胡靈波

一、教學(xué)設(shè)計(jì)的背景和思路

浙教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第一章三角形中，在研究了三角形全等的四種判定方法后，在課后練習(xí)第23頁給出了這樣一個(gè)題目：有兩條邊和一個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是否全等?這個(gè)問題其實(shí)涉及到兩種情況：一、這個(gè)角是兩條邊的夾角；二、這個(gè)角是其中一邊的對(duì)角．對(duì)于第一種情況，兩個(gè)三角形一定全等，即SAS定理，而第二種情況的結(jié)論則具有一定的綜合性和復(fù)雜性，在以往的教學(xué)中，受應(yīng)試功利主義的影響，教師往往直接舉出反例，說明這樣的兩個(gè)三角形不一定全等，這種教學(xué)導(dǎo)致的結(jié)果是經(jīng)過一段時(shí)間以后，大部分學(xué)生只知道不一定成立，因?yàn)橛蠸AS定理，而反例早就拋到腦后了．其實(shí)，在這個(gè)結(jié)論的探索過程中不僅用到很多相關(guān)知識(shí)，而且涉及到分類思想、實(shí)驗(yàn)操作等方法論的內(nèi)容，非常具有研究的價(jià)值．

美國(guó)《幾何》教材中，編排了大量體現(xiàn)一種應(yīng)用性學(xué)習(xí)的課程——設(shè)計(jì)作業(yè)．即在綜合所學(xué)的知識(shí)和技能的基礎(chǔ)生，通過對(duì)有關(guān)問題的探究，提出解決問題的方案策略，再根據(jù)正確的策略進(jìn)行實(shí)踐操作得到問題的結(jié)論．美國(guó)Massachusetts(馬薩諸塞州)1998版初二幾何教材關(guān)于設(shè)計(jì)作業(yè)涉及一個(gè)課題：使用變形．其主要內(nèi)容是這樣描述的：選擇一個(gè)關(guān)于三角形全等的條件和方法，然后寫出一個(gè)計(jì)劃來證明轉(zhuǎn)變后的條件和方法．

上述中美兩套教材涉及的兩個(gè)問題不謀而合，于是，筆者就這個(gè)問題設(shè)計(jì)了一節(jié)基于合作學(xué)習(xí)的探究性教學(xué)案例，試圖通過體驗(yàn)感悟、實(shí)踐操作、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、表達(dá)與交流等活動(dòng)方式，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)象數(shù)學(xué)家那樣思考和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)世界，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)探究的簡(jiǎn)約復(fù)演，即數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”

二、教學(xué)實(shí)錄

上課開始，教師用多媒體出示課題名稱：三角形條件全等的拓展和應(yīng)用，開門見山提出問題：前幾節(jié)課我們研究了三角形全等的條件，大家回憶一下，一共有哪些方法可以判斷兩個(gè)三角形全等?

學(xué)生齊聲回答：SSS，SAS，ASA，AAS．

教師板書這四種方法后，接著說：很好，我們知道，這4種方法都是從三角形的基本元素——邊和角出發(fā)進(jìn)行討論的，這些條件不僅是邊或角中三個(gè)元素的組合，而且邊和角還有位置上的限制，如SAS中的角必須是兩條邊的夾角．那么是否還存在其他的組合呢?比如AAA，能判斷兩個(gè)三角形全等嗎?為什么?

學(xué)生1：不能．比如這兩個(gè)三角形形(指著手中的一個(gè)三角板)，三個(gè)內(nèi)角分別都是45°，45°，90°，但這兩個(gè)三角形顯然不全等．

教師：非常好!這樣的反例很多，其實(shí)，如果僅僅已知三角形的三個(gè)內(nèi)角，我們可以畫出無數(shù)個(gè)三角形，也就是說，已知三角形的三個(gè)內(nèi)角，三角形的形狀和大小是不能確定的．

所以，AAA不能判定兩個(gè)三角形全等．

教師接著追問：那么SSA呢?能否用這樣的條件判斷兩個(gè)三角形全等？學(xué)生一時(shí)語塞，陷入沉思．

片刻后，教師啟發(fā)道：這個(gè)問題相當(dāng)于讓我們探究——有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎?

課件顯示：

探究——有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎?

教師繼續(xù)啟發(fā)：我們很難直接想到明確的答案．那么首先讓我們來思考用什么方法可以解決這個(gè)問題呢?

話音剛止，學(xué)生2立刻舉手發(fā)言：不一定全等，當(dāng)已知角是直角時(shí)，兩個(gè)三角形全等；當(dāng)已知角是鈍角時(shí)，兩個(gè)三角形全等；當(dāng)已知角是銳角時(shí)，兩個(gè)三角形不全等．

教師驚嘆：太棒了，你幾乎說出了這個(gè)問題的正確答案，你能告訴同學(xué)們，你是怎么思考的嗎?

學(xué)生2猶豫一下，說：我直接想出來的．教師微笑：哦，直接想出來的，不錯(cuò)，說明你的數(shù)學(xué)直覺很好，但解決問題僅僅憑數(shù)學(xué)直覺是不夠的．再想想我們?cè)谡f明SSS，SAS，ASA，AAS定理時(shí)，是用什么方法得到的?

學(xué)生2：哦，對(duì)了，畫三角形，已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，畫出這個(gè)三角形，然后把畫得的三角形跟同學(xué)進(jìn)行比較，就知道能否全等了．

教師：非常好!下面我們一起動(dòng)手通過畫三角形來探究這個(gè)問題．

課件顯示：

小組合作學(xué)習(xí)：

1．每組分別編一個(gè)畫三角形的作圖題，要求畫一個(gè)三角形，使這個(gè)三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角是已知量．(注意：要使已知條件能構(gòu)成三角形，否則要重新調(diào)整數(shù)據(jù))

2．根據(jù)每組自編的題目，每個(gè)組員畫出滿足要求的三角形．

3．把你畫出的三角形跟組內(nèi)其他同學(xué)所畫的三角形進(jìn)行比較，它們?nèi)葐?

4．請(qǐng)小組代表在班上交流你們組發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

小組操作，教師巡視，參與指導(dǎo)和點(diǎn)撥，約十分鐘左右，學(xué)生紛紛舉手要求發(fā)表意見．

學(xué)生3：我們組從最簡(jiǎn)單的情況入手，設(shè)計(jì)的題目是：求作△ABC，使AB=4，AC=3；∠C＝90°．我們發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形的形狀和大小都是確定的，由此可以得到，當(dāng)SSA中的角為直角時(shí)，三角形全等．其他情況還在探索中．

實(shí)物投影展示：組內(nèi)同學(xué)所作的四個(gè)滿足條件的三角形，分析比較后得到四個(gè)三角形全等．

教師：很好，有沒有與他們得到的結(jié)論一樣的小組?

小組1舉手示意．

教師繼續(xù)追問：其他小組有不同的意見嗎?

學(xué)生4：我們小組設(shè)計(jì)的題目是：求作△ABC，使AB＝4,AC=2，∠C=120°．我們發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形的形狀和大小也是確定的，由此可見，當(dāng)SSA中的角為鈍角時(shí)，三角形全等．(實(shí)物投影展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果)

教師：非常好，有沒有小組設(shè)計(jì)的題目中的已知角是銳角的情況?

學(xué)生5：我們小組設(shè)計(jì)的題目是：求作△ABC，使AB=3，AC=2，∠C=60°．但是我們發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形的形狀和大小也是確定的，由此可見，當(dāng)SSA中的角為銳角時(shí)，三角形也是全等的．(實(shí)物投影展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果)

學(xué)生6馬上站起來，發(fā)表意見：不對(duì)，我們小組設(shè)計(jì)的題目是：求作△ABC，使AB＝3，AC＝4，∠C=30°，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形可以畫出兩個(gè)，也就是說滿足條件的三角形的形狀和大小是不確定的，由此可見，當(dāng)SSA中的角為銳角時(shí)，三角形不全等．(實(shí)物投影展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果)

教師：同學(xué)們，從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)看，這兩組同學(xué)說的都有道理，那么問題出在哪里呢?

這時(shí)，同學(xué)們陷入了沉思中，學(xué)生7猶豫著站起來了：這里的角都是銳角，我覺得好像跟兩條已知邊有關(guān)系，如果第二個(gè)題目(指學(xué)生6的題目)中的AB取5的話，那么又只能畫一個(gè)三角形了．

其他同學(xué)若有所悟，教師啟發(fā)：很有道理，同學(xué)們繼續(xù)觀察，全等的時(shí)候，兩條已知邊有什么關(guān)系?不全等的時(shí)候，又有什么關(guān)系?

學(xué)生7：我想應(yīng)該是若已知角所對(duì)的邊是兩條邊中較長(zhǎng)的那條邊時(shí)，那么兩個(gè)三角形全等；若已知角

所對(duì)的邊是兩條邊中較短的那條邊時(shí)，那么兩個(gè)三角：形不一定全等．

至此，通過教師的點(diǎn)撥和學(xué)生的積極參與，問題已經(jīng)得到了很好的解決，教師投影總結(jié)問題的各種情況，并歸納出直角的情形，其實(shí)是HL定理，指出關(guān)于定理的證明留到以后再完成，出示HL定理的應(yīng)用．

投影顯示：

沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個(gè)角的平分線嗎?

小紅的畫法：

如圖，用三角板畫角平分線的方法：

(1)利用三角板在∠AOB的兩邊上分別取OM=ON；

(2)分別過點(diǎn)M，N畫OM，ON的垂線，交點(diǎn)為P；

(3)畫射線OP．

則射線OP就是∠AOB的角平分線．

師生共同完成解答過程，最后總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)和方法．

三、課例分析

關(guān)于公式、定理、法則教學(xué)課，宜側(cè)重選用嘗試發(fā)現(xiàn)、自主探索方式、教學(xué)實(shí)驗(yàn)方式和多向合作交流方式．本節(jié)課從已有的判定三角形全等的條件入手，通過類比改變條件，嘗試發(fā)現(xiàn)的方式拋出問題，放手讓學(xué)生通過幾何實(shí)驗(yàn)(畫圖)的方法以及自主探索、多向合作的方式進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，從而得到問題的解決．

1．關(guān)于合作

這里的合作包括三方面的合作：師生合作、組內(nèi)合作、組間合作．在本節(jié)課中，教師是探究活動(dòng)的組織者，是探究材料和學(xué)習(xí)任務(wù)情境的提供者，是探究方法手段設(shè)計(jì)的幫助者．而且，教師對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行監(jiān)控，對(duì)學(xué)習(xí)中存在的問題提出建設(shè)性意見，指導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)探究學(xué)習(xí)．組內(nèi)合作與組間合作首先應(yīng)注意如何合理分組，筆者根據(jù)組內(nèi)人員異質(zhì)(即基礎(chǔ)水平有上、中、下三類)、組間同質(zhì)的原則，利用位置上的方便，采取前后兩桌四人一小組．

本節(jié)課通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)方式和多向合作交流方式的實(shí)施，使問題得到圓滿解決的同時(shí)，也使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的另一個(gè)側(cè)面，自覺領(lǐng)會(huì)和遵循社會(huì)人生存的規(guī)范和準(zhǔn)則，在發(fā)揮個(gè)體作用、經(jīng)受個(gè)體競(jìng)爭(zhēng)考驗(yàn)的同時(shí)，可啟迪學(xué)生善于與在人合作，使學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)得到激勵(lì)和培養(yǎng)．

2．關(guān)于探究性學(xué)習(xí)

在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，學(xué)生體驗(yàn)到的數(shù)學(xué)基本上是“數(shù)學(xué)成品”，學(xué)生很少有機(jī)會(huì)嘗試、實(shí)驗(yàn)或探究，找尋各種不同的問題答案．有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地模仿與記憶，學(xué)習(xí)不單是聽講，而且還應(yīng)研究、發(fā)現(xiàn)或?qū)嶒?yàn)．動(dòng)手實(shí)踐，自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式．在探究性學(xué)習(xí)模式中，教師呈現(xiàn)給學(xué)生的是一個(gè)或多個(gè)問題，或需要予以解決的疑難情境．教師對(duì)問題不給予直接的答案，學(xué)生根據(jù)問題有目的地動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、分析信息，同教師或其他同學(xué)進(jìn)行交流討論，最終解決問題．在這一過程中，教師的任務(wù)主要是給予學(xué)生適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，沒有教師的引導(dǎo)．學(xué)生會(huì)失去探究的方向．在大多數(shù)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往只能獨(dú)立解決部分難題，探究性學(xué)習(xí)也不是經(jīng)常獨(dú)立運(yùn)作的，需要小組內(nèi)部和外在的反饋，以幫助理解問題、理解對(duì)象的結(jié)構(gòu)．有些幫助有助于學(xué)生形成合理的認(rèn)知策略，保證學(xué)習(xí)的順利進(jìn)行．本節(jié)課，通過學(xué)生自主編寫三角形作圖題來研究三角形全等的判定條件，從方法論的高度給學(xué)生以啟發(fā)；同時(shí)，在幾何作圖的過程中，需要用到一些作圖原理，通過合作交流，彌補(bǔ)個(gè)別學(xué)生作圖知識(shí)的不足．

本節(jié)課，不僅通過組內(nèi)合作探究，而且通過組間互補(bǔ)，使問題得到圓滿地解決．