圓的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是何種橢圓？

李錦昱

引例 已知平面上的正△ABC的邊長(zhǎng)為2，則在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖△A′B′C的面積為_(kāi)_____.

在某刊物上看到一篇關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法的文章，里面的一道例題構(gòu)思巧妙，并且和上面的引例可以類比，只是感覺(jué)敘述和結(jié)論都有些不妥，先抄錄原例題如下：

例 在平面直角坐標(biāo)系xOy中用斜二測(cè)畫(huà)法作出圓O：x²+y²=1的直觀圖是橢圓O′，試寫(xiě)出畫(huà)法并求出所得橢圓的方程.

仔細(xì)研究上面的解答，會(huì)產(chǎn)生如下疑問(wèn)：

①水平放置的圓在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖是標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓嗎？

②圓在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖的方程該如何求？

先來(lái)看疑問(wèn)①：上面的畫(huà)法，來(lái)自于文[1]例2(用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓的直觀圖），不同之處僅僅是將圓的半徑具體到1.從所畫(huà)圖形中可以看到，橢圓的短軸的頂點(diǎn)顯然不是由圓上的直徑端點(diǎn)C,D變化得到的，但由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可以知道，橢圓的最高(低）點(diǎn)必定是由圓的最高(低）點(diǎn)變化過(guò)來(lái)的！換句話說(shuō)，橢圓的短軸一定是由圓的直徑CD變化得到的，也就是說(shuō)，在斜二測(cè)畫(huà)法下，原來(lái)圖形中相互垂直的兩條直徑AB,CD變成了直觀圖中橢圓的長(zhǎng)軸與短軸(仍保持垂直），這顯然是矛盾的！這一點(diǎn)，從所畫(huà)出的直觀圖中D′,F′,H′的位置關(guān)系上也能明顯看出不合理之處.

從上面的分析看，例題中直接給出“用斜二測(cè)畫(huà)法作出圓O：x²+y²=1的直觀圖是橢圓O′作為已知條件是不太妥當(dāng)?shù)模?/p>

需要指出的是，文[2]已經(jīng)將文[1]例2刪去，改成“生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，水平放置的圓看起來(lái)非常像橢圓.在實(shí)際畫(huà)水平放置的圓的直觀圖時(shí)，我們常用如圖1.2-11所示的橢圓模板.”而且，在橢圓模板上方和下方各給出一個(gè)注解：“立體幾何中，常用正等測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓.”“畫(huà)幾何體的直觀圖時(shí)，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖的角度也可以自定，但要求圖形具有一定的立體感.”這兩個(gè)注解較好地彌補(bǔ)了原來(lái)教材處理中存在的問(wèn)題.這樣，文[2]例3畫(huà)法第(2）步中“選擇橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，使它為圓柱的下底面”就巧妙訂正了文[1]例4畫(huà)法第(2）步中“仿照例2畫(huà)法，畫(huà)出底面”這一明顯的不足.

文[3]指出，“在立體幾何中，通常用正等測(cè)畫(huà)法畫(huà)圓的直觀圖，圓的直觀圖是橢圓.由于畫(huà)圓的直觀圖比較復(fù)雜，在實(shí)際畫(huà)圓的直觀圖時(shí)，通常使用不同尺寸的橢圓模板.”并給出一個(gè)注解：“正等測(cè)畫(huà)法的依據(jù)仍是平行投影的性質(zhì).不過(guò)，這時(shí)投射線和人的視線平行，并且投射線與投射面垂直.”“會(huì)畫(huà)圓的直觀圖，就能畫(huà)出圓柱、圓錐的直觀圖.”教材的這種編寫(xiě)方式，既強(qiáng)調(diào)了旋轉(zhuǎn)體與普通多面體直觀圖畫(huà)法的不同，又介紹了正等測(cè)畫(huà)法的知識(shí)，給學(xué)生進(jìn)一步探究留下了很大的空間.

還需要指出的是，文[4]在講解了斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則后，緊跟著給出“圓柱、圓錐和圓臺(tái)的底面都是圓面，水平放置的圓的直觀圖應(yīng)該畫(huà)成橢圓(圖1-1-31）”，盡管教材已經(jīng)對(duì)圖1-1-31的橢圓進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)處理，感覺(jué)若能講得更清楚些才更好！

相比較而言，文[5]在處理水平放置的圓的直觀圖時(shí)，先畫(huà)出了圓內(nèi)接正n邊形的直觀圖，當(dāng)n非常大時(shí)，平滑連接各頂點(diǎn)，可以近似得到圓的直觀圖.教材這樣編寫(xiě)，一方面鞏固了斜二測(cè)畫(huà)法，另一方面也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中常用的無(wú)限逼近(有限與無(wú)限）思想，不失為一種不錯(cuò)的處理方法.唯一不足之處是，這種近似處理的直觀圖與正等測(cè)畫(huà)法的直觀圖在視覺(jué)上存在較大差異(前者畫(huà)出的圖形繞中心有小角度的旋轉(zhuǎn)），且圓內(nèi)接正n邊形的直觀圖的一些頂點(diǎn)不在圓的直觀圖上(教材圖示如此)，這需要在今后修訂時(shí)加以改進(jìn).

綜合上面分析，可知圓在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖是橢圓，但不是我們習(xí)慣的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，且直觀圖的方程學(xué)生不容易求出(感覺(jué)似乎已經(jīng)超出了學(xué)生學(xué)習(xí)范圍）.涉及旋轉(zhuǎn)體的直觀圖，尤其涉及到底面圓的直觀圖是橢圓，一定要講清楚應(yīng)利用正等測(cè)畫(huà)法，以免誤導(dǎo)廣大師生，混淆了兩種畫(huà)法的區(qū)別.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉紹學(xué)主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②必修A版，人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著.2004年5月第1版第13~15頁(yè).

[2] 劉紹學(xué)主編. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②必修A版，人民教育出版社，課程教材研究所. 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著，2005年5月第2版第19~20頁(yè).

[3] 高存明主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②必修B版.人民教育出版社，課程教材研究所.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著，2007年4月第2版第18~19頁(yè).

[4] 單墫主編. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②必修.江蘇教育出版社，2007年6月第3版第15頁(yè).

[5] 嚴(yán)士健、王尚志主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)②必修.北京師范大學(xué)出版社，2007年5月第4版第8~9頁(yè).

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