充分挖掘教材 探求分?jǐn)?shù)本質(zhì)
——以《分?jǐn)?shù)的認(rèn)識》教學(xué)為例

陳 飛

一、厚積薄發(fā)，探求分?jǐn)?shù)本質(zhì)

1.何謂分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)概念起源于“分”，在表達(dá)平均分結(jié)果的時候，遇到了分的結(jié)果比1 還要小的情況，這只用自然數(shù)顯然是不夠的，于是引進(jìn)了分?jǐn)?shù)。這時候認(rèn)識的分?jǐn)?shù)，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份，這就是分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。后來擴(kuò)展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看成一個整體，平均分后，其中的一份或者幾份，可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。

（1）平均分：把單位“1”平均分成b 份再取出a 份。

（2）部分與全體的比較：全體為b 時，a 是b 的部分。

（3）小數(shù)的另一種記法。

（4）除法運算的結(jié)果：表示a除以b 的商。

（6）測量：用來測量一個不滿一個單位量的量的數(shù)值問題。

2.“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”教學(xué)分為幾個階段。

為使學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)的含義，教材采用螺旋上升的安排，分兩個階段學(xué)習(xí)：

第一學(xué)段，結(jié)合具體情境初步理解分?jǐn)?shù)的意義，能認(rèn)、讀、寫簡單的分?jǐn)?shù)。

第二學(xué)段，進(jìn)一步認(rèn)識小數(shù)和分?jǐn)?shù)；探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，并會進(jìn)行轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)）。

教材中的教學(xué)內(nèi)容與編排順序是：認(rèn)識幾分之一，認(rèn)識幾分之幾（三年級上）；分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化（五年級下）。

3.教材編排的依據(jù)。

教材這樣編排是基于學(xué)生的思維發(fā)展順序，學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的過程，通過思維發(fā)展方式依序分為四個階段：

（1）用面積的“部分—整體”表示分?jǐn)?shù)，認(rèn)識分?jǐn)?shù)的面積模型。

（2）用集合的“子集—全集”表示分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的集合模型。這也是“部分—整體”的另一種形式，與分?jǐn)?shù)的面積模型密切相關(guān)。但學(xué)生在理解上難度更大，關(guān)鍵是單位“1”不再是一個物體了，而是把幾個物體看作單位“1”，所取的“一份”也可能是“幾個”。集合的“子集—全集”表示的就是分?jǐn)?shù)的“集合模型”，這需要學(xué)生有更高的抽象思維能力。

（3）用數(shù)線上的點表示分?jǐn)?shù)，感受分?jǐn)?shù)的數(shù)線模型。

用數(shù)線上的點表示分?jǐn)?shù)就是分?jǐn)?shù)的“數(shù)線模型”。它把分?jǐn)?shù)化歸為抽象的數(shù)，需要學(xué)生具有更高的抽象思維水平。

（4）用除法和比表示分?jǐn)?shù)。

二、巧妙約取，另辟教學(xué)蹊徑

1.聯(lián)系自然數(shù)來初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》是學(xué)生第一次建立分?jǐn)?shù)的概念。教材編排有以下特點：

（1） 由一個物體組成單位“1”。如一個月餅、一張紙片等。

（2）只出現(xiàn)常見的分母比較小的分?jǐn)?shù)（分母一般不超過10）。

（3）只認(rèn)識真分?jǐn)?shù)和分子分母相等的假分?jǐn)?shù)。

（4）不正式定義分?jǐn)?shù)，只通過直觀手段建立初步的分?jǐn)?shù)概念。

課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）巧設(shè)生活情境，引出分?jǐn)?shù)。

（2）借助整數(shù)經(jīng)驗，創(chuàng)造分?jǐn)?shù)。

（3）在豐富的數(shù)學(xué)活動中深化認(rèn)識，理解分?jǐn)?shù)。

［案例1］情境與沖突?！斗?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)片斷。

出示主題情境圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考：

①把4 個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？

②把2 瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？

考慮到工程施工中預(yù)埋套筒與連接鋼筋對位時可能出現(xiàn)偏位情況，因此針對該試驗選取試件H400-16、H400-16-2和H400-16-4，研究其在偏移距離0 mm、2 mm、4 mm條件下的試件承載力。結(jié)果如圖13所示。

結(jié)合學(xué)生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫做“平均分”。

③把1 個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？

結(jié)合學(xué)生的交流，自然引出“一半”。

④每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學(xué)過的數(shù)來表示，那“一半”該用怎樣的數(shù)來表示呢？

學(xué)生交流各自的想法，教師結(jié)合學(xué)生的交流，揭示課題：認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

“平均分”是初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，在分配蘋果、礦泉水和蛋糕的過程中，教師巧妙引導(dǎo)，喚醒學(xué)生“平均分”的經(jīng)驗，為初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)做好鋪墊，使學(xué)生實現(xiàn)由自然數(shù)到分?jǐn)?shù)的和諧過渡。

［案例2］探索與建構(gòu)?！斗?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)片斷。

①直觀感知，初步認(rèn)識。

引導(dǎo)：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？

②動手操作，深化認(rèn)識。

③觀察判斷，拓展認(rèn)識。

學(xué)生交流，并說明判斷理由。

2.分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)要從單位“1”的意義建構(gòu)著手。

《分?jǐn)?shù)的意義》是學(xué)生對分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的不斷深入與推進(jìn)，真正揭示分?jǐn)?shù)的意義。其特點是：單位“1”變成了一些物體，正式定義分?jǐn)?shù)，用規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

教學(xué)時，重點突出單位“1”的抽象，通過建構(gòu)分?jǐn)?shù)的“面積模型”、“集合模型”和“數(shù)線模型”，使學(xué)生理解單位“1”作為標(biāo)準(zhǔn)量和單位量的內(nèi)涵。不僅要學(xué)生用形式化、規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言表達(dá)對分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入建構(gòu)每一個具體分?jǐn)?shù)的意義。課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）回顧面積模型（一個物體）。

（2）建立集合模型（一些物體）。

（3）感受數(shù)線模型（分?jǐn)?shù)的本質(zhì)）。

（4）深化對分?jǐn)?shù)意義的理解。

［案例3］分?jǐn)?shù)的“面積模型”→“集合模型”?！斗?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)片斷。

師：（往學(xué)生面前一站）認(rèn)識嗎？張老師能用自然數(shù)來表示嗎？

生：用“1”表示。

師：除了人以外，還有什么也可以用“1”來表示呢？

生：1 塊黑板……

師：還能說嗎？

生：我們的一個班級也能用“1”來表示。

師：3 個蘋果能用“1”表示嗎？

生：能。

師：怎么看起來3 個蘋果就是“1”？

生：放在一個盤里。

生：看成1 行。

師：把3 個蘋果看作一個整體，就能看成“1”。

（把3 個蘋果框起來）

師：那6 個、9 個、18 個蘋果……也能看成“1”嗎？

生：能。

師：如果把3 個蘋果看作“1”，那6 個蘋果應(yīng)該看作幾？

生：2。

師：為什么？

生：3 個蘋果是“1”，6 是2 個“1”，就是“2”。

師：（出示12 個蘋果）有4 個這樣的“1”，就是幾？

生：4。

師：有5 個這樣的“1”，一共是幾個蘋果？

生：15 個。

師：3 個蘋果看成的“1”就成了一個計量單位。在數(shù)學(xué)上，可以稱作單位“1”。

單位“1”的含義應(yīng)建立在對“1”（面積模型）的理解上，因此教師由表示一個物體的自然數(shù)1 引入，然后過渡到可以表示一些物體（集合模型）組成的整體的自然數(shù)“1”，“1”的內(nèi)涵獲得了一次重要的拓展和提升。那么如何幫助學(xué)生實現(xiàn)由“1”向單位“1”的實質(zhì)性跨越？教師將學(xué)生置身于實際計量的數(shù)學(xué)活動中，讓學(xué)生通過觀察、比較認(rèn)識到無論把什么看作“1”，只要包括幾個這樣的“1”，就可以用“幾”來表示，從而在計量的背景下幫助學(xué)生豐富對單位“1”內(nèi)涵的把握。

［案例4］建構(gòu)分?jǐn)?shù)的數(shù)線模型?！斗?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)片斷。

生：把數(shù)軸延長，在2 個“1”這么長，就是2。

師：如果不滿單位“1”就用分?jǐn)?shù)來表示，如果滿了單位“1”，有幾個單位“1”就是幾。

生：很簡單!只要把它平均分成3 份，再表示出這樣的1 份就行了。

（學(xué)生上講臺來指）

三年級學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，建立在面積模型（部分—整體）維度上，但隨著分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的不斷深入，在五年級的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該讓學(xué)生體會到分?jǐn)?shù)的集合模型和數(shù)線模型，讓學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，在抽象層面上建構(gòu)起一般分?jǐn)?shù)的意義。

三、仔細(xì)回味，教材研讀味無窮

1.博觀而約取，領(lǐng)會知識內(nèi)涵。

教材研讀要著眼于對文本內(nèi)涵的挖掘，抓住知識的本質(zhì)，開發(fā)出能達(dá)到更廣泛、更深刻的教育目的的知識內(nèi)涵。比如在確定《分?jǐn)?shù)的意義》的教學(xué)方法前，得先問問自己，分?jǐn)?shù)的本質(zhì)何在？分?jǐn)?shù)的意義到底是什么？你是否已經(jīng)準(zhǔn)確把握了教學(xué)內(nèi)容？其實，我們應(yīng)該在“怎么教”前先思索“教什么”，了解教學(xué)的內(nèi)容，挖掘內(nèi)容的本質(zhì)，爭取做到教得清楚，讓學(xué)生學(xué)得到位。

2.厚積而薄發(fā)，發(fā)展深度課堂。

教師在領(lǐng)會知識內(nèi)涵后，才能更好地梳理教學(xué)體系，把教材中零碎的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸類，明確知識在體系中的地位，分析不同層次的教學(xué)要求，確定每節(jié)課的具體目標(biāo)，并且落實到位。