豈振華

在高中數(shù)學必修2“空間幾何體的直觀圖”這一節(jié)課后練習中，第3題利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖是三角形，②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形，③正方形的直觀圖是正方形，④菱形的直觀圖是菱形，以上結(jié)論正確的是（ ）。在傳統(tǒng)教學中，教師讓學生舉例，利用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖，觀察，得出結(jié)論。采用這種方法，比較費時，而且學生畫的是特例，不是任意的圖形。利用幾何畫板，可以任意改變平面圖形的形狀，相應(yīng)地平面圖形直觀圖的形狀發(fā)生變化；也可以任意改變平面圖形直觀圖的形狀，相應(yīng)地平面圖形的形狀發(fā)生變化。學生通過觀察，有了直觀感受，然后得出一般的結(jié)論。本文重點研究如何利用幾何畫板，通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀；通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀。

一、建立直角坐標系xOy與水平放置的直角坐標系x′O′y′

單擊“繪圖”菜單中的“定義坐標系”。單擊文字工具，小手放到原點處，當小手變黑時，雙擊鼠標左鍵，標簽輸入O，單擊“確定”。用同樣方法將數(shù)軸分別標為x、y。單擊點工具，點放到x軸上，單擊鼠標左鍵，將得到的點標為O′。選中點O′，單擊“變換”菜單中的“標記中心”，將點O′設(shè)置為中心。選中x軸，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“確定”。將旋轉(zhuǎn)后的直線標記為y′.x′軸與x軸重合。

二、創(chuàng)建“斜二測畫法”變換

單擊點工具，點放到任意位置，單擊鼠標左鍵，將得到的點標為A1.選中點A1、x軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“垂線”。箭頭放到垂線與x軸的交點處，當箭頭變?yōu)闄M向箭頭時，單擊鼠標左鍵，得到垂線與x軸的交點，標記為B1.將點B1設(shè)置為中心。選中點A1，單擊“變換”菜單中的“縮放”，系統(tǒng)默認縮放1/2，單擊“縮放”，將縮放后的點標為C1.選中點C1，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“- 45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點標為D1.依次選中點O、O′，單擊“變換”菜單中的“標記向量”，將OO′設(shè)置為平移向量。選中點D1，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”。將平移后的點標為A1′.點A1′就是利用斜二測畫法點A1的直觀圖。依次選中點A1、A1′，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“斜二測畫法”，單擊“確定”。選中點A1、B1、C1、D1、A1′，x軸的垂線，單擊“顯示”菜單中的“隱藏對象”。

三、創(chuàng)建“反斜二測畫法”變換

構(gòu)造任意點A2′.選中點A2′、y′軸，單擊“構(gòu)造”菜單中的“平行線”。作平行線與y′軸的交點，標為B2′.將點B2′設(shè)置為中心。選中點A2′，單擊“變換”菜單中的“縮放”，分子輸入“2”，分母輸入“1”，單擊“縮放”，將縮放后的點標為C2′.選中點C2′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“45”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點標為D2′。依次選中點O′、O，單擊“變換”菜單中的“標記向量”。選中點D2′，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點標為A2。點A2就是利用斜二測畫法，直觀圖為點A2′對應(yīng)的平面圖形。依次選中點A2′、A2，單擊“變換”菜單中的“創(chuàng)建自定義變換”，輸入“反斜二測畫法”，單擊“確定”。隱藏點A2′、B2′、C2′、D2′、A2，y′軸平行線。

四、通過任意改變平面圖形的形狀，來改變平面圖形直觀圖的形狀

以平行四邊形為例，作任意點A3、B3、C3，依次選中點B3、C3，單擊“變換”菜單中的“標記向量”。選中點A3，單擊“變換”菜單中的“平移”，單擊“平移”，將平移后的點標為D3.單擊線段直尺工具，連接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.選中平行四邊形A3B3C3D3，單擊“變換”菜單中的“斜二測畫法”，得到利用斜二測畫法平行四邊形的直觀圖，頂點分別標為A3′、B3′、C3′、D3′.用箭頭分別拖動點A3、B3、C3，任意改變平行四邊形A3B3C3D3的形狀，觀察平行四邊形直觀圖的形狀。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：利用斜二測畫法，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形（圖1）。觀察平行四邊形的對邊可以發(fā)現(xiàn)：相等的線段在直觀圖中仍然相等；若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行。觀察平行四邊形的對角可以發(fā)現(xiàn)：角的水平放置的直觀圖一定是角，相等的角在直觀圖中仍然相等。

五、通過任意改變平面圖形直觀圖的形狀，來改變平面圖形的形狀

以正方形為例，作任意點A4′、B4′，將點A4′設(shè)置為中心。選中點B4′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“90”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點標為D4′.將點B4′設(shè)置為中心。選中點A4′，單擊“變換”菜單中的“旋轉(zhuǎn)”，輸入“-90”，單擊“旋轉(zhuǎn)”，將旋轉(zhuǎn)后的點標為C4′.單擊線段直尺工具，連接A4′B4′、B4′C4′、C4′D4′、D4′A4′.選中正方形A4′B4′C4′D4′，單擊“變換”菜單中的“反斜二測畫法”，得到直觀圖A4′B4′C4′D4′對應(yīng)的平面圖形，頂點分別標為A4、B4、C4、D4.用箭頭分別拖動點A4′、B4′，任意改變直觀圖A4′B4′C4′D4′的形狀，觀察平面圖形A4B4C4D4的形狀。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：利用斜二測畫法，直觀圖是正方形，對應(yīng)的平面圖形不是正方形，是平行四邊形（圖2）。

（作者單位 山西省晉中市左權(quán)中學校）