［摘 要］ 利用深度學(xué)習(xí)理論培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維，對于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識具有獨特的優(yōu)勢. 文章著重強調(diào)批判性思維與深度學(xué)習(xí)的重要性，并從六個方面詳細闡述教學(xué)設(shè)計與分析策略：溫故舊知，初步感知；創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；構(gòu)建概念，理解本質(zhì)；練習(xí)訓(xùn)練，鞏固概念；探索例題，深化理解；總結(jié)歸納，提煉升華.

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；批判性思維；概念教學(xué)

作者簡介：王艷紅（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

隨著科技的飛速進步，國家對于頂尖創(chuàng)新人才的需求急劇增加. 但是，受到傳統(tǒng)教育觀念和升學(xué)壓力的影響，目前仍有許多教師未能與時俱進，依然存在“重結(jié)果，輕思維”的教學(xué)理念. 殊不知，數(shù)學(xué)是思維的體操，高考的目的是篩選出富有創(chuàng)新能力的人才. 若想在高考試卷上取得優(yōu)異成績，就必須著眼于思維的培育. 研究表明，依托深度學(xué)習(xí)理念來培育數(shù)學(xué)批判性思維，對于增強學(xué)生的創(chuàng)新意識具有不可比擬的優(yōu)勢.

核心概念界定

1. 批判性思維

批判性思維是指用一種求真、好奇、開放或自信的態(tài)度對待研究對象，并在質(zhì)疑、推理、思考與評價中獲得理性、公正的決定. 一般可從以下三個方面來理解：基于思維品質(zhì)分析，批判性思維屬于一種思維能力；基于認(rèn)知過程分析，批判性思維屬于認(rèn)知思維過程；基于個性心理特征分析，批判性思維屬于一種精神、思維傾向或思維態(tài)度.

2. 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)既是學(xué)習(xí)過程，又是學(xué)習(xí)策略，指學(xué)生在教師的引導(dǎo)下圍繞具有一定挑戰(zhàn)性的主題進行深度探索，獲得其本質(zhì)的學(xué)習(xí)方式. 深度學(xué)習(xí)有以下特征：①是一種注重理解與建構(gòu)的學(xué)習(xí)方式；②遵循“以生為本”的原則，學(xué)生需要自我導(dǎo)向和規(guī)劃；③動態(tài)、批判性地理解知識；④注重學(xué)法指導(dǎo)，強調(diào)習(xí)慣養(yǎng)成；⑤注重思維的關(guān)聯(lián)度與創(chuàng)新意識的培養(yǎng).

教學(xué)實踐

1. 溫故舊知，初步感知

問題1 在初中階段，大家接觸過哪些函數(shù)？它們的表達式分別是什么？

生1：一次函數(shù)，其表達式為y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）；二次函數(shù)，其表達式為y=ax2+bx+c（a，b，c均為常數(shù)，且a≠0）；反比例函數(shù)，其表達式為y=（k為常數(shù)，且k≠0）.

師：說得很完整，哪位同學(xué)說一說當(dāng)時是怎么給函數(shù)下定義的？

設(shè)計意圖 回顧函數(shù)的定義以及三種函數(shù)表達式，旨在鞏固已學(xué)知識，為本節(jié)課的教學(xué)打下堅實的基礎(chǔ).

2. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題2 基于你們對函數(shù)的了解，回答以下問題.

（1）已知一個圓的半徑為x，那么該圓的周長與直徑之比為y=π，當(dāng)x∈（0，+∞）時，y是否為x的函數(shù)？

（2）函數(shù)y=x2（x∈（0，+∞））與函數(shù)y=x2（x∈R）一樣嗎？

（3）若y=0，x為無理數(shù)，1，x為有理數(shù)，y是否為x的函數(shù)？

設(shè)計意圖 一些學(xué)生能夠迅速得出結(jié)論，而另一些學(xué)生則受到思維局限的束縛，難以獨立且迅速地作出判斷. 在學(xué)生的認(rèn)知中，函數(shù)定義通常涉及兩個變量，因此需要思考：問題（1）中的y是否為變量？在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的定義提到“在一個變化過程中”，那么問題（3）涉及幾個變化過程呢？正是由于這些問題的干擾，學(xué)生在準(zhǔn)確判斷上遇到了困難. 這揭示了重新定義函數(shù)的必要性.

問題3 若某種物體自由下落的高度y（單位：米）與下落時間x（單位：秒）之間的關(guān)系式為y=4.9x2，根據(jù)這一條件可否獲得這種物體3秒所下落的高度是多少？

問題4 重慶某天的氣溫情況見圖1.

（1）說說重慶在這一天上午10點的氣溫，以及最高氣溫與最低氣溫分別是多少；

（2）這一天什么時候重慶的氣溫低于0 ℃？

設(shè)計意圖 上述兩個問題分別通過解析法和圖象法進行探究，為接下來抽象函數(shù)符號f做鋪墊. 鑒于學(xué)生目前的認(rèn)知能力，從這兩個問題中提煉出新的函數(shù)概念頗具挑戰(zhàn)性. 因此，在教學(xué)中，教師可引入問題5，以助力學(xué)生更深入地理解并掌握函數(shù)概念.

問題5 在上述兩個問題（問題3和問題4）中，變量之間的對應(yīng)關(guān)系在形式上存在哪些異同點？

教師給予學(xué)生充分的時間進行獨立思考和合作探討. 經(jīng)過探討，總結(jié)如下.

相同點：問題3和問題4均有兩個變量，且當(dāng)其中一個變量被確定時，另一個變量則有一個唯一值與之相對應(yīng). 不同點：對應(yīng)關(guān)系的表達形式各異，問題3采用的是數(shù)學(xué)表達式，而問題4采用的則是圖象.

設(shè)計意圖 通過分析兩個問題的異同點，能夠進一步加深學(xué)生對函數(shù)的理解，并為培養(yǎng)他們的思辨能力打下堅實的基礎(chǔ). 這一過程同樣有助于培育批判性思維.

問題6 從“集合”的角度，描述問題3和問題4的共同特征.

設(shè)計意圖 此問涉及“集合”與“對應(yīng)關(guān)系”，不僅能讓學(xué)生順利解決問題2，還能為抽象新的函數(shù)概念奠定基礎(chǔ). 從某種意義上來說，此為一個創(chuàng)新性問題，具有一定難度，需要教師適當(dāng)點撥.

綜上所述，眾多問題情境為學(xué)生構(gòu)建新的函數(shù)概念提供了堅實的基礎(chǔ). 學(xué)生對函數(shù)的起源和發(fā)展過程有了初步的理解，這種循序漸進的教學(xué)方式明顯優(yōu)于傳統(tǒng)機械記憶概念的方法. 部分教師忽視概念形成的過程，傾向于直接展示概念，長期如此，可能導(dǎo)致學(xué)生在認(rèn)知上遇到障礙，在實際應(yīng)用時顯得不知所措.

3. 構(gòu)建概念，理解本質(zhì)

用PPT展示函數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生剖析概念中的關(guān)鍵詞與要點，并用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述概念、定義域和值域等.

問題7 對于函數(shù)定義中提到的符號f與y=f（x），你們是怎么理解的？

這是本節(jié)課需要重點解決的問題. 許多學(xué)生學(xué)習(xí)完這部分知識后，仍然無法清晰地理解符號f與y=f（x）之間的關(guān)系. 因此，教師可結(jié)合學(xué)情引導(dǎo)學(xué)生通過以下幾步來分析問題.

第一步，引導(dǎo)學(xué)生利用生活實例來解釋圖2. 例如，將x視為材料，f視為一個加工機器，f（x）則為加工后的成品. 加工流程為：添加材料x，經(jīng)f加工，輸出f（x）.

一個形象的比喻揭露f與y=f（x）之間的關(guān)系. 如圖3所示，它們之間的關(guān)系可通俗地理解為：x在f的作用下轉(zhuǎn)化為y，y=f（x）表示y是關(guān)于x的函數(shù).

第二步，重點探索因變量y，引導(dǎo)學(xué)生明確y的從屬地位——y值受x值的影響，由此進一步強調(diào)f為一種對應(yīng)關(guān)系，揭露y=f（x）的意義. 關(guān)注到這一點，還能進一步強化學(xué)生對“函數(shù)y=f（x）的值域”的理解，明確集合｛yy=f（x），x∈A｝為其值域，而非函數(shù)概念內(nèi)提到的集合B——函數(shù)y=f（x）的值域是集合B的子集.

第三步，引導(dǎo)學(xué)生感知對應(yīng)關(guān)系不僅能用解析法、列表法和圖象法來刻畫，還可以用其他方法進行描述，如圖2所示的機器模擬圖. 為了便于理解，對應(yīng)關(guān)系一般用符號f來表示，但也可以根據(jù)實際需求用其他符號，如g，h等表示. 基于這一點，引導(dǎo)學(xué)生深切體會引入符號f：A→B和y=f（x）源于實際需求.

第四步，關(guān)注函數(shù)符號的書寫. 函數(shù)符號的書寫必須規(guī)范且嚴(yán)謹(jǐn). 在強調(diào)函數(shù)符號的書寫要求時，教師應(yīng)與學(xué)生共同使用標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語描述函數(shù)符號，以此進一步加深學(xué)生對函數(shù)符號的理解.

第五步，呈現(xiàn)一系列函數(shù)，要求學(xué)生判斷這些函數(shù)是否為同一函數(shù)，并解釋其理由. 在這個環(huán)節(jié)，重點在于讓學(xué)生理解，若兩個函數(shù)在對應(yīng)關(guān)系和定義域上完全一致，則它們的值域必然相同，這時它們?yōu)橥缓瘮?shù). 這一認(rèn)識有助于深化學(xué)生對函數(shù)定義的理解，并直接促進批判性思維的發(fā)展.

設(shè)計意圖 明確“f與y=f（x）之間的關(guān)系”是本節(jié)課的教學(xué)重點與難點，這要求教師減緩教學(xué)節(jié)奏，積極與學(xué)生進行討論，激發(fā)學(xué)生的思考. 通過觀察、分析和類比，學(xué)生能夠自主探索知識的本質(zhì)，并在深入學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)批判性思維能力，這是提升核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在.

問題8 類比新舊函數(shù)定義，分析它們的異同點.

此問需從兩個變量間的依賴關(guān)系著手，從不同角度分析兩個實數(shù)集合的對應(yīng)關(guān)系. 探索過程需學(xué)生利用批判性思維來類比分析，由此客觀地認(rèn)識到新舊概念的異同點［1］.

設(shè)計意圖 借助批判性思維剖析新舊函數(shù)定義，理解“高中階段的對應(yīng)關(guān)系”與“初中階段的對應(yīng)關(guān)系”并不矛盾.

4. 練習(xí)訓(xùn)練，鞏固概念

練習(xí)1 請用本節(jié)課新建構(gòu)的函數(shù)概念來解決問題2.

練習(xí)2 如何用新函數(shù)概念分別描述一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)？

練習(xí)3 如圖4所示，________能表示函數(shù)y=f（x）.

設(shè)計意圖 練習(xí)1旨在引導(dǎo)學(xué)生運用新學(xué)知識深入思考原問題，實現(xiàn)知識的前后銜接，并進一步鞏固學(xué)生對函數(shù)概念的理解；練習(xí)2的目的是檢驗學(xué)生是否具備使用“集合與對應(yīng)關(guān)系”來描述函數(shù)的能力；練習(xí)3則鼓勵學(xué)生從幾何的角度去理解函數(shù)概念，同時通過融入數(shù)形結(jié)合思想，增強學(xué)生的批判性思維. 值得注意的是，直觀圖形的應(yīng)用對深化學(xué)生對函數(shù)概念的理解具有重要作用，然而，不是所有函數(shù)均可用圖象來表示，這就要求學(xué)生具備敏銳的洞察力，能夠根據(jù)具體情況靈活應(yīng)對.

5. 探索例題，深化理解

例1 用多媒體展示一些式子，要求學(xué)生根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的函數(shù)定義判斷這些式子是否為函數(shù).

例2 求函數(shù)f（x）=與g（x）=的定義域.

例3 函數(shù)g（x）=（x－1）2+1，x∈｛－1，0，1，2，3｝與h（x）=（x－1）2+1的值域分別是什么？

設(shè)計意圖 對式子是否為函數(shù)的辨析，可鞏固學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識，發(fā)展批判性思維；定義域的求解意在深化學(xué)生對一般函數(shù)定義域的理解；例3讓學(xué)生感知在同一對應(yīng)關(guān)系下，若定義域不同，則值域不同，進一步深化學(xué)生對任意自變量對應(yīng)唯一函數(shù)值的理解.

6. 總結(jié)歸納，提煉升華

引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)定義、本質(zhì)、要素、定義域與值域的確定方法、研究策略以及相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法等多個角度進行整理和歸納.

設(shè)計意圖 從知識、方法、思維和思想等多個角度進行綜合提煉，提升學(xué)生的抽象概括能力與語言表達能力，助力他們構(gòu)建一個完整的認(rèn)知體系，并促進批判性思維的發(fā)展，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

思考與感悟

批判性思維的培養(yǎng)離不開對問題的再思考，因此教師在執(zhí)教過程中一定要注意教學(xué)的前后呼應(yīng)，想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生對比分析新舊知識，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu). 本節(jié)課以豐富的情境和學(xué)生已有的經(jīng)驗為教學(xué)起點，通過問題驅(qū)動的方式，引導(dǎo)學(xué)生逐步感知新函數(shù)概念的形成過程及其必要性. 這不僅實現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，而且在真正意義上促進了學(xué)生批判性思維的發(fā)展. 當(dāng)學(xué)生構(gòu)建了新的概念后，教師應(yīng)鼓勵他們運用新概念去重新審視舊問題. 這種前后連貫的教學(xué)方法不僅使學(xué)生對函數(shù)概念有深入的理解，而且還能讓他們明白其背后的原理，從而在真正意義上增強學(xué)習(xí)能力，并促進批判性思維的發(fā)展.

總之，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，基于深度學(xué)習(xí)，是推動學(xué)習(xí)能力提升的根本，同時也是強化數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的核心. 作為教師，不僅應(yīng)關(guān)注自身對學(xué)生判斷力的影響，還應(yīng)致力于培育學(xué)生獨立思考和及時反思的能力.

參考文獻：

［1］ 武瑞雪. “函數(shù)的概念和圖象（1）”的教學(xué)設(shè)計與意圖分析：兼談批判性思維的培養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（8）：1-5.