［摘 要］ 文章嘗試通過深入剖析數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)，探索高中數(shù)學(xué)建模試題的創(chuàng)編路徑. 該過程緊密依托教材內(nèi)容，貼近生活實(shí)際，嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)教模的命題原則與評(píng)價(jià)機(jī)制. 同時(shí)，文章創(chuàng)新性地引入了多樣化的題型設(shè)計(jì)，包括填空題、選擇題與簡(jiǎn)答題，旨在全面而深入地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；試題創(chuàng)編；命題

作者簡(jiǎn)介：陳駿 （1982—） ，本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)及數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)置為一條獨(dú)立且顯著的主線，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)建模的重視程度.滬教版新教材將數(shù)學(xué)建模內(nèi)容獨(dú)立編纂成冊(cè)——必修第四冊(cè)［1］與選擇性必修第三冊(cè)［2］，兩冊(cè)教材一共收錄了20個(gè)建模案例. 包羅萬象的主題，教師和學(xué)生能夠根據(jù)自己的興趣與專長(zhǎng)進(jìn)行選擇. 獨(dú)立編纂成冊(cè)的數(shù)學(xué)建模教材，憑借它的相對(duì)系統(tǒng)性和完整性，可以幫助教師理解數(shù)學(xué)建模的意義和特點(diǎn)，逐步體會(huì)并形成數(shù)學(xué)建模的教學(xué)規(guī)范，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生參與相應(yīng)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模的真諦［3］.

如何考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)呢？在2022年上海市高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試中，出現(xiàn)了一道別具一格的試題——“探討房屋出租方案的優(yōu)化決策”. 在給定問題的情況下，要求學(xué)生分析相關(guān)因素、提出合理假設(shè)，并用數(shù)學(xué)語言給出理由. 本試題分別從數(shù)學(xué)建模的不同環(huán)節(jié)過程和不同能力水平，全面考查學(xué)生的核心素養(yǎng). 同時(shí)，本試題是數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的一個(gè)里程碑，激發(fā)了廣大同仁對(duì)建模試題創(chuàng)編的熱情. 筆者將盡力以教材中的案例為藍(lán)本，初步探討數(shù)學(xué)建模試題的創(chuàng)編路徑和形式，旨在激發(fā)更多思考與討論，起到拋磚引玉的作用.

考查建?；顒?dòng)中的各個(gè)環(huán)節(jié)

新課標(biāo)給出了數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過程，并指出“教學(xué)活動(dòng)包括，對(duì)于給出的問題情境，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、完善數(shù)學(xué)模型、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、說明結(jié)論意義的全過程”［4］. 有學(xué)者將此過程分為上游、中游、下游三個(gè)階段［5］，筆者將兩者結(jié)合，得到如圖1所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

1. 提出問題環(huán)節(jié)

上游源于“在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”.試題中的問題，通常源于命題人的精心構(gòu)思. 若鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題，不僅能夠深刻檢驗(yàn)學(xué)生的分析與理解能力，更能反映學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 由于上游不涉及模型求解，復(fù)雜問題也能在此初步分析，故上游可考查的范圍較廣. 在此環(huán)節(jié)中，建議采用簡(jiǎn)答題的形式來呈現(xiàn)所創(chuàng)編的試題.

例1 同學(xué)們?nèi)绻麜r(shí)常閱讀報(bào)紙或?yàn)g覽新聞網(wǎng)站，可能看到過關(guān)于大型車輛右轉(zhuǎn)時(shí)引發(fā)交通事故的報(bào)道.有時(shí)事故嚴(yán)重，危及了人的生命. 為什么大型車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)容易引發(fā)事故？細(xì)讀一些報(bào)道和查閱相關(guān)資料后發(fā)現(xiàn)，這些事故中很大一部分與“內(nèi)輪差”有關(guān). 根據(jù)上述情境，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)有意義的問題.（本題改編自必修第四冊(cè)《車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的安全隱患》）

參考答案 ①為什么“內(nèi)輪差”會(huì)造成傷害事故？②產(chǎn)生“內(nèi)輪差”的原因是什么？③“內(nèi)輪差”的大小與哪些因素有關(guān)？

例2 同學(xué)們會(huì)利用假期游覽祖國(guó)大好河山，親身感受祖國(guó)在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化等方面的發(fā)展.如果你有計(jì)劃去世界文化與自然雙重遺產(chǎn)之稱的黃山旅游，那么請(qǐng)你先制作一份游覽規(guī)劃吧！根據(jù)上述情境，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)有意義的問題.（本題改編自必修第四冊(cè)《登山行程設(shè)計(jì)》）

參考答案 ①如何設(shè)計(jì)登山行程可以兼顧省時(shí)、省力、省錢的需求？②如何設(shè)計(jì)登山路線可以提高游玩的效率？

評(píng)析 上述兩題源于新教材中的案例，與日常生活息息相關(guān)，要求學(xué)生先用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，理解事物的關(guān)聯(lián)，再用數(shù)學(xué)思維思考世界，提出明確的問題. 所謂“有意義的問題”是指值得去研究的問題，可以是現(xiàn)實(shí)問題，最好是數(shù)學(xué)化的問題. 提出一個(gè)有意義的問題是本環(huán)節(jié)的教學(xué)難點(diǎn). 評(píng)價(jià)此類題目時(shí)，可按滿意原則打分.

2. 建立模型環(huán)節(jié)

中游的主要任務(wù)是建立、求解和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，是?shù)學(xué)建模的核心環(huán)節(jié).學(xué)生需要注重知識(shí)儲(chǔ)備、經(jīng)驗(yàn)積累，更需要勇于探索的精神和攻堅(jiān)克難的毅力，還需要一定的洞察力和想象力. 中游問題可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，磨礪他們的意志，并充分反映他們的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

建立模型環(huán)節(jié)考查學(xué)生能否將現(xiàn)實(shí)模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，并提出合理的假設(shè)來簡(jiǎn)化模型. 例如，《紅綠燈管理》案例中可以通過假設(shè)車流量均勻，忽略行人來簡(jiǎn)化模型；《削菠蘿》案例中將菠蘿眼視作矩形內(nèi)整齊排列的點(diǎn)陣. 事實(shí)上，基于不同的假設(shè)有可能得到不同的模型，假設(shè)的數(shù)量決定著后期求解模型的難易度. 在此環(huán)節(jié)中，建議采用簡(jiǎn)答題或選擇題的形式呈現(xiàn)所創(chuàng)編的試題.

例3 在《雨中行》案例中，為使模型不至于太復(fù)雜，請(qǐng)你提出一個(gè)有效的假設(shè).

參考答案 ①假設(shè)降雨強(qiáng)度保持不變；②將人體視為一個(gè)長(zhǎng)方體；③假設(shè)行人的上半身保持固定的行走姿勢(shì)；④假設(shè)無風(fēng)或者風(fēng)向保持不變.

例4 在《雨中行》案例中，你認(rèn)為下列哪些因素會(huì)對(duì)行人淋雨量的大小產(chǎn)生影響？（ ）

A. 風(fēng)速？搖？搖 B. 風(fēng)向？搖？搖

C. 降雨強(qiáng)度？搖？搖 D. 室外溫度

E. 行走速度

參考答案 ABCE

評(píng)析 上述兩題中，首先，學(xué)生要明確該案例的任務(wù)——減少在雨中行走時(shí)的淋雨量，即回溯上游；其次，考慮與該問題有關(guān)的因素和可以簡(jiǎn)化模型的假設(shè). 本環(huán)節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生辨別各種因素的影響程度，既考驗(yàn)學(xué)生對(duì)生活常識(shí)的積累，又考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3. 求解模型環(huán)節(jié)

求解模型環(huán)節(jié)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力. 學(xué)生需要根據(jù)具體情況綜合、靈活地運(yùn)用幾何、代數(shù)、三角、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型，需要平時(shí)的不斷積累和強(qiáng)化訓(xùn)練. 此環(huán)節(jié)是現(xiàn)今數(shù)學(xué)建模過程中考查得最多的環(huán)節(jié)，即傳統(tǒng)的應(yīng)用題，建議采用簡(jiǎn)答題的形式呈現(xiàn)所創(chuàng)編的試題.例如，2017年高考上海卷第19題——共享單車保有量問題，2018年高考上海卷第19題——人均通勤時(shí)間問題，2021年上海卷第19題——企業(yè)營(yíng)業(yè)額問題，等等，都以數(shù)學(xué)建模為載體，數(shù)學(xué)抽象在先，數(shù)學(xué)運(yùn)算在中，邏輯推理在后，直觀想象在暗，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4. 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ铜h(huán)節(jié)

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ铜h(huán)節(jié)考查學(xué)生能否將數(shù)學(xué)結(jié)果解釋為實(shí)際問題的結(jié)果或方案，并用實(shí)際的現(xiàn)象或數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證，通過反思模型的不足之處改進(jìn)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維. 在本環(huán)節(jié)中，建議采用填空題或簡(jiǎn)答題的形式呈現(xiàn)所創(chuàng)編的試題.

例5 在《水葫蘆的生長(zhǎng)》案例中，水葫蘆的生長(zhǎng)規(guī)律需要按季節(jié)分成三段函數(shù)來擬合，因此二次函數(shù)模型并不能有效地刻畫水葫蘆的生長(zhǎng)規(guī)律，則可采用______模型.

參考答案 邏輯斯蒂函數(shù).

例6 小明將沙發(fā)通過轉(zhuǎn)角處的移動(dòng)視為矩形在平面上的平移與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，隨后建立相應(yīng)的三角函數(shù)模型，最后算得矩形的較長(zhǎng)邊大于轉(zhuǎn)角處的最大幅度，所以他判斷沙發(fā)無法通過該轉(zhuǎn)角. 而生活實(shí)際中，經(jīng)驗(yàn)豐富的搬運(yùn)工卻能巧妙地通過. 你認(rèn)為小明的建模方法不合理在哪里？應(yīng)當(dāng)如何改進(jìn)？（本題改編自必修第四冊(cè)《家具搬運(yùn)》）

參考答案 在家具搬運(yùn)過程中，二維平面比三維空間的局限性大，可以考慮添加第三個(gè)維度或?qū)⑸嘲l(fā)的最長(zhǎng)邊豎起來搬運(yùn).

評(píng)析 本環(huán)節(jié)通過實(shí)際結(jié)果與模型結(jié)論的對(duì)比，讓學(xué)生找出模型不合理的原因，發(fā)現(xiàn)是由于因素考慮不全面，模型假設(shè)不合理，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤. 正確合理的數(shù)學(xué)模型通常不是一蹴而就就能建立的，對(duì)模型的檢驗(yàn)和驗(yàn)證必不可少，甚至需要多次反思和改進(jìn)，最終達(dá)到理論與實(shí)踐的統(tǒng)一. 本環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的觀察力和邏輯推理能力有較高要求，需要學(xué)生在日常生活中保持深入觀察和理性思考.

5. 反饋模型環(huán)節(jié)

下游的特點(diǎn)在于模型構(gòu)建完成，主要考查模型的實(shí)際應(yīng)用，既可以解釋模型，又可以闡釋結(jié)論. 例如，通過《“誘人”的優(yōu)惠劵》案例可知，并不是物品買得越多，優(yōu)惠率越高，所以提倡理性消費(fèi)，制定一個(gè)合理的購物方案；通過《剎車距離》案例可知，反應(yīng)時(shí)間是影響剎車距離的重要因素，因此駕車時(shí)須集中注意力，杜絕酒駕、疲勞駕駛，嚴(yán)格遵守交通規(guī)則. 即便是尚未學(xué)習(xí)過的復(fù)雜模型，也可以讓學(xué)生應(yīng)用該模型解釋或解決實(shí)際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和育人價(jià)值. 在本環(huán)節(jié)中，建議采用填空題或選擇題的形式呈現(xiàn)所創(chuàng)編的試題.

例7 （北京海淀區(qū)2021～2022學(xué)年高三上學(xué)期期中試題）某生物種群數(shù)量Q與時(shí)間t的關(guān)系近似地符合Q（t）=，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①該生物種群的數(shù)量不會(huì)超過10；

②該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度先逐漸變大后逐漸變小；

③該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度與種群數(shù)量成正比；

④該生物種群數(shù)量的增長(zhǎng)速度最大的時(shí)間t∈（2，3）.

依據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.

評(píng)析 本題中的關(guān)系式源于著名的邏輯斯蒂函數(shù)，該函數(shù)是描述在資源有限的條件下種群連續(xù)增長(zhǎng)的一個(gè)最佳數(shù)學(xué)模型，稱為邏輯斯蒂增長(zhǎng). 這是在生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)的經(jīng)典范例，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性. 高考數(shù)學(xué)中曾多次出現(xiàn)以該模型為背景的題目.即便學(xué)生沒有學(xué)過邏輯斯蒂函數(shù)，但依然可以利用該函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果，推理出各種結(jié)論. 本題主要考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

結(jié)語

數(shù)學(xué)建模的試題創(chuàng)編可以針對(duì)建模過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)，也可以針對(duì)數(shù)學(xué)建模的不同素養(yǎng)水平. 知識(shí)立足課本，內(nèi)容貼近生活. 依據(jù)試題類型與評(píng)價(jià)形式的多樣性及靈活性進(jìn)行編制，以更加契合數(shù)學(xué)教模的命題原則與評(píng)價(jià)機(jī)制. 上述內(nèi)容是筆者對(duì)數(shù)學(xué)建模試題編制之若干見解的闡述. 數(shù)學(xué)建模試題編制工作尚處初探階段，諸多方面亟需深入探索與實(shí)踐，這需要廣大數(shù)學(xué)教育工作者夜以繼日地努力，共同推動(dòng)試題質(zhì)量與規(guī)模實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 上海市中小學(xué)（幼兒園）課程改革委員會(huì).普通高中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

［2］ 上海市中小學(xué)（幼兒園）課程改革委員會(huì). 普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)［M］. 上海：上海教育出版社，2021.

［3］ 上海市中小學(xué)（幼兒園）課程改革委員會(huì). 普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考資料必修第一冊(cè)［M］. 上海：上海教育出版社，2020.

［4］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 倪黎，茹凱，顏寶平. “數(shù)學(xué)建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題分析與命題探索［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（2）：69-76.