錢衛(wèi)江

幾何證明可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，在初中幾何教學(xué)中是一個難點.為提高幾何的解題能力需要讓學(xué)生學(xué)會聯(lián)想與推廣.學(xué)習(xí)幾何離不開解題，但要學(xué)好幾何離不開歸納、總結(jié).學(xué)生要善于歸納總結(jié)，題目解完了要勤于聯(lián)想，這樣才能真正學(xué)好幾何.下面結(jié)合實例，說明歸納、總結(jié)、聯(lián)想、推廣的方法.

例如圖1，從圓外一點P作切線PA，點B是PA上的中點，過點B作圓的割線BCD，連接PD交圓于點F，連接PC并延長，交圓于點E，求證：EF//PA．

分析：證明與圓有關(guān)的兩直線平行的問題，應(yīng)先考慮是否存在內(nèi)錯角、同位角相等，這是因為圓和三角形結(jié)合的圖形中，一般可通過弧、弦找到不少角之間的關(guān)系.由于題中相切與圖中線段直接相關(guān)，所以應(yīng)聯(lián)想到用“線”成比例去證明角相等.

證明：∵PA切圓于A，點B為AP的中點，

∴AB２=BC·BD，AB=BP．

∴BP２=BC·BD，即BC/BP=BP/BD．又∠BPD=∠PBC，

∴△BPC∽△BDP． ∴ ∠D=∠BPC．

∵∠D=∠E， ∴ ∠BPC=∠E． ∴ EF//PA.

數(shù)學(xué)大師波利亞有一句名言:“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”善于解題關(guān)鍵要懂得解題后的反思，這個題目解完后有下列問題可供我們反思.

（1）實際上，由BP２=BC·BD，通過這個形式很容易聯(lián)想得到PB與△PCD的外接圓相切，切點是P．由弦切角定理得，∠D=∠BPC．又因∠D=∠E，所以∠BPC=∠E．故EF//PA.這個證明方法更簡捷，但對條件的處理和認(rèn)識更深刻.

（2）據(jù)結(jié)果EF//PA，由夾在兩平行線間的弧相等可知，A點是弧FAE的中點.

（3）在圖中找與△PCB相似的三角形.通過相似可得很多相關(guān)的線段關(guān)系.

（4）嘗試對于一個命題的條件和結(jié)論互換是否仍然成立.若PA//EF，B是PA的中點嗎？根據(jù)上面的證明不難推出這個結(jié)論是成立的，于是引申出下列問題．

問題1如圖1，從圓外一點作切線PA，點B在PA上，過點B作圓的割線BCD，連接PD交圓于點F，連接PC并延長，交圓于點E，若EF//PA ，求證：PB=BA．

證明：∵PA切圓于A，點B為AP上的一點，

∴AB２=BC·BD． ∵ EF//PA， ∴ △BPC∽△BDP．

∴BP ２=BC·BD． ∴ PB=BA．

問題2 原題中過B點作割線BCD一定要按照如圖1嗎？這條割線是否可任意作呢？

回答是肯定的.那么就可引出下面幾種不同情形：如圖2、圖3．此時對原命題PA//EF同樣成立（請讀者自己完成）.

進行了上面的反思后，我們再作些聯(lián)想和推廣：將本例的題設(shè)作一些變更，可引出一些新的問題.

問題3 若將原題中的PB改成向圓外任意方向引線段時，可有如下命題：

如圖４，從圓外一點P作切線PA和割線PCE，又從點P向任意方向作線段PB，使PB=PA，連接CB、EB，分別交圓于點F、D.求證：FD//PB．

分析：與原題類似可證得△CPB∽△BPE，所以∠E=∠PBC．于是只需證明∠DFB=∠PBC，那么首先得證明∠E=∠DFB．（由C、F、D、E四點共圓即可得）

問題4若把問題1中PA切線去掉，把原來的一些條件加強，可得到如下命題：如圖5，已知DE為⊙O的直徑，A為⊙O上一點，延長EA至G，使AG=AE，AP⊥CD，垂足為P，PE交⊙O于C，CD交AP于B.求證:PB=BA.

分析：要證PB=BA，直接“線”相等的等量關(guān)系沒有，所以要找中間量轉(zhuǎn)化．由條件AP⊥CD，DE為直徑，可由射影定理得BP２=BC·BD，容易聯(lián)想到要證AB為切線，因此該命題實際就可轉(zhuǎn)化為問題1的證明了.

證明：連接OA．

∵AB是⊙O的直徑， ∴ CE⊥BD．

又∵AP⊥CD，由射影定理得：BP２=BC·BD．

∵A，O分別為GE，DE的中點， ∴ AO為為△GDE的中位線．

∴AO∥GD．∴ AO⊥AP．可知AP為⊙O切線.

則AB２=BC·BD．∴ AB２=BP２，即PB=BA．

小結(jié)：通過解題后的反思、聯(lián)想，把與之有關(guān)的知識、方法、技巧都聯(lián)系起來，可擴大和加強數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)，收到舉一反三的效果.通過拓展、推廣，從已知走向未知，進一步發(fā)現(xiàn)的往往是新的方法和技巧.希望讀者學(xué)習(xí)此例題后，能在以后幾何的學(xué)習(xí)中得到更多的收獲.