫橢圓？

學生根據(jù)自主歸納的橢圓定義進行實踐操作，發(fā)現(xiàn)當繩子的長度大于FF時，能順利畫出橢圓；當繩子的長度與FF相等時，只能畫出線段；當繩子的長度小于FF時，無法畫出軌跡圖. 基于此，師生一起完善了橢圓的定義.

設(shè)計意圖 數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，它追求的是一種理性精神. 對于通過猜想提出的定義，必須經(jīng)過反復(fù)的驗證才能確立其可靠性. 這正是數(shù)學學科的魅力所在，其學科精神值得每位學生去追求.

3. 關(guān)注發(fā)展過程，滲透數(shù)學文化

師：如圖1所示，這是數(shù)學家研究橢圓的路徑. 現(xiàn)在，讓我們共同探討19世紀數(shù)學家旦德林的實驗.

多媒體演示實驗過程：如圖2所示，在圓錐截面的兩邊分別放一個球，使得兩球與截面呈相切狀態(tài)，點F，F(xiàn)為切點，這兩個球同時與圓錐側(cè)面相切，球體與側(cè)面公共點分別構(gòu)成圓O，O. 倘若點M為平面和圓錐側(cè)面截線上的任意點，過點M作圓錐的一條母線，使得這條線分別和兩個球體在點P，Q處相切，PQ運動所形成的截口曲線為橢圓［1］.

問題5 探索MF與MP，MF與MQ之間的位置關(guān)系，思考FM+FM是否為定值.

設(shè)計意圖 數(shù)學文化滲透對理性思維的發(fā)展有直接影響. 通過時間線索揭示橢圓研究歷史，引導(dǎo)學生體驗概念演變，為培養(yǎng)科學嚴謹?shù)臄?shù)學思維打基礎(chǔ). 多媒體的直觀展示，幫助學生理解概念間的聯(lián)系，為后續(xù)教學活動奠定思維基礎(chǔ).

4. 注重方程推導(dǎo)過程，活化思維

問題6 從解析幾何探索幾何圖形的常規(guī)思維出發(fā)，當抽象出橢圓的定義后，就要探索橢圓的方程了. 基于過往的學習經(jīng)驗，你們認為構(gòu)建橢圓的方程大致需要經(jīng)歷哪些步驟？

生4：首先需建系，而后設(shè)點、列式、化簡并證明.

師：很好！經(jīng)過對橢圓的深入理解，你們認為橢圓是一種對稱圖形嗎？它的方程可能是什么樣的呢？

生5：從直觀的角度來看，橢圓有對稱性. 如圖3所示，將橢圓置于平面直角坐標系內(nèi)，基本能猜想出橢圓方程是二元二次方程.

師：假設(shè)2c為橢圓的焦距，點F，F(xiàn)的坐標分別為（－c，0），（c，0），點M（x，y）是橢圓上的任意點，滿足FM+FM=2a. 若代數(shù)化這些條件，有什么收獲？

生6：+=2a①.

師：此為橢圓的方程，但它比較復(fù)雜，如何將這個式子化簡得更簡單一些呢？

為學生提供充足的時間進行探索和交流，必要時給予適當?shù)闹笇?dǎo). 有學生提出了以下化簡方法：先對①式進行移項處理，然后對兩邊同時進行兩次平方運算，整理后得到新等式a2y2+（a2－c2）x2=a2（a2－c2）②.

師：②式似乎仍然有些復(fù)雜，請大家仔細觀察圖4，嘗試從圖中找出與a，c，相關(guān)的線段，以使②式變得更加簡潔.

生7：根據(jù)已知條件，可知FB=a，F(xiàn)O=c，BO=，顯然b具有幾何意義. 令b2=a2－c2，整理②式，有a2y2+b2x2=a2b2③. 將③式的兩邊同時除以a2b2，可得+=1（a＞b＞0），此為焦點位于x軸上的橢圓的標準方程.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學生依據(jù)橢圓的幾何特性建立坐標系，不僅凸顯了從推理幾何到解析幾何的演變過程，揭示“數(shù)”與“形”的本質(zhì)統(tǒng)一的特性，還讓學生親自參與運算，領(lǐng)略數(shù)學的簡潔之美，從而提升學生的數(shù)學理性思維.

問題7 以上探索的是焦點位于x軸上的橢圓的方程，若焦點位于y軸上，橢圓的方程會是怎樣的呢？能否快速獲得結(jié)論？

引導(dǎo)學生通過觀察和類比焦點位于x軸上的橢圓的方程，快速獲得焦點位于y軸上的橢圓的方程為+=1（a＞b＞0）.

設(shè)計意圖 類比思想是一種重要的數(shù)學思想方法，通過引導(dǎo)學生對橢圓的焦點位置的觀察、類比與分析，避免了重復(fù)運算的復(fù)雜過程，充分體現(xiàn)了數(shù)學理性思維的重要性.

問題8 若將③式變形成·=－的形式，該怎樣用準確的數(shù)學語言刻畫該式所具備的幾何意義呢？

設(shè)計意圖 學生通過分析幾何意義下的式子變形，深入理解數(shù)形結(jié)合思想. 主動思考幫助學生清晰地理解曲線特性，并提煉出多種解題方法，為解決更復(fù)雜的圓錐曲線問題打下基礎(chǔ).

5. 加強實際應(yīng)用，鞏固橢圓方程

例1 已知某橢圓過點，－，且F（－2，0），F(xiàn)（2，0）為它的兩個焦點，那么該橢圓的標準方程是什么？

生9：可從橢圓的定義出發(fā)，先將2a算出來，而后獲得該橢圓的標準方程.

生10：還可以先設(shè)橢圓的方程，而后建立方程組求解.

例2 如圖5所示，在圓x2+y2=r2上任意取點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足. 已知點M為線段DP上的一點，滿足DM=λDP（λ≠0，1），當點P在圓上運動時，動點M會呈現(xiàn)出怎樣的活動軌跡？

生11：設(shè)點P（x，y），M（x，y），則點D的坐標為（x，0）. 根據(jù)題意可知，x=x，y=. 由于點P位于圓上，因此x+y=r2. 將x=x，y=代入x+y=r2中，得+=1，由此可確定點M的活動軌跡為橢圓.

設(shè)計意圖 例1要求學生根據(jù)條件選擇合適的橢圓方程形式，題目難度適中，旨在培養(yǎng)學生的解題思維和習慣；例2不僅加強了求軌跡方程的基本技能，還加深了對圓和橢圓關(guān)系的理解，為培養(yǎng)理性思維打基礎(chǔ).

6. 總結(jié)歸納提升，完善認知結(jié)構(gòu)

要求學生從以下幾方面進行梳理與總結(jié)：橢圓定義的形成是一個怎樣的過程？推導(dǎo)橢圓方程的過程給你們帶來了什么啟示？橢圓的標準方程的研究通常遵循怎樣的過程？根據(jù)你們的學習經(jīng)驗，接下來應(yīng)探索哪些與橢圓相關(guān)的知識？

設(shè)計意圖 回顧和總結(jié)教學流程、思維過程及學習方法，有助于加深學生對橢圓的理解，并為深入學習打下堅實基礎(chǔ). 此外，良好的反思習慣有助于學生構(gòu)建完整的認知結(jié)構(gòu)，促進數(shù)學理性思維的發(fā)展.

教學思考

1. 關(guān)注過程是概念自然生成的基礎(chǔ)

關(guān)注知識的形成過程，有助于學生理解知識本質(zhì)，縮短與教學內(nèi)容的距離. 將新知與舊知聯(lián)系起來，能提升學生的認知能力，促進概念自然生成. 本節(jié)課，教師引導(dǎo)學生通過類比圓的方程來探索橢圓的標準方程，并利用多媒體展示動態(tài)圖和旦德林實驗，使學生自主抽象出橢圓的定義和推導(dǎo)方法. 這顯示了關(guān)注過程是知識自然生成和數(shù)學思維發(fā)展的關(guān)鍵.

2. 數(shù)學文化是理性思維的催化劑

橢圓的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展是科學家長期努力的結(jié)果，它展現(xiàn)了數(shù)學之美. 將橢圓的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展歷史融入教學，能激發(fā)學生的興趣，拓寬他們的視野. 數(shù)學家面對挑戰(zhàn)從不放棄，這種精神和數(shù)學文化是培養(yǎng)理性思維的重要因素.

3. 問題引領(lǐng)可催生理性思維

數(shù)學是思維的體操，問題又是數(shù)學的心臟. 在數(shù)學教學中，高質(zhì)量問題能激發(fā)課堂活力，促進學生思維，深化學生對知識的理解，為學生的認知體系的構(gòu)建打基礎(chǔ). 本節(jié)課包含8個問題和2個例題，其作用是逐步引導(dǎo)學生思考，提煉數(shù)學思想，培養(yǎng)理性思維.

總之，關(guān)住過程是新課標要求，也是發(fā)展數(shù)學理性思維的基礎(chǔ). 了解學情和教情后，滲透數(shù)學思想和文化，能激活學生的思維，構(gòu)建完整的認知結(jié)構(gòu)，使理性思維得以扎根.

參考文獻：

［1］ 梁俊峰. “橢圓及其標準方程”的教學設(shè)計與反思［J］. 中小學數(shù)學（高中版），2023（Z1）：37-40.