［摘 要］ 章建躍老師所提出的“三個(gè)理解”教學(xué)理念，為新課改背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了生機(jī). 文章以“基本不等式”的教學(xué)為例，從“基于整體視域理解數(shù)學(xué)”“基于思維水平理解學(xué)生”“基于知識(shí)體系理解教學(xué)”三個(gè)維度展開(kāi)研究，并具體談一談如何基于這些維度對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生與教學(xué)形成客觀的理解，以從真正意義上優(yōu)化課堂教學(xué).

［關(guān)鍵詞］ 三個(gè)理解；課堂教學(xué)；基本不等式

作者簡(jiǎn)介：夏華（1984—），中小學(xué)高級(jí)教師，南通市學(xué)科帶頭人，曾榮獲江蘇省基礎(chǔ)教育青年教師教學(xué)基本功大賽（高中數(shù)學(xué)）一等獎(jiǎng)，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

“三個(gè)理解”即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，該理念由章建躍老師提出. 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)，該理念是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)，也是讓課堂教學(xué)在課改浪潮中砥礪前行的保障. “基本不等式”是高中階段重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一，聚焦于“三個(gè)理解”，為其設(shè)計(jì)教學(xué)方案，能讓學(xué)生更好地理解基本不等式的本質(zhì)，靈活應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.

基于整體視域理解數(shù)學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將不等式內(nèi)容分為三個(gè)模塊：①學(xué)會(huì)描述不等關(guān)系，了解不等式的基本性質(zhì)，建立基本不等式、一元二次不等式、二元一次不等式（組），并考慮它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用（如線性規(guī)劃問(wèn)題）［1］；②將導(dǎo)數(shù)作為探索不等式性質(zhì)的工具，同時(shí)借助不等式探索函數(shù)的性質(zhì)；③關(guān)注不等式的證明過(guò)程，能用歸納法求證不等式.

在以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課堂教學(xué)中，教師需關(guān)注學(xué)生各項(xiàng)素養(yǎng)的發(fā)展情況. 本節(jié)課主要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng). 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段；直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段；邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式［2］. 在探索基本不等式的相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主運(yùn)算與證明，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)；基本不等式具有幾何背景，教師可帶領(lǐng)學(xué)生基于圖形的視角揭露基本不等式的本質(zhì)，以提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

通過(guò)深入分析基本不等式可以發(fā)現(xiàn)，基本不等式通常涉及兩個(gè)正實(shí)數(shù)，在運(yùn)算時(shí)揭示了它們不同平均值之間的關(guān)系，從而彰顯了數(shù)學(xué)運(yùn)算的強(qiáng)大力量. 若從不同維度來(lái)探索基本不等式的背景，還有許多發(fā)現(xiàn). 在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識(shí)地強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟基本不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，從而為提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

在探討基本不等式時(shí)，首先解析“基本”一詞，它所指的運(yùn)算包括加法、減法、乘法以及開(kāi)方這些基礎(chǔ)操作；其次根據(jù)不同的背景利用不同的方式證明基本不等式的多樣性；最后將基本不等式作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出其他不等式，展現(xiàn)不等式的多樣性.

綜上分析，在基本不等式的第一課時(shí)中，學(xué)生所探索的內(nèi)容相對(duì)有限，具體體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①運(yùn)算能力是本章節(jié)的核心，然而，單靠一節(jié)課的時(shí)間難以提高學(xué)生的運(yùn)算水平. 因此，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)運(yùn)算融入到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，使學(xué)生在不知不覺(jué)中強(qiáng)化運(yùn)算技能. ②證明基本不等式需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備，而第一課時(shí)所能涵蓋的基礎(chǔ)知識(shí)是有限的. 因此，本節(jié)課教學(xué)應(yīng)當(dāng)從宏觀角度出發(fā)，精心安排單元起始課程，使學(xué)生對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)和所涉及的思想方法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，從而為深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

基于思維水平理解學(xué)生

理解學(xué)生首先需了解學(xué)情，對(duì)學(xué)生的思維水平有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí). 基本不等式的定義、性質(zhì)及證明背景和幾何意義是教學(xué)重點(diǎn). 本節(jié)課以學(xué)生感興趣的趙爽弦圖作為情境素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察與分析趙爽弦圖，抽象出a2+b2≥2ab（a，b∈R），并在替換中建構(gòu)基本不等式. 從發(fā)展心理學(xué)的視角來(lái)看，學(xué)生思維的現(xiàn)有領(lǐng)域與可能達(dá)到的領(lǐng)域之間存在著一個(gè)最近發(fā)展區(qū). 在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何使用趙爽弦圖來(lái)證明勾股定理，這代表了他們思維的現(xiàn)有領(lǐng)域. 基于此，提出適當(dāng)?shù)膯?wèn)題可以激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從而加深他們對(duì)不等式概念的理解.

在探索過(guò)程中，有這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：探索a2+b2≥2ab時(shí)，應(yīng)用，（a＞0，b＞0）來(lái)替代不等式中的a，b，得到a+b≥2. 這一步驟常常讓很多學(xué)生感到困惑，然而它卻恰恰深刻地體現(xiàn)了基本不等式的本質(zhì)：兩個(gè)正數(shù)和與積的不等關(guān)系. 要真正理解這一本質(zhì)，并非僅憑本節(jié)課就能實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，而應(yīng)在本節(jié)課的基礎(chǔ)上，通過(guò)多節(jié)課的深入學(xué)習(xí)和積累才能達(dá)成. 鑒于此，揭露知識(shí)本質(zhì)是本節(jié)課需要突破的教學(xué)難點(diǎn). 教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)入手，探討“兩個(gè)正數(shù)之和”的表達(dá)方式，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 具體的教學(xué)步驟如下：

師：在趙爽弦圖的基礎(chǔ)上，我們通過(guò)探索抽象出了不等式a2+b2≥2ab，（a，b∈R），現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)用文字語(yǔ)言來(lái)描述該不等式所傳遞的信息.

生1：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和必然比它們乘積的兩倍要大.

師：確實(shí)，這是對(duì)原句的直接翻譯.

生2：就式子本身來(lái)看，式子的左邊就是兩個(gè)正數(shù)的和，但右邊不知道怎么描述更合理.

師：關(guān)于式子的右邊，你是怎么想的？

生2：式子的右邊需要分別描述a，b的正負(fù)兩種情況，然而這種描述方式略顯煩瑣.

師：理解得不錯(cuò)，看來(lái)同學(xué)們對(duì)這個(gè)不等式已經(jīng)有了自己的想法，關(guān)于不太好直接描述的部分，咱們先把問(wèn)題放在一邊，后續(xù)再回來(lái)分析. 現(xiàn)在請(qǐng)大家思考：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，可用替換的方式獲得不等式a+b≥2，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述該不等式呢？

生3：可以描述為“兩個(gè)正數(shù)之和必然不會(huì)小于它們各自平方根乘積的兩倍”.

生4：是不是應(yīng)該描述為“算術(shù)平方根的乘積”？

師：你們覺(jué)得哪種描述更合理？

生5：我認(rèn)為應(yīng)該描述為“算術(shù)平方根的乘積”. 雖然生3的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但他的描述也給我們帶來(lái)了一些啟示.

師：非常好！數(shù)學(xué)無(wú)疑是一門(mén)追求卓越的學(xué)科，同學(xué)們?cè)谔剿鬟^(guò)程中能夠不斷完善自己的認(rèn)知體系，值得贊揚(yáng).

接下來(lái)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)不等式a+b≥2進(jìn)行了變形處理，進(jìn)入探索≤的環(huán)節(jié).

證明基本不等式，需要學(xué)生自主將不同的知識(shí)相互關(guān)聯(lián)起來(lái)，這是提升學(xué)生學(xué)力的好時(shí)機(jī). 在課堂上，教師帶領(lǐng)學(xué)生從構(gòu)造函數(shù)、向量、幾何圖形或應(yīng)用作差法等方面著手分析，通過(guò)“由形至數(shù)”的視角深入剖析，闡釋不等式的幾何含義，推動(dòng)深度學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)性的發(fā)生，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維能力.

從某種意義上來(lái)講，借助趙爽弦圖來(lái)解釋a+b≥2并不難，但將邊長(zhǎng)設(shè)定為，，則讓學(xué)生感到別扭. 同時(shí)，教材所提出的“圓內(nèi)雙垂直結(jié)構(gòu)”，給學(xué)生的思維帶來(lái)了困惑. 教師若直接將證明過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，必然失去一個(gè)上好的探究機(jī)會(huì). 因此，在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)通過(guò)適當(dāng)引導(dǎo)，啟迪學(xué)生的思維，讓學(xué)生進(jìn)入自主探索的狀態(tài).

師：大家通過(guò)探索，已經(jīng)能根據(jù)趙爽弦圖獲得a+b≥2這個(gè)不等式，此為重要不等式，趙爽弦圖就是它的幾何背景. 現(xiàn)在，大家一起深入探究這個(gè)不等式背后的幾何意義，并從幾何視角對(duì)其進(jìn)行分析.

提出這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生展現(xiàn)出了濃厚的興趣，課堂氣氛隨之達(dá)到了一個(gè)小高潮.

生6：當(dāng)我看到時(shí)，映入腦海的首先是之前所學(xué)的“射影定理”，即直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng). 根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可構(gòu)造圖1來(lái)理解.

生7：接著這位同學(xué)的思路，可知線段AB=a+b，斜邊中線EA=. 至此，就能給不等式≤做如下解釋：如圖2所示，直角三角形斜邊上的高，必然不會(huì)比斜邊中線的長(zhǎng)度長(zhǎng).

師：分析得很好，那么等號(hào)成立需滿足什么條件呢？

生8：當(dāng)a=b，即點(diǎn)D，E重合時(shí)等號(hào)成立.

師：結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，大家探索出了基本不等式所具備的幾何特征. 綜上分析，先將直角三角形斜邊上的高構(gòu)造出來(lái)，再令DA=a，DB=b，由此獲得解釋. 若將正數(shù)a，b作為給定條件，該怎樣構(gòu)造三角形呢？

生9：如圖3所示，通過(guò)作圓來(lái)構(gòu)造線段AB. 令A(yù)B=a+b，在線段AB上取點(diǎn)D，令DA=a，BD=b，以AB為直徑作圓O，再作AB的垂線，垂足為D，且與圓O相交于點(diǎn)C，此時(shí)所獲得的直角三角形ABC就是滿足條件的三角形.

師：不錯(cuò)，如此就形成了一個(gè)雙垂直的結(jié)構(gòu)，可否用圓的元素來(lái)揭示基本不等式呢？

關(guān)于此問(wèn)，學(xué)生對(duì)于用來(lái)表示半徑毫無(wú)異議，但對(duì)于刻畫(huà)感覺(jué)比較棘手. 為了提升學(xué)生的自主探索能力，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的觀點(diǎn).

生10：過(guò)點(diǎn)D的垂線與圓O有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為C，E，則CE就是圓O的一根弦，可確定CE的一半與CD相等，描述為一個(gè)圓內(nèi)的弦長(zhǎng)的一半不會(huì)比該圓的半徑長(zhǎng). 但我不確定這種說(shuō)法是否合理.

生11：我認(rèn)為是合理的，根據(jù)垂徑定理可證實(shí).

師：你們的思維很活躍，這兩位同學(xué)合力為我們提供了一種新的基本不等式的幾何表述法，即圓內(nèi)弦長(zhǎng)的一半必然比該圓的半徑短. 同學(xué)們能否說(shuō)一說(shuō)什么情況下它們是相等的呢？

生12：當(dāng)弦為直徑時(shí)，它們就相等了.

綜上分析，理解學(xué)生的核心在于洞察其思維狀態(tài)，引導(dǎo)他們運(yùn)用數(shù)學(xué)的視角和語(yǔ)言來(lái)觀察并表述數(shù)學(xué)問(wèn)題. 通過(guò)親身體驗(yàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變過(guò)程，學(xué)生能夠不斷提煉知識(shí)的精髓，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解.

基于知識(shí)體系理解教學(xué)

本節(jié)課的教學(xué)主題為“基本不等式”，學(xué)生只有深入學(xué)習(xí)，才能從真正意義上掌握“基本”一詞. 基于單元整體來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，能夠助力學(xué)生逐步深入理解知識(shí)的核心本質(zhì). 作為起始課程，本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生從推導(dǎo)、證明以及幾何理解的角度出發(fā)，進(jìn)行深入的探討和思考，這是構(gòu)建知識(shí)體系的基石.

在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，教師不能只考慮本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，而應(yīng)基于整體視域綜合考慮所有課時(shí)的教學(xué)U0Z6plgCVBBztLpM9kk2aL+uH570A2Bpyol1N4/gjFE=內(nèi)容. 通過(guò)循序漸進(jìn)的教學(xué)方法，逐步加深學(xué)生對(duì)新概念的理解和應(yīng)用能力. 在合作交流和實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生能夠不斷鞏固和加強(qiáng)他們的認(rèn)知，激發(fā)思維活力，從而提高學(xué)習(xí)能力.

從章節(jié)起始課的角度來(lái)看，若要實(shí)現(xiàn)教學(xué)的系統(tǒng)化和整體化，特別需要重視知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 例如，在教學(xué)基本不等式時(shí)，通過(guò)各種變形技巧來(lái)鍛煉學(xué)生的思維靈活性，并強(qiáng)調(diào)“基本”一詞的含義，即基本不等式不僅具有多種變形的可能性，還具備豐富的證明方法. 鼓勵(lì)學(xué)生用幾何圖形來(lái)解釋基本不等式，可進(jìn)一步幫助他們提煉數(shù)形結(jié)合思想，讓他們?cè)凇靶巍迸c“數(shù)”的互換中發(fā)展辯證思維，在探索基本不等式的方法上獲得一致性的認(rèn)識(shí).

從發(fā)展心理學(xué)的角度來(lái)看，思維的發(fā)展需經(jīng)歷一個(gè)由淺入深的過(guò)程. 為了提升學(xué)生的思維能力，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，思考和分析問(wèn)題，取得了顯著的成效. 較為典型的例子是證明基本不等式，學(xué)生從代數(shù)的角度分析為何使用，（a＞0，b＞0）替代a，b，獲得不等式a+b≥2；探索基本不等式的幾何解釋，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，構(gòu)建數(shù)與三角形之間的關(guān)系，并與圓聯(lián)系起來(lái)，從而深刻揭示了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

隨著探索的深入，學(xué)生不僅對(duì)本節(jié)課所涉及的知識(shí)點(diǎn)有了清晰的理解，還掌握了從宏觀視角分析章節(jié)學(xué)習(xí)的方法，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻體會(huì)到了數(shù)學(xué)思想方法的重要性，為今后發(fā)現(xiàn)、分析、理解和解決更復(fù)雜的問(wèn)題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

綜上所述，在“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”的基礎(chǔ)上實(shí)施教學(xué)，不僅能讓學(xué)生從整體視域發(fā)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的特性，還能在思考與辯論中掌握知識(shí)的核心，提煉數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)終身可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陳義明. 在教學(xué)中踐行“三個(gè)理解”：以《基本不等式（第1課時(shí)）》的教學(xué)為例［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（12）：33-36.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.