奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)

我們知道，凡是2的倍數(shù)的整數(shù)都叫作“偶數(shù)”，不是2的倍數(shù)的整數(shù)叫作“奇數(shù)”，任何偶數(shù)都可以表示成2n（這里n為整數(shù)）的形式，任何奇數(shù)都可以表示成2n+1的形式。奇數(shù)和偶數(shù)里蘊(yùn)含著許多十分簡單又明顯的性質(zhì)，我們可以通過舉例、歸納發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，也可以通過推理來證明這些規(guī)律。

性質(zhì)1：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)。如5+3=8，5-3=2；6+4=10，6-4=2；5+2=7，5-2=3等都說明上面的規(guī)律是成立的。又因?yàn)槠鏀?shù)表示為2n+1的形式，偶數(shù)表示為2n的形式，奇數(shù)+奇數(shù)=（2a+1）+（2b+1）=2（a+ b+1），2（a+b+1）是2倍數(shù)，所以結(jié)果一定是偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=2a+2b=2（a+b），2（a+b）是2的倍數(shù)，所以偶數(shù)+偶數(shù)的結(jié)果一定是偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=（2b+1）+2a=2（a+b）+1，因?yàn)?（a+b）+1一定是奇數(shù)，所以奇數(shù)+偶數(shù)的結(jié)果一定是奇數(shù)。

性質(zhì)2：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。如3×5=15，3×12=36，10×10=100等都說明上面的規(guī)律是成立的。因?yàn)槠鏀?shù)×奇數(shù)=（2a+1）×（2b+1）=4ab+2a+2b+1=2（2ab+a+b）+1，結(jié)果是奇數(shù)的形式，所以奇數(shù)×奇數(shù)的積為奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=（2b+1）×2a=4ab+2a=2（2ab+a），結(jié)果是偶數(shù)的形式，所以奇數(shù)×偶數(shù)的積一定是偶數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=2a×2b=4ab，結(jié)果也一定是偶數(shù)。

性質(zhì)3：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)，任意有限偶數(shù)個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù)。如：3+5+7+9+1=25，5個(gè)奇數(shù)相加的和是奇數(shù)；3+ 5+7+9+1+11=36，6個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)；6+8+10+12+2=38，2+4+6+8= 20，5個(gè)偶數(shù)相加、4個(gè)偶數(shù)相加的和都是偶數(shù)，說明上面的規(guī)律是成立的。又如，三個(gè)奇數(shù)相加，奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=2a+1+2b+1+2c+1=2（a+b+c+1）+1，結(jié)果是奇數(shù)形式，所以奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和是奇數(shù)。同樣偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加與偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加的和都能寫成偶數(shù)形式，所以它們的結(jié)果一定是偶數(shù)。

性質(zhì)4：任意有限個(gè)奇數(shù)相乘的積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)的乘積都是偶數(shù)。如1×3×5=15，3×5×9=135，2×1×5×4×8=320，說明上面的規(guī)律是成立的。

還有奇數(shù)（除了1以外）的平方除以4余數(shù)是1，偶數(shù)（除了0以外）的平方是4的倍數(shù)。如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是奇數(shù)，則其中每一個(gè)整數(shù)都是奇數(shù)；如果若干個(gè)整數(shù)的積是偶數(shù)，則其中至少有一個(gè)乘數(shù)是偶數(shù)。你還能用別的方法試著去驗(yàn)證這些規(guī)律嗎？