摘要：幾何直觀是促進(jìn)數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效途徑，是創(chuàng)新性思維活動(dòng)的開端，是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。當(dāng)前，幾何直觀教學(xué)存在直觀感知失衡、形數(shù)聯(lián)系失當(dāng)、圖表分析失準(zhǔn)等“失度”現(xiàn)象。為此，教師應(yīng)圍繞教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程和教學(xué)評價(jià)等展開多重比對建構(gòu)“適度”教學(xué)，通過教材重組、教學(xué)重構(gòu)、課堂重塑，促進(jìn)幾何直觀素養(yǎng)有效落地。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何直觀教學(xué);適度教學(xué)

引用格式：李君.初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)的“失度”與“適度”[J].教學(xué)與管理，2025（07）：45-49.

直觀是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)АＶ麛?shù)學(xué)家M·克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握?！睅缀沃庇^是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與問題解決的工具?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）明確指出：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。幾何直觀是初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)“三會(huì)”的主要表現(xiàn)之一，指向?qū)W生“數(shù)學(xué)眼光”的發(fā)展。教師要不斷精進(jìn)自身對幾何直觀的深刻理解，重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。依據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，幾何直觀使得認(rèn)知階段從“形式運(yùn)算”降低為“具體運(yùn)算”，即原本需要進(jìn)入“形式運(yùn)算”認(rèn)知水平才能展開探究的信息特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“具體運(yùn)算”認(rèn)知水平就可以進(jìn)行探索的信息特點(diǎn)[1]。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑[2]。然而，現(xiàn)實(shí)中幾何直觀教學(xué)常常存在“失度”現(xiàn)象，影響學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。因此，探討幾何直觀教學(xué)的“失度”與“適度”具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

一、初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)“失度”現(xiàn)象

幾何直觀是問題解決的第一道門檻。學(xué)會(huì)用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。在教學(xué)實(shí)踐中，很多教師雖然已經(jīng)意識(shí)到幾何直觀教學(xué)的重要性，但總是出現(xiàn)各種“失度”與“過度”，致使學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)無從提升。

1.直觀抽象失衡，導(dǎo)致圖形特征不明

“直觀”不僅是基于直接的感性認(rèn)識(shí)，也包含延伸的圖形思考。幾何直觀能幫助學(xué)生在解決問題時(shí)化抽象為具體、化復(fù)雜為簡單，有利于學(xué)生探索解決問題的思路，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展。但在觀察圖形時(shí)，有些教師沒有引導(dǎo)學(xué)生積極參與到學(xué)具的操作和觀察中來，學(xué)生只是被動(dòng)地接受課件中的抽象信息，缺失深入思考圖形本質(zhì)的機(jī)會(huì)，從而不會(huì)“直觀地看”。例如在學(xué)習(xí)三角形時(shí)，學(xué)生往往只注意到等腰三角形和直角三角形這兩種特殊三角形的相關(guān)特征，而忽視了其他三角形內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，不能依據(jù)各自圖形的特征將概括圖形共性與比較不同圖形有機(jī)結(jié)合，從而不能依據(jù)邊或者角將三角形合理依規(guī)正確分類。在應(yīng)用圖形時(shí)，教師不能依據(jù)幾何直觀相關(guān)行為指標(biāo)去正確引導(dǎo)學(xué)生積極感知圖形組成的元素并能直觀表達(dá)圖形特征和性質(zhì)，學(xué)生不會(huì)從圖形中直觀地觀察到已知條件和未知條件之間的關(guān)系，缺乏從直觀到抽象的有機(jī)銜接，導(dǎo)致學(xué)生思維惰性，從而不能正確發(fā)現(xiàn)和利用圖形的性質(zhì)去探索問題解決的思路。此外，過多視覺刺激的多媒體教學(xué)常常會(huì)使學(xué)生難以集中精力思考幾何知識(shí)的本質(zhì)，不利于學(xué)生對幾何概念和定理的抽象理解，進(jìn)而不能助推學(xué)生形成有效遷移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

2.形數(shù)聯(lián)系失當(dāng)，導(dǎo)致直觀模型不顯

數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。”幾何直觀是一種思維方式，也是學(xué)科素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。但部分教師總是認(rèn)為幾何直觀只能在研究幾何圖形的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中發(fā)揮作用，缺少對代數(shù)中結(jié)構(gòu)、關(guān)系的幾何直觀和統(tǒng)計(jì)中統(tǒng)計(jì)量、數(shù)據(jù)關(guān)系的幾何直觀，從而不能適應(yīng)“建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型”[3]的新課標(biāo)要求。如在學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容時(shí)，對于一些代數(shù)算式、公式，教師未能強(qiáng)化數(shù)形對應(yīng)，不能引導(dǎo)學(xué)生正確構(gòu)造圖形進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)以促進(jìn)其“數(shù)感”“式感”的直觀建立;對于方程、不等式和函數(shù)等模型應(yīng)用問題，教師不能引導(dǎo)學(xué)生建立利用線段圖、圖像等幾何圖形特征來直觀理解的自覺，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)利用幾何直觀加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)。對于“圖形與幾何”中概念、性質(zhì)和定理的學(xué)習(xí)，教師未能建立學(xué)生以數(shù)補(bǔ)形進(jìn)行抽象分析和歸納推理的意識(shí)與習(xí)慣，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)用數(shù)和形“兩只眼睛”看數(shù)學(xué)。如“三角形中位線”的學(xué)習(xí)，若只是讓學(xué)生在課堂上聽老師講解，無法親自動(dòng)手操作、主動(dòng)探索，學(xué)生不會(huì)發(fā)現(xiàn)“1/2”的含義，不會(huì)利用“數(shù)”的特征思考“形”的輔助線，不會(huì)從“形”的方面操作思考逐步過渡到“數(shù)”的方面理性思維，進(jìn)而面對沒有直觀圖形輔助的抽象幾何問題時(shí)，就會(huì)感到無所適從。

3.圖表分析失準(zhǔn)，導(dǎo)致探索思路不清

幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)[4]。幾何直觀時(shí)視覺思維占主導(dǎo)地位。新課標(biāo)要求：利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路[5]。但在實(shí)際教學(xué)中，教師不能引導(dǎo)學(xué)生利用“圖”的直觀和“表”的簡單的優(yōu)點(diǎn)來讓學(xué)生獲得“學(xué)習(xí)有趣”的視覺體驗(yàn)，未能通過呈現(xiàn)完整圖表、呈現(xiàn)部分圖表和不呈現(xiàn)圖表等漸進(jìn)性的方式來加強(qiáng)學(xué)生幾何直觀學(xué)習(xí)的獲得感。如在用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)解決實(shí)際問題中，需要基于數(shù)量關(guān)系的分析來幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題，但由于問題中數(shù)量較多、關(guān)系復(fù)雜、表述冗長，有些學(xué)生不會(huì)正確構(gòu)圖、列表來呈現(xiàn)相應(yīng)數(shù)量關(guān)系，有的學(xué)生不能利用已有圖的形象、表的直觀進(jìn)行正確分析數(shù)量關(guān)系，從而不能借助直觀圖示將內(nèi)隱的關(guān)系清晰顯現(xiàn)，導(dǎo)致解決問題的思路不暢。而有些教師此時(shí)通常以“告訴”代替學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”，未能抓住知識(shí)的漸次遞進(jìn)過程引導(dǎo)學(xué)生幾何直觀的有序發(fā)展，并不斷建立用形象化的圖表表達(dá)抽象化的數(shù)量關(guān)系的意識(shí)，學(xué)會(huì)“直觀地想”。再如在“小結(jié)與思考”環(huán)節(jié)，有的教師未能采用思維導(dǎo)圖動(dòng)態(tài)地導(dǎo)引知識(shí)的學(xué)習(xí)過程和學(xué)生思維流向，從而不能豐富學(xué)生認(rèn)知、引發(fā)學(xué)習(xí)聯(lián)想;有的教師不能采用表格把重要結(jié)論進(jìn)行對比學(xué)習(xí)，從而不能同化學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

二、初中數(shù)學(xué)幾何直觀“適度”教學(xué)的實(shí)施

為了糾正現(xiàn)實(shí)中幾何直觀教學(xué)的“失度”現(xiàn)象，促進(jìn)學(xué)生思維高通路遷移，教師應(yīng)基于教材“幾何直觀”素養(yǎng)要求，著力“學(xué)為中心”實(shí)踐，通過對教材內(nèi)容的解構(gòu)與重構(gòu)，以學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生有意義地學(xué)習(xí)。下面以蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊“等腰三角形的軸對稱性”為例，探索促進(jìn)“幾何直觀”的適度教學(xué)。

1.教材重組：建立幾何直觀適度學(xué)習(xí)內(nèi)容

教材是課程內(nèi)容及其實(shí)施的中介，作為蘊(yùn)含幾何直觀信息的靜態(tài)文本，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生素養(yǎng)需求、學(xué)科認(rèn)知結(jié)構(gòu)，運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維去重組符合幾何直觀的適度學(xué)習(xí)素材，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“用教材教”，而不是局限、禁錮于教材。

直觀感知：教材首先呈現(xiàn)的是等腰三角形性質(zhì)例2及其思考，然后是直角三角形紙片的操作活動(dòng)和定理發(fā)現(xiàn)，并進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考有一個(gè)銳角為30°的直角三角形的相關(guān)結(jié)論，其知識(shí)圖譜如圖1。

直觀理解：本節(jié)需要探索的是直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，不少教師認(rèn)為例2的安排較為突兀。因此，他們常常是從直角三角形紙片操作開始，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)得出定理：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，并引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)直角三角形中有一個(gè)角為30°時(shí)，又能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？這樣的教學(xué)安排缺失知識(shí)的有機(jī)銜接，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力生長和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移。

直觀洞察：依托學(xué)生觀察經(jīng)驗(yàn)，對學(xué)材再建構(gòu)，首先對例2進(jìn)行問題式改編，然后用等腰三角形性質(zhì)類比、想象，生長直角三角形學(xué)習(xí)直觀經(jīng)驗(yàn)，再經(jīng)歷觀察與思考、操作與體驗(yàn)、交流與表達(dá)學(xué)習(xí)過程，延展學(xué)生思維，使其收獲直角三角形的研究路徑、操作認(rèn)知和本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

2.教學(xué)重構(gòu)：建立幾何直觀適度學(xué)習(xí)過程

新課標(biāo)寄予學(xué)生“像專家一樣思考”的課程理想。教學(xué)應(yīng)依據(jù)學(xué)科特性，在學(xué)生學(xué)習(xí)舒適圈中有意義地組織學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生借助于信息技術(shù)資源或工具，將幾何直觀“隱性散點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“顯性關(guān)聯(lián)”，強(qiáng)化幾何直觀真實(shí)體驗(yàn)。

（1）建立圖形直觀，感知圖形元素

笛卡爾曾經(jīng)說過：“沒有圖形就沒有思考。”教師要從兒童的直觀視角去引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，從不同角度抽取圖形的多個(gè)要素并進(jìn)行合理關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)探索過程和應(yīng)用過程，進(jìn)而積累豐富的圖形研究經(jīng)驗(yàn)。

活動(dòng)1：在△ABC中，你添加什么條件可以得出：AB=AC？你是如何習(xí)得這個(gè)結(jié)論的？

在這一題中，首先利用學(xué)生學(xué)習(xí)舒適區(qū)展開教學(xué)，學(xué)生容易得出∠B=∠C，在此基礎(chǔ)上追問由感性到理性的學(xué)習(xí)回路：操作—觀察—猜想—驗(yàn)證，由此積淀學(xué)生正確學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);其次借助認(rèn)知?jiǎng)莶?，通過在圖形中添加元素發(fā)動(dòng)學(xué)習(xí)：如圖2，若AD為∠A的外角平分線，CF⊥AD于D交BA延長線于F，你又能得出哪些相等的量？以開放性問題促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)分析圖形要素之間、要素與圖形之間關(guān)系的直觀自覺;最后依托深度學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生思考：在上述條件下，若想得到AB=AC=AF，你認(rèn)為還需要添加什么條件？以問題追開學(xué)生思維心扉，促進(jìn)學(xué)生思考再深入、學(xué)習(xí)再交流、觀點(diǎn)再碰撞，進(jìn)而生長能力、提高素養(yǎng)。

（2）開展運(yùn)動(dòng)直觀，明晰學(xué)習(xí)路徑

心理認(rèn)知理論關(guān)注學(xué)生的思維過程和心理活動(dòng)。幾何直觀的要義在于通過圖表的直觀降低思維層次和強(qiáng)度?；诖耍虒W(xué)既要尊重學(xué)生已有的知識(shí)、能力和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)， 明白學(xué)生新舊知識(shí)的“潛在距離”，又要提升學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)品質(zhì)。因此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)來靈動(dòng)設(shè)計(jì)幾何直觀教學(xué)活動(dòng)。

活動(dòng)2：等腰三角形通過折疊可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)等腰三角形中重要線段的一些結(jié)論。那么對于一個(gè)直角三角形，你能不能通過折疊得到兩個(gè)等腰三角形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形的重要線段的一些結(jié)論？

想象是感受、理解幾何直觀的有力支撐。以圖形折疊（可參考圖2）這一運(yùn)動(dòng)方式引起學(xué)生思維進(jìn)階學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生在類比中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，進(jìn)而掌握具有一般觀念的“知識(shí)背景—操作發(fā)現(xiàn)—揭示聯(lián)系—解釋結(jié)論”學(xué)習(xí)套路，形成專家思維。

（3）依托模型直觀，促進(jìn)數(shù)形關(guān)聯(lián)

幾何直觀是學(xué)習(xí)者、研究者對于數(shù)學(xué)對象的全貌和本質(zhì)進(jìn)行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上，既有相對豐富的經(jīng)驗(yàn)積累，也有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的理性的概括和升華[6]。借助動(dòng)態(tài)直觀的圖形折疊，再輔以觀察、猜想、驗(yàn)證等思維過程，不僅使學(xué)生獲得清晰的直觀表象，而且深化學(xué)生對圖形特征的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)其思維從感性躍為理性。

活動(dòng)3：剛才同學(xué)們通過操作發(fā)現(xiàn)了“直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半”，那么對于這個(gè)文字命題大家怎樣來證明呢？說說你的思路。

首先，引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)題意畫出準(zhǔn)確的圖形，從圖形中直觀地觀察到已知條件和未知條件之間的“數(shù)”“形”關(guān)系;其次，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的文字描述轉(zhuǎn)化為直觀的圖形關(guān)系;再次，借助剛才把直角三角形折、剪、拼變成等腰三角形，再將折疊后的等腰三角形鋪展成直角三角形的直觀過程，啟發(fā)學(xué)生作輔助線構(gòu)造相同的幾何量：如在∠ACB內(nèi)部作∠DCB=∠B交AB于D，或者倍長中線;最后，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用分析法來完整證明，并進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的規(guī)范表達(dá)。這樣的學(xué)習(xí)過程不僅能幫助學(xué)生豐富幾何圖形的直觀感知，而且能助推學(xué)生探究能力。

（4）加強(qiáng)表征直觀，實(shí)現(xiàn)循序進(jìn)階

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法?！彼季S是一切學(xué)習(xí)的重心。數(shù)學(xué)課堂呼喚學(xué)生的真學(xué)，學(xué)生幾何直觀的真學(xué)同樣需要以數(shù)學(xué)思維為載體，必須通過思維進(jìn)階來實(shí)現(xiàn)知識(shí)邏輯、學(xué)科邏輯走向?qū)W習(xí)邏輯。

活動(dòng)4：從一般到特殊是研究幾何圖形的常見路徑。如等邊三角形是有一個(gè)角為60°特殊的等腰三角形，借助等腰三角形的相關(guān)探索我們完善了對等邊三角形相關(guān)理解。那么沿著這樣的路徑，你將怎樣從角特殊來研究直角三角形？與同桌說說你們的想法。

基于數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)科育人的本然統(tǒng)一，引導(dǎo)學(xué)生在直觀的幾何情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并尋求解決問題的策略，從而實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”。學(xué)生能分別抓住有一個(gè)銳角為45°、60°來進(jìn)行探索交流，特別是有一角為60°時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助等邊三角形的表征，發(fā)現(xiàn)：直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半，并進(jìn)行文字語言、圖形語言、符合語言的規(guī)范表達(dá)和推理證明。在教學(xué)過程中采用問題驅(qū)動(dòng)、師生互動(dòng)方式促進(jìn)素養(yǎng)本位的教學(xué)實(shí)施，從而推動(dòng)學(xué)生在知識(shí)的聯(lián)系處進(jìn)行思維轉(zhuǎn)接，進(jìn)而鞏固知識(shí)、增強(qiáng)能力、提升素養(yǎng)。

3.課堂重塑：建立幾何直觀適度學(xué)習(xí)評價(jià)

直觀感知、直觀理解、直觀洞察是讓“幾何”真正走向“直觀”的認(rèn)知之序。深度教學(xué)重視學(xué)習(xí)過程的建構(gòu)反思以及以評促學(xué)、以評促教。而適度的幾何直觀學(xué)習(xí)評價(jià)不僅關(guān)注學(xué)生直觀經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果，更要聚焦學(xué)生形成直觀經(jīng)驗(yàn)的過程，并伴隨學(xué)習(xí)過程始終。其中基于幾何直觀的學(xué)習(xí)評價(jià)：從“會(huì)看”角度，著重通過對圖形的觀察感知，在原有的視覺經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立幾何表象和圖形聯(lián)系，并能做出“數(shù)”“形”的判斷與直觀解釋;從“會(huì)想”角度，能借助實(shí)物直觀、運(yùn)動(dòng)直觀、模型直觀、表征直觀等圖形直觀手段，抽象出幾何圖形的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，并正確畫出相應(yīng)的圖形，會(huì)利用圖形描述分析問題和解決問題的思路;從“會(huì)說”角度，借助于已經(jīng)建立的圖形，合理選擇解決問題的方法，運(yùn)用合情推理、演繹推理相結(jié)合的手段探索新的結(jié)論或解決實(shí)際問題，并會(huì)規(guī)范表達(dá)。

活動(dòng)5：①通過本節(jié)“等腰三角形的軸對稱性”的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些結(jié)論？你是如何探索這些結(jié)論的？沿著本節(jié)幾何圖形學(xué)習(xí)的路徑，在今后學(xué)習(xí)過程中你認(rèn)為將要繼續(xù)探索哪些內(nèi)容？②完成本節(jié)學(xué)習(xí)評價(jià)表（略），并同桌互評。

在課堂收尾階段，不僅要小結(jié)所學(xué)，還要反思何以學(xué)會(huì)，以及未學(xué)路徑規(guī)劃，從而讓小結(jié)反思既充滿激情的思考，又蘊(yùn)含深刻的內(nèi)涵，讓學(xué)生在知識(shí)的習(xí)得、方法的理解、意義的建構(gòu)和美感的體驗(yàn)中找到樂趣。同時(shí)安排基于幾何直觀的學(xué)習(xí)評價(jià)表的填寫，讓學(xué)生對經(jīng)歷豐富的思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)評價(jià)，豐盈學(xué)習(xí)內(nèi)涵，通過自評、互評中“評己、評人”活動(dòng)“逼”出表后的“邏輯”，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)而對照目標(biāo)持續(xù)提升自己的表現(xiàn)水平，收獲悟己達(dá)人的育人效果，進(jìn)而豐厚學(xué)以致遠(yuǎn)的經(jīng)驗(yàn)和提升“成事成人”的素養(yǎng)。

三、初中數(shù)學(xué)幾何直觀“適度”教學(xué)的啟示

幾何直觀不僅存在于圖形教學(xué)中，也貫穿于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)始終。在幾何直觀教學(xué)中，教師應(yīng)注意適度分配直觀內(nèi)容和時(shí)間、適度設(shè)計(jì)直觀過程和反思，從而準(zhǔn)確把握直觀尺度。通過知識(shí)有序化引導(dǎo)學(xué)生在幾何直觀中“會(huì)看”，通過思考系統(tǒng)化引導(dǎo)學(xué)生在幾何直觀中“會(huì)想”，通過表達(dá)條理化引導(dǎo)學(xué)生在幾何直觀中“會(huì)說”，從而提升學(xué)生的分析、綜合、創(chuàng)新等高階思維能力，發(fā)展其學(xué)科核心素養(yǎng)。

1.明理教材，豐富幾何直觀理解

數(shù)學(xué)是抽象的科學(xué)，需要在學(xué)生心中搭建勾連的橋梁——幾何直觀，從而使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、內(nèi)隱的規(guī)律外顯化，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)奠定感性認(rèn)知基礎(chǔ)。而教材是聯(lián)結(jié)課標(biāo)理念與課堂教學(xué)的媒介，其承載著豐富的幾何直觀信息，教師應(yīng)善于挖掘并正確使用教材中的直觀元素，幫助學(xué)生領(lǐng)悟幾何直觀學(xué)習(xí)之妙。幾何直觀內(nèi)涵中所指的“圖形”不僅僅局限于幾何圖形，包括常見的平面圖形、立體圖形以及數(shù)軸、坐標(biāo)系、表格、框圖、直觀素材等，解決的問題也不限于數(shù)量關(guān)系[7]。而在平常教學(xué)中教師更多地聚焦“圖形與幾何”中幾何直觀的學(xué)習(xí)，鮮少關(guān)注“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中幾何直觀內(nèi)容維度。因此，教師要努力把握好幾何直觀的“度”，使學(xué)生親歷幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的全過程。如在“數(shù)與代數(shù)”中需要用數(shù)軸理解數(shù)的運(yùn)算、需要用圖形理解代數(shù)式的意義以及乘法公式、法則等，從而明晰數(shù)式的“圖形特征”;再如在函數(shù)學(xué)習(xí)中，對于方程組的解與相應(yīng)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的關(guān)系認(rèn)識(shí)，需要利用圖形的直觀表征來加強(qiáng)數(shù)學(xué)對象的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)形聯(lián)系。而這些都是幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”中實(shí)然狀態(tài)，可是少數(shù)教師卻視而不見。作為創(chuàng)造性使用教材教的主體——教師，理應(yīng)豐富學(xué)生幾何直觀的理解，培養(yǎng)學(xué)生利用“數(shù)學(xué)眼光”更多地去探索問題解決的思路，特別是在“綜合與實(shí)踐”跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，發(fā)揮幾何直觀的應(yīng)然價(jià)值，幫助學(xué)生從更豐富的角度關(guān)注跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)中的幾何直觀內(nèi)容，使學(xué)生獲得幾何直觀學(xué)習(xí)源頭活水，從而厚積學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高圖形直觀解決問題能力。

2.關(guān)注學(xué)生，豐實(shí)幾何直觀體驗(yàn)

學(xué)生是處于發(fā)展過程中的人。學(xué)生理解數(shù)學(xué)的障礙主要來源于抽象和形象的矛盾。而幾何直觀是化解這一矛盾的關(guān)鍵舉措。為此，教師預(yù)知學(xué)生思維與情緒的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而做到提前覺察甚至創(chuàng)設(shè)教學(xué)時(shí)機(jī)，使之成為知識(shí)生成的契機(jī)點(diǎn)和峰回路轉(zhuǎn)的智慧點(diǎn)[8]。如教學(xué)“豐富的圖形世界”時(shí)，應(yīng)抓住直觀理解的一體兩翼——想象與操作，豐富學(xué)生感知經(jīng)驗(yàn)。通過尋找貼近學(xué)生實(shí)際的直觀素材，如利用兩個(gè)含有30度角的相同直角三角板使其一邊重合進(jìn)行拼圖活動(dòng)，通過“想象—操作—描述—畫圖—分析”活動(dòng)過程，使學(xué)生在活動(dòng)過程中能基于視覺的觀察進(jìn)行合理想象、動(dòng)手操作觸摸幾何結(jié)構(gòu)、描述表達(dá)所拼圖形的直觀表征、正確畫出相應(yīng)圖形，并在活動(dòng)過程中進(jìn)行分析評價(jià)。從而使學(xué)生不僅能“想問題”，更要在直觀活動(dòng)過程中“會(huì)想問題”，進(jìn)而使學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考問題。幾何直觀教學(xué)要兼顧知識(shí)內(nèi)容和問題類型，在學(xué)生學(xué)習(xí)舒適區(qū)開展充盈數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)活動(dòng)，幫助學(xué)生重構(gòu)經(jīng)驗(yàn)背后的邏輯。教師要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，借助多種直觀形象、具體可感的輔助手段，為學(xué)生的思維發(fā)展由操作水平逐步走向分析水平鋪路架橋[9]。為了助推學(xué)生在直觀活動(dòng)中收獲深刻的、豐富的、完整的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，教師要善待、等待和期待學(xué)生，及時(shí)捕捉并利用數(shù)學(xué)活動(dòng)中的培育機(jī)遇[10]，通過對圖形的觀察、分解、組合和想象，豐實(shí)學(xué)生直觀體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解，推動(dòng)其幾何直觀素養(yǎng)發(fā)展，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生幾何直觀學(xué)習(xí)“心流”感覺。

3.優(yōu)化教學(xué)，豐盈幾何直觀智慧

問題是教學(xué)的原動(dòng)力和牽引力。教學(xué)應(yīng)始于問題、終于素養(yǎng)。教學(xué)中教師要不斷優(yōu)化教學(xué)手段，從洞察和想象的內(nèi)部入手，適度運(yùn)用實(shí)物直觀、模型直觀、符號(hào)直觀、圖形直觀等方法引起學(xué)生學(xué)習(xí)，使直觀變成學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)АＨ缭诮y(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，首先應(yīng)創(chuàng)設(shè)基于操作經(jīng)驗(yàn)的摸球、轉(zhuǎn)盤等問題情境，注重知識(shí)的形成過程，幫助學(xué)生從實(shí)際操作中感悟隨機(jī)意識(shí)。其次，通過挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，教育學(xué)生養(yǎng)成隨時(shí)畫圖、列表來分析問題的習(xí)慣，重在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖示表達(dá)的關(guān)系和模型功能，憑借形象的樹狀圖、直觀的表格等載體展現(xiàn)思維脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生有序思考方法。然后，組織基于反思的學(xué)習(xí)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡，幫助學(xué)生借助“數(shù)據(jù)直觀”去描述問題、分析問題、解決問題，建構(gòu)自己對數(shù)學(xué)的理解，從而發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。為了發(fā)展學(xué)生學(xué)科知識(shí)技能通向?qū)W科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力，教學(xué)應(yīng)積極構(gòu)建幾何直觀學(xué)習(xí)輸入和輸出的過程，有意識(shí)地將其作為一種能力素養(yǎng)滲入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。通過借力現(xiàn)代技術(shù)輔助直觀模型建立，讓學(xué)生充分體驗(yàn)幾何直觀探究學(xué)習(xí)的樂趣，從而形成幾何直觀學(xué)習(xí)的良性循環(huán)。正如舒爾曼所倡導(dǎo)的那樣：“我們不是從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，而是通過對經(jīng)驗(yàn)的思考來學(xué)習(xí)。”[11]因此，應(yīng)強(qiáng)化多元評價(jià)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)，對幾何直觀，教師不能僅僅滿足于學(xué)生在某一問題中采用幾何直觀解決了具體的問題，應(yīng)能夠引導(dǎo)他們反思自己的活動(dòng)過程，思考為什么想到建構(gòu)這樣的圖形，圖形在此問題中起到了什么作用[12]，從而使學(xué)生由經(jīng)驗(yàn)圖式升華為心智圖式，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生理性精神。

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【責(zé)任編輯" " 王澤華】

*該文為江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“促進(jìn)思維進(jìn)階的初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)改進(jìn)研究”（D/2021/02/693）的研究成果