基于MATLAB的一元二次函數(shù)APP設(shè)計(jì)及教學(xué)應(yīng)用

摘要：在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)的運(yùn)用對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生著深刻影響。本文中設(shè)計(jì)了一款基于MATLAB的一元二次函數(shù)APP，不僅可展示一元二次函數(shù)的靜態(tài)曲線圖像，還能動(dòng)態(tài)演示函數(shù)曲線隨參數(shù)變化的效果，這對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)，提升課堂教學(xué)效率有一定的積極作用。

關(guān)鍵詞：MATLAB；APP；一元二次函數(shù)；可視化

一、引言

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)之一，對(duì)其內(nèi)在本質(zhì)的理解和掌握影響著學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的提升和分析問(wèn)題能力的增強(qiáng)。但函數(shù)是一個(gè)抽象且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍?，枯燥無(wú)趣的數(shù)學(xué)公式往往使得邏輯思維能力較弱，抽象概念難以具體化的學(xué)生跟不上教師的課堂教學(xué)節(jié)奏，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性下降，學(xué)習(xí)效果不佳，課堂教學(xué)效率不高。在信息時(shí)代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用對(duì)各學(xué)科教育產(chǎn)生著深刻影響，計(jì)算機(jī)模擬仿真已成為課堂教學(xué)中廣泛使用的一項(xiàng)輔助教學(xué)手段。目前主流的數(shù)學(xué)教學(xué)輔助軟件，如動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra、幾何畫板等可將代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀形象的表格、圖形等方式集于一體，使枯燥復(fù)雜單調(diào)的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系感官化，使抽象的函數(shù)計(jì)算、符號(hào)方程等可視化，形象化的數(shù)字圖像使學(xué)生能更加容易地掌握函數(shù)的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)了信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機(jī)融合；而且軟件簡(jiǎn)單、易用、易懂、全面的特點(diǎn)能滿足大部分的數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)需求，靈活多樣的操作方式突破了傳統(tǒng)教法中存在的數(shù)學(xué)圖像只能現(xiàn)場(chǎng)靜態(tài)展示而不能動(dòng)態(tài)演示等的限制，提高了課堂教學(xué)過(guò)程的活躍性。

二、MATLAB 的應(yīng)用

MATLAB是一款優(yōu)秀的軟件，它將數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)可視化及交互式程序設(shè)計(jì)等諸多應(yīng)用集于一體，能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)組矩陣的運(yùn)算、函數(shù)和數(shù)據(jù)的繪制、算法的實(shí)現(xiàn)、用戶界面的創(chuàng)建，以及其他編程語(yǔ)言程序的連接等功能。因其語(yǔ)法規(guī)則簡(jiǎn)單易學(xué)、界面友好、平臺(tái)可移植性和可輕松可視化數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，滿足了大部分?jǐn)?shù)學(xué)課堂教學(xué)的需要，也逐漸被人們所熟知和關(guān)注。如李曉鵬在運(yùn)用MATLAB解決函數(shù)圖像繪制和數(shù)據(jù)集中程度分析等問(wèn)題的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)其對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)、學(xué)習(xí)效率的提升等都起著積極作用[1]。吳丹運(yùn)用 MATLAB軟件進(jìn)行了一元線性回歸模型的求解和橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的探索，發(fā)現(xiàn)可以很好地優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的落實(shí)[2]。李業(yè)斌等人設(shè)計(jì)了基于多樣化方式的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證數(shù)學(xué)原理的正確性，啟發(fā)了學(xué)生創(chuàng)造性和探究學(xué)習(xí)主動(dòng)性[3]。米秀旭探究了高中數(shù)學(xué)教學(xué)引入MATLAB的必要性，利用該軟件可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)圖像的可視化和形象化，將理論和實(shí)踐進(jìn)行有效聯(lián)系，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)習(xí)興趣，并能更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力[4]。

雖然MATLAB輔助中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用多有報(bào)道，但大多應(yīng)用需要有一定的軟件編程基礎(chǔ)，這制約了MATLAB在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中的推廣。實(shí)際上，MATLAB自帶的圖形用戶界面開(kāi)發(fā)環(huán)境具有良好的人機(jī)交互功能，其提供了用于構(gòu)建交互式用戶界面的大量函數(shù)和工具，用戶可以選擇合適的控件以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的交互和可視化。最近，MATLAB提供了新的交互式開(kāi)發(fā)環(huán)境App Designer，相比于以前的GUI開(kāi)發(fā)環(huán)境，App Designer可直接在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上運(yùn)行應(yīng)用程序，且兼容html5，集成圖標(biāo)、視頻、網(wǎng)頁(yè)等多種形式，使用戶能更加方便地實(shí)現(xiàn)美觀仿真界面的設(shè)計(jì)。

函數(shù)貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的始終，用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法。由一元二次函數(shù)觀點(diǎn)出發(fā)，可以進(jìn)一步地讓學(xué)生理解其與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的整體性。筆者根據(jù)近年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用MATLAB的交互式環(huán)境開(kāi)發(fā)功能，設(shè)計(jì)了一款一元二次函數(shù)APP，在課堂教學(xué)活動(dòng)中教師無(wú)需現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行復(fù)雜的代碼編程操作，只需在圖形界面上簡(jiǎn)單地輸入?yún)?shù)或者滑動(dòng)滑塊就可生成一元二次函數(shù)的靜態(tài)圖像比較和動(dòng)態(tài)圖像展示，使得教學(xué)內(nèi)容更加生動(dòng)和具體，有助于學(xué)生對(duì)一元二次函數(shù)、方程和不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，訓(xùn)練了學(xué)生分析和解決函數(shù)問(wèn)題的能力，增強(qiáng)了他們的邏輯思維、數(shù)學(xué)建模意識(shí)和科學(xué)素養(yǎng)，而且節(jié)約了課堂授課時(shí)間，提升了教學(xué)效率。

三、APP框架設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

（一）設(shè)計(jì)思路

一元二次函數(shù)的一般形式為f（x） = ax2+bx+c，其中a、b、c分別是自變量x不同冪次的系數(shù)。根據(jù)函數(shù)公式可知，影響x處的函數(shù)值的參量為a、b、c 等3個(gè)參量?？紤]到APP設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)為繪制出函數(shù)的曲線圖，用于理解函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，那么首先需要在APP設(shè)計(jì)視圖中添加一個(gè)用于繪制圖形的軸控件以及實(shí)現(xiàn)三個(gè)參量輸入功能的編輯字段（數(shù)值）控件，還需添加一個(gè)用于實(shí)現(xiàn)繪圖響應(yīng)功能的按鈕控件。再次考慮，其中的任何一個(gè)參數(shù)的改變將引起函數(shù)曲線的變化，如果需要比較曲線隨參數(shù)的變化規(guī)律，那么還需要設(shè)置一個(gè)按鈕控件，其功能是將參數(shù)變化后的曲線與變化前的曲線繪制在一張圖上，以便進(jìn)行對(duì)比分析，找出函數(shù)參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)值的影響。如果再考慮到，前面實(shí)現(xiàn)的靜態(tài)曲線圖像畢竟不如動(dòng)態(tài)圖像展示的直觀鮮明和形象化，那么還需要設(shè)置三個(gè)滑塊控件以實(shí)現(xiàn)參數(shù)的連續(xù)變化，從而實(shí)現(xiàn)函數(shù)曲線的動(dòng)態(tài)變化效果。同時(shí)，還需添加調(diào)節(jié)自變量x的編輯字段控件，以便實(shí)現(xiàn)對(duì)自變量x范圍的限制。另外，為了更好地查詢曲線和x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)及比較函數(shù)值f（x）的大小，還需設(shè)置坐標(biāo)區(qū)輪廓和輔助網(wǎng)格線功能的選擇復(fù)選框控件。

（二）框架草圖展示

將相應(yīng)的控件添加到設(shè)計(jì)視圖，調(diào)整各控件的尺寸、位置等基本屬性后，設(shè)計(jì)的APP框架圖如圖1所示。上方是函數(shù)的形式，用于使用者知曉該APP的函數(shù)參數(shù)定義及目標(biāo)功能。左下方的a、b、c數(shù)值可直接在APP界面上輸入，默認(rèn)數(shù)值為1、2、2。當(dāng)點(diǎn)擊“作圖”按鈕時(shí)，軸控件上將顯示函數(shù)的靜態(tài)曲線圖，橫坐標(biāo)x的默認(rèn)取值范圍為-4到4。修改相關(guān)參數(shù)并點(diǎn)擊“疊加”按鈕，在軸控件上將添加新的函數(shù)曲線，可體驗(yàn)到參數(shù)變化對(duì)函數(shù)曲線的影響。點(diǎn)擊“疊加”按鈕幾次則添加幾條函數(shù)曲線。在APP右側(cè)的動(dòng)態(tài)圖參數(shù)設(shè)置選項(xiàng)中，a、b、c參數(shù)取值范圍通過(guò)每個(gè)滑塊上方的數(shù)值控制，參數(shù)的具體值通過(guò)滑塊調(diào)節(jié)。三個(gè)滑塊的默認(rèn)取值范圍-1 ≤a≤ 1、-2 ≤b≤ 2、-3 ≤c≤ 3。坐標(biāo)區(qū)輪廓和輔助網(wǎng)格線選擇功能放置于界面右下角。

（三）回調(diào)函數(shù)編寫

當(dāng)設(shè)計(jì)好APP框架后，依次在需要的控件里編寫回調(diào)函數(shù)。回調(diào)函數(shù)是對(duì)控件觸發(fā)時(shí)的事件響應(yīng)函數(shù)，在這里要顯示的圖像均是一元二次函數(shù)的曲線圖，因此所有控件的回調(diào)函數(shù)代碼基本一致，只需設(shè)置一個(gè)統(tǒng)一的私有函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)所有函數(shù)曲線的繪制。私有函數(shù)設(shè)計(jì)流程為首先讀取界面參數(shù)，離散觀察范圍數(shù)據(jù)，然后計(jì)算函數(shù)的離散值，最后用plot（）函數(shù)繪制函數(shù)曲線。

（四）APP調(diào)試與編譯

當(dāng)APP調(diào)試完成后，可以將該界面編譯并打包成可執(zhí)行的獨(dú)立文件，以便學(xué)生在課下在自己的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)時(shí)練習(xí)和回顧，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的參與感。

四、APP教學(xué)應(yīng)用

下面介紹該APP在教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用。首先展示函數(shù)的參數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖像的影響。圖2（a）、（b）、（c）分別顯示了參數(shù)a、b、c取不同值時(shí)的一元二次函數(shù)靜態(tài)曲線圖。通過(guò)圖2（a）可以發(fā)現(xiàn)，a的大小決定了曲線的開(kāi)口方向和彎曲程度，a gt; 0時(shí)曲線開(kāi)口向上，函數(shù)值有極小值；a = 0時(shí)二次函數(shù)簡(jiǎn)化為一次函數(shù)，曲線變?yōu)橹本€；a lt; 0時(shí)曲線開(kāi)口向下，函數(shù)有極大值，且a絕對(duì)值越大曲線彎曲程度也越大。圖2（b）則展示了當(dāng)a ≠ 0且不變時(shí)曲線取極值時(shí)的位置由參數(shù)b決定，a gt; 0時(shí)b越大曲線越往x軸負(fù)方向移動(dòng)，而a lt; 0時(shí)曲線移動(dòng)方向恰好相反，當(dāng)b = 0時(shí)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱。通過(guò)圖2（b）的演示，讓學(xué)生能更加深刻地了解函數(shù)取極值時(shí)的位置為 x = -b/2a這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。圖2（c）則給出了參數(shù)c對(duì)函數(shù)曲線的影響，可以看到曲線形狀與c無(wú)關(guān)，但函數(shù)值隨著c的增大而單調(diào)增大。通過(guò)讓學(xué)生觀察參數(shù)a、b、c變化時(shí)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)比曲線變化，找出圖形與參數(shù)之間的關(guān)系，總結(jié)出一元二次函數(shù)的性質(zhì)，不僅能幫助學(xué)生加深對(duì)該函數(shù)性質(zhì)的理解，還有助于提升其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題的能力。

下面來(lái)看函數(shù)曲線圖與一元二次方程的關(guān)系。實(shí)際上，函數(shù)f（x） 值為0時(shí)就得到一個(gè)一元二次方程ax2+bx+c = 0，解方程就是求f（x） = 0時(shí)的x值，曲線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程f（x） = 0的根。由圖2（c）可以看到，a、b不變時(shí)c的大小決定了曲線與x軸是否有交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)則方程f（x） = 0有幾個(gè)根。如a = 1、b = 2固定，c = 2時(shí)的曲線與x軸無(wú)交點(diǎn)，這表明方程根不存在，也就是方程無(wú)解；而c = -2時(shí)，曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則表明方程有兩個(gè)根，根的值也可從圖上粗略地得出，約為-2.7和0.7。當(dāng)然，曲線與x軸是否有交點(diǎn)與其他兩個(gè)參數(shù)a、b也有關(guān)系，交點(diǎn)的位置由a、b、c三個(gè)參數(shù)共同決定。同時(shí)也可以看到，曲線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)將曲線分為三部分，其中左右兩側(cè)的曲線都在x軸上方或下方，表明此范圍的函數(shù)值均為正或者均為負(fù)，而中間的函數(shù)值符號(hào)則與兩側(cè)相反。函數(shù)f（x）值大于0或者小于0，也就是ax2+bx+c gt; 0或者ax2+bx+c lt; 0。在這里曲線圖與一元二次不等式也聯(lián)系起來(lái)了，不等式的解集是由使函數(shù)值大于0或小于0的自變量x的所有可能取值構(gòu)成的。如a = 1、b = 2、c = -2時(shí)曲線與x軸的交點(diǎn)約為-2.7和0.7，那么不等式x2+2x-2 gt; 0解集為{x|x lt; -2.7或x gt; 0.7}，不等式x2+2x-2 lt; 0解集為{x|-2.7 lt; x lt; 0.7}。因此，借助MATLAB可視化功能繪制一元二次函數(shù)的圖像，不僅可以直觀且準(zhǔn)確地判斷方程根的存在性和根的個(gè)數(shù)，還可以略估一元二次不等式的解集，從而進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手解題能力。

該APP還可用來(lái)展示函數(shù)曲線的動(dòng)態(tài)變化效果，即可連續(xù)調(diào)節(jié)a、b、c三個(gè)參數(shù)來(lái)演示f（x）曲線的實(shí)時(shí)變化，增強(qiáng)學(xué)生的圖形結(jié)合解題意識(shí)。當(dāng)滑動(dòng)某一個(gè)滑塊時(shí)，曲線的開(kāi)口方向、彎曲程度、極值點(diǎn)或與x軸的交點(diǎn)將隨之快速響應(yīng)，連續(xù)的靜態(tài)圖像幀合成為動(dòng)態(tài)圖像。相比于靜態(tài)曲線，動(dòng)態(tài)曲線能夠更好地吸引學(xué)生的注意力，提供更加豐富和有趣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

五、結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一款基于MATLAB的一元二次函數(shù)APP，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)的可視化和形象化，產(chǎn)生的靜態(tài)曲線和動(dòng)態(tài)曲線變化效果使得函數(shù)、方程、不等式等抽象的數(shù)學(xué)概念和公式變得更加生動(dòng)和具體。通過(guò)觀察和分析圖像，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)的理解和掌握，提升了學(xué)生學(xué)習(xí)效率，還培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)和空間想象能力。雖然本文只介紹了MATLAB在一元二次函數(shù)中的一個(gè)應(yīng)用，但MATLAB在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。在以后的教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，筆者將嘗試編寫冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等一些常規(guī)數(shù)學(xué)函數(shù)及圓錐曲線等幾何曲線的APP，期望借助靈活多變的函數(shù)曲線和動(dòng)態(tài)圖，將數(shù)學(xué)概念和公式用圖像展現(xiàn)出來(lái)，使數(shù)學(xué)中復(fù)雜的問(wèn)題變得更加容易解決，并輔助檢驗(yàn)結(jié)論的正確性。

參考文獻(xiàn)

[1] 李曉鵬.MATLAB軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用初探[J].數(shù)理化解題研究， 2023（2）：14-15.

[2] 汪丹.MATLAB輔助高中數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用研究——以落實(shí)直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)， 2023（13）：35-36.

[3] 李業(yè)斌，王華.基于多元方式的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備， 2018（13）：86-88.

[4] 米秀旭.MATLAB軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用推廣[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版， 2021（29）：34-36.