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      《證明(一)》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

      2008-08-26 11:26:16喻俊鵬
      關(guān)鍵詞:外角鈍角航向

      喻俊鵬

      一、重點難點

      1. 重點:平行線的判定和性質(zhì),三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)以及證明的基本步驟.

      2. 難點:三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)的靈活運用.

      二、知識精析

      1. 觀察、度量、猜測得到的結(jié)果未必是準(zhǔn)確的.要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,必須一步一步、有根有據(jù)地進行推理.要體會證明的必要性.

      2. 定義是對名稱和術(shù)語加以描述,作出的明確的規(guī)定.命題是判斷一件事情的句子.注意,表示判斷的句子都是命題,而不管判斷是否正確.沒有判斷的句子不是命題,如常見的疑問句、祈使句等.

      3. 每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成,條件是已知的事項,結(jié)論是由已知事項推斷出來的事項.一般地,命題都可以寫成“如果……那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.

      4. 正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題.真命題可以通過推理、證明的方法證實,假命題則可以通過舉反例來驗證.

      5. 證明的一般步驟:(1)理解題意;(2)根據(jù)題意畫出正確圖形;(3)根據(jù)題意寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明的思路;(5)依據(jù)尋求到的思路,運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查證明過程是否正確、完善.

      三、解題技巧

      例1 一艘輪船從A港出發(fā)沿北偏東65°方向航行,行駛至B處轉(zhuǎn)向北偏西25°方向繼續(xù)航行,若到達C處后需要把航向恢復(fù)到與出發(fā)時一致的航向,應(yīng)如何調(diào)整航向?

      解析:依題意可畫出航行示意圖(如圖1),其中箭頭表示正北方向. 因正北方向互相平行,故∠1=∠A=65°,從而∠CBM=65°+25°=90°.射線CN表示輪船在C處調(diào)整后的航行方向,所以CN∥AM,∠2=∠CBM=90°.

      輪船到C處時把原來的航向按順時針方向轉(zhuǎn)90°,就恢復(fù)到與出發(fā)時一致的航向了.

      評注:這是一道有關(guān)平行線與方位角的應(yīng)用題,關(guān)鍵是要能根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形.畫出圖后就很容易應(yīng)用平行線的性質(zhì)進行說明了.

      例2 如圖2,在△ABC中,∠ACB=90°,D、E在AB上,且AD=AC,BE=BC,求∠ECD的大?。?/p>

      解析:設(shè)∠ECD=x.因 AD=AC,故∠4=∠1+x.又BE=BC,所以∠3=∠2+x.因∠4=∠2+∠B,∠3=∠1+∠A,故∠1+x+∠2+x=∠2+∠B+∠1+∠A.即2x=∠A+∠B.又∠ACB=90°,得∠A+∠B=90°.所以 2x=∠A+∠B=90°, x=45°,即∠ECD=45°.

      評注:一般來說,在三角形中計算角時,三角形內(nèi)角和定理及其推論起著很重要的作用,有時還需要用到方程思想來拓展思維,簡化解題過程.

      四、易錯點直擊

      例3 如圖3,直線AB和CD分別與直線MN交于E、F兩點,EP和FQ分別平分∠MEB和∠EFD,AB∥CD.求證:EP∥FQ.

      錯證:∵ AB∥CD, ∴ ∠MEB=∠EFD.

      又∵ EP和FQ分別平分∠MEB和∠EFD,

      ∴ ∠1=∠MEB,∠2=∠EFD.

      ∴ ∠1=∠2,EP∥FQ.

      剖析:由∠1=∠2并不能得到EP∥FQ,因為∠1和∠2在圖中位置雖然“相同”,但它們并不是同位角.正確的方法是利用∠MEP=∠MEB,∠EFQ=∠EFD,得到∠MEP=∠EFQ,從而證明EP∥FQ.

      例4 若∠1和∠2的兩邊分別平行,且∠1=50°,則∠2=.

      錯解:答案為50°.

      剖析:錯誤的原因是只考慮到了圖4中兩角的位置情況而忽視了圖5中的位置情況.由兩圖可知∠1和∠2的關(guān)系是相等或互補.正確的答案應(yīng)該是50°或130°.類似地,當(dāng)∠1與∠2的兩邊分別垂直時,∠1與∠2的關(guān)系也是相等或互補,同學(xué)們可自己畫圖試試看.

      例5 如圖6,△ABC的外角平分線所在的直線圍成了△DEF,那么△DEF的形狀是().

      A. 銳角三角形B. 直角三角形

      C. 鈍角三角形D. 與△ABC的形狀一致

      錯解:答案為D.

      剖析:從表面上看,△DEF的形狀難以確定,應(yīng)該與△ABC的形狀一致,實際上卻并非如此.我們可作如下證明:

      因 AF、CF分別平分∠MAC和∠ACN,故 ∠FAC=∠MAC,∠FCA=∠ACN.又∠MAC=∠ABC+∠ACB,∠ACN=∠ABC+∠BAC,所以∠FAC+∠FCA=∠MAC+∠ACN=(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)=(∠ABC+180°),從而∠F=180°-(∠FAC+∠FCA)=90°-∠ABC.于是必有∠F < 90°.

      同理可證:∠E=90°-∠BAC, ∠D=90°-∠ACB.因此,不論△ABC是怎樣的三角形,△DEF總是銳角三角形.正確的答案是A.

      五、相關(guān)中考題鏈接

      1. (安徽)如圖7,直線a∥b,點B在直線b上,且AB⊥BC,∠1=55°,則∠2為().

      A. 35°B. 45°C. 55° D. 125°

      2. (北京)如圖8,AD∥BC,點E在BD的延長線上,若∠ADE=155°,則∠DBC為().

      A. 155°B. 50°C. 45° D. 25°

      3. (寧波市)如圖9,AB∥CD,∠B=23°,∠D=42°,則∠E=().

      A. 23°B. 42°C. 65° D. 19°

      4. (武漢市)如圖10,把一個長方形紙片ABCD沿EF折疊后,點D、C分別落在D′、C′的位置.若∠EFC=115°,則∠AED′為().

      A. 50°B. 55°C. 60° D. 65°

      5. (安徽)如圖11,AB∥CD,∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,則∠E∶∠F=().

      A. 2∶1B. 3∶1 C. 3∶2D. 4∶3

      6. (新疆)如圖12,△ABC中,∠A=80°.剪去∠A后,得到四邊形BCDE,則∠1+∠2=.

      7. (金華市)如圖13,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點,將△ADE沿DE向下折疊,得到圖14.下面關(guān)于圖14的四個結(jié)論中,不一定成立的是().

      A. 點A′落在BC邊的中點 B.∠B+∠C+∠1=180°

      C. △DBA′是等腰三角形 D. DE∥BC

      8. (哈爾濱市)過一個鈍角的頂點作這個角兩邊的垂線,若這兩條垂線的夾角為40°,則此鈍角為().

      A. 140° B. 160° C. 120° D. 110°

      9. (南充市)一個三角形的兩個內(nèi)角分別是55°和65°,這個三角形的外角不可能是().

      A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°

      10. (太原市)如圖15,已知AB∥CD,∠C=75°,∠A=25°,則∠E=.

      11. (貴陽市)如圖16,已知AB∥DE,∠ABC=60°,∠CDE=150°,則∠BCD=.

      12. (南寧市)如圖17,平面鏡AO與BO之間的夾角為120°,光線經(jīng)平面鏡AO反射后射到平面鏡BO上,再反射出去.若∠1=∠2,則∠1=.

      13. (天津)如上頁圖18,△ODC中,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠OCB=25°,則∠BED= .

      14. (江西)如圖19,圖中∠1+∠2+∠3+∠4=.

      15. (伊春市)如圖20,AB∥CD,∠B=120°,∠1=72°,則∠2=.

      16. (安徽)取一副三角板按圖21所示拼接.將三角板ABC繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角(0°<α≤45°),得到△ABC′.(1)當(dāng)α為何值時,能使得圖22中有AB∥DC?(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖23位置時,α又為多少?找出圖23中的相似三角形,并求其中一對的相似比.(3)連接BD(如圖24),當(dāng)0°<α≤45°時,探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的變化情況,并給出你的證明.

      相關(guān)中考題鏈接參考答案

      1. A2. D3. C4. A5. C6. 260°7. A8. A9. D10. 50°11. 30° 12. 30°13. 70°14. 360° 15. 48°16. (1)α=15°. (2)當(dāng)α=45°時可得到圖23.記DC與AC′、BC′分別交于E、F(如圖25),共有兩對相似三角形:△BFC∽△ADC,△C′FE∽△ADE.其中△BFC與△ADC的相似比為1∶(2+);△C′FE與△ADE的相似比為(-+1)∶.(3)∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值恒為105°(提示:易知五角星ABCC′D的5個“角”的和為180°,而∠C=30°,∠C′=45°).

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