劉加霞

度量角的大小是一種基本的操作技能。在日常教學中，操作技能的教學往往是教師講解、演示、示范操作的基本程序和步驟，然后學生模仿操作并進行強化練習。這樣的技能教學容易降低學生的思維水平，因為在操作中缺少思考與探究，更缺少猜想與創(chuàng)造。

操作技能的教學僅僅是模仿與訓練嗎？如何使學生真正參與其中？真正實現(xiàn)獨立思考與創(chuàng)新？下面以華應龍老師執(zhí)教的《角的度量》為例分析如何使技能教學更“厚重”些。

一、量角是“屠龍之技”還是另有內(nèi)涵？

帶著問題、帶著思考的教學就能避免學生的簡單模仿與記憶。為什么要度量角的大??？在實際生活中學生能夠感受到角的大小的作用嗎？很難。學生并沒有進行“角的大小”比較的直觀經(jīng)驗，也沒有量角的實際需求（但這種需求能夠激發(fā)）。因為“角”是蘊含在客觀物體里的，需要抽象才能得到數(shù)學上的“角”（頂點、過頂點的兩條直直的邊、平面圖形），因此在客觀物體里很少能直接看到數(shù)學上的“角”，在“靜態(tài)”中很難意識到角的大小的作用。

那為什么還要學習“角的度量”呢？如何使“量角的大小”不是單純的“屠龍之技”？

1.“三個滑梯”激發(fā)學生的學習需求。

在課的導入環(huán)節(jié)，三個不同傾斜度的滑梯情境既符合學生的生活經(jīng)驗，又能體現(xiàn)出“角的大小”的作用，使學生強烈地感受到“角的大小”是影響下滑速度的重要因素。雖然學生有這方面的生活經(jīng)驗，但現(xiàn)實中的滑梯幾乎都是“標準的”、安全的，學生沒有思維上的對比和沖突，就不會有意識地思考下滑速度與“角”的大小之間存在本質(zhì)聯(lián)系。學生學習的愿望與需求，需要教師激發(fā)而不僅僅是滿足。另一方面，這三個滑梯也滲透著重要的函數(shù)思想：當滑梯角度變大時，下滑的速度越來越大，即一個變量隨著另一個變量的變化而變化。學生在變化中感受“角的大小”的作用。

2.在應用中感知“角”。

華老師的這一課為學生提供了豐富的應用情境：滑梯的角度多大合適？誰放的風箏高？椅子的靠背多彎才舒服？在哪個位置射門進球率高……？直觀演示了抽象的“角”，讓學生感知角的大小的作用。

雖然教師還不能清楚地向?qū)W生解釋原因，但至少給學生寬廣的視野和進一步思考的空間，讓學生感受、體驗到“角”的大小所蘊含的思想與方法不僅是生活所需，更是進一步學習數(shù)學及其他學科的重要基礎。

3.技能的背后是對概念的深刻理解。

在這節(jié)課上，量“角”的過程是學生更深刻地理解“角”概念的過程。雖然在此之前學生已經(jīng)認識了“角”，但并不精細和深刻。例如，學生僅會簡單地判斷什么樣的圖形是“角”，知道“角”各部分的名稱。至于如何抽象出“角”、“角”的大小的作用以及“角”的大小是否取決于角兩邊的長短等問題，學生的理解并不深刻，而這些都是“角”概念的重要內(nèi)容。由此我們不難得出如下結(jié)論：有效的技能教學離不開對概念的深刻理解，脫離對概念深刻理解的技能教學容易演變?yōu)楹唵蔚哪７?、記憶、強化訓練?/p>

量“角”的教學可能是“屠龍之技”的傳授，也可能是發(fā)展學生對概念、思想方法的深入理解并感受其價值的教學，兩者的選擇取決于教師有效的教學設計。

二、量“角”的大小為何畫“角”？

在華老師的課堂上花費了很長時間讓學生在“紙制量角器”上畫“角”。本課的教學目標是“量角的大小”，為什么要不厭其煩地讓學生畫“角”呢？這是由角的度量的本質(zhì)所決定。

“角的度量”的本質(zhì)就是所要測量的“角”與“標準的角”（已經(jīng)知道大小的“角”）的合同，即這兩個“角”能夠完全重合，唯有如此，我們才能知道要測量角的大小。

在角的度量中，兩個角的重合與長度度量中兩條線段的重合從本質(zhì)上說是一致的，但學生在理解這兩種不同量的度量時其難度是不一樣的，容易誤認為“角的大小”等于角的兩條邊之間的“寬度”，因此得出錯誤的結(jié)論：角的兩條邊越長角的度數(shù)就越大。

學生理解“角的度量”的本質(zhì)有兩方面的困難：一方面學生看不到量角器上的“角”。這與學生對角的概念的理解比較淺有關。另一方面，即使看到了量角器上的“角”，也不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所測量的“角”重合。量角器上“角”的頂點在中心，有兩條邊都可以作為角的“始邊”，要度量的角與哪條始邊重合呢？這需要學生根據(jù)所要測量的角的特征決定。另外，所要測量的角的兩條邊的長度不確定，不能恰好和量角器上的刻度線重合，也會給學生的學習帶來困難。

真正了解了教學的“難點”，教師就可以在“該出手時出手”，設計有效的活動（四次畫不同角度的“角”）進行適時的點撥引導，使學生認識到量角的本質(zhì)。

三、技能教學能否給學生創(chuàng)造的機會？

在做學生學習基礎的前測調(diào)研中，大約80%的學生是按照下述方法量角的。

顯然，這不是巧合。學生認識一維空間比較容易，因此，量“長度”沒有困難，量角度時就產(chǎn)生了很大困難，主要體現(xiàn)為度量要“從頭開始”的思維定勢。試想，在以往度量的學習中，哪一類度量不是從“頭”開始的？度量長度是這樣，度量質(zhì)量也是這樣（但面積的度量不是這樣，而是通過公式計算得到）。凡是度量的量不是從“頭”開始，學生學起來就有困難，例如認識鐘表，“鐘面”是一個封閉的結(jié)構(gòu)，沒有“頭”和“尾”，把哪兒作為認識的起點呢？因此要先認識“整時”與“半時”，然后再認識其他時間。

學生按照上述方法量角是很自然的，值得注意的是，這種辦法也有其合理性：這樣“量角”只要把所讀出的度數(shù)除以2就得到所測量角的度數(shù)（圓心角等于圓周角的2倍）。

給學生這樣的思維創(chuàng)造的空間，發(fā)明新的方法，在使用自己獨創(chuàng)方法的過程中，通過案例分析、比較兩種方法的優(yōu)劣性，從而感受到自己的方法的局限性：例如只能測量銳角；當所測量的角接近直角時，會帶來比較大的誤差等，也未嘗不可。

另外，假如學生就用這樣的“方法”量角，為了避免上述局限，是否可以重新設計量角器呢？量角器畢竟只是一個“工具”，而“工具”是人創(chuàng)造的，只要合理、無矛盾并能夠解決實際問題，創(chuàng)造什么樣的工具皆可由人來決定。事實上，無論怎樣設計量角器，其本質(zhì)和現(xiàn)行的量角器都是一樣的，即將半圓平均分為180份，每一份是一度。這是因為我們能感知的空間是歐幾里得空間。這樣的活動也可以再一次讓學生感受到什么是數(shù)學：數(shù)學是創(chuàng)造但絕對不是隨心所欲、胡編亂造，要符合邏輯，要與宇宙的本質(zhì)共性。

由此，技能教學能否給學生一個創(chuàng)造的空間？值得深思和探索。

（作者單位系北京教育學院數(shù)學系）