相似解題真巧妙

張玖輝　孫莉紅

相似形及其性質(zhì)在初中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位．那么，利用相似究竟可以解決哪些問題呢？

一、證明兩條直線平行

例1 如圖1，已知A、C、E和B、F、D分別是∠O兩邊上的點，且AB∥DE，BC∥EF.求證：AF∥CD.

證明：∵ AB∥DE，

∴ △OAB∽△OED，=.

∵ BC∥EF，

∴ △OBC∽△OFE，=．

∴ OA·OD=OE·OB=OC·OF.

∴ =．

又因∠O為△OAF與△OCD的公共角，故△OAF∽△OCD，AF∥CD．

二、證明線段間關(guān)系

證形如+=1這類問題的解題思路，一般是利用：線段所分成的兩條線段與原線段的比的和為1.

例2 如圖2，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D．連接AD、BC，它們交于E.作EF⊥BD于F.求證：+=.

證明：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴ AB∥EF∥CD.

∴ =，=．

∴ +=+＝=1．

∴ 整理可得+=.

三、證明線段相等

此類問題證明的思路大致有四種：①由=1?a=b；②由=?a=c；③由=，b=d?a=c；④由=，a=c?b=d.

例3 如圖3，AD為△ABC的角平分線．BF垂直于直線AD，垂足為F．AM⊥AD于A，交BC的延長線于M．FC的延長線交AM于E，求證：AE=EM.

證明：延長BF，交AC的延長線于N，如圖4.

∵ AF⊥BF，AD是△ABC的角平分線，

∴ △ABF≌△ANF（ASA）.BF=FN．

易知BN∥AM，故△BCF∽△MCE，△CFN∽△CEA．

∴ =，=. 從而=.

因BF＝FN，故EM=AE．即AE＝EM．

四、證明兩直線垂直

例4 如圖5，M為正方形ABCD的邊AB上一點．BP⊥CM于P. N為BC上一點，且BM=BN.求證：PD⊥PN．

證明：因BP⊥CM，易證△MBP∽△BCP． 所以有=.

∵ BM=BN，BC=CD， ∴ =．

∵ ∠PBC+∠BCP=90°，∠DCP+∠BCP=90°，

∴ ∠PBC＝∠DCP，即∠PBN=∠DCP.

∴ △PBN∽△PCD.∠DPC=∠BPN．

∵ ∠BPN＋∠NPC=90°，∴ ∠DPC+∠NPC=90°.PD⊥PN.

五、證明角相等

例5 如圖6，四邊形ABCD中，對角線交于O點，若∠BAC=∠CDB，求證：∠DAC=∠CBD.

證明：∵ ∠BAC=∠CDB，∠AOB=∠DOC，

∴ △AOB∽△DOC.

∴ =．

又∵ ∠AOD=∠BOC,

∴ △AOD∽△BOC.從而∠DAC=∠CBD.

六、證明與線段平方比有關(guān)的問題

此類問題的證明思路一般有：①利用相似三角形面積的比；②若證=，只須證=，=，兩式相乘即可.

例6 如圖7，△ABC中，D為BC上一點，且∠DAC=∠B，求證：=．

證明：∵ ∠DAC=∠B，∠C=∠C，

∴ △CAD∽△CBA．

∴ =（相似三角形面積之比等于相似比的平方）．

又∵ =（等高的兩個三角形面積的比等于兩底的比），

∴ =．

七、解決實際問題

例7 有一塊直角三角形不銹鋼片ABC，如圖8，∠C=90°，AB=5 cm，BC=3 cm.試設(shè)計一種方案，用這塊不銹鋼片剪裁出面積最大的正方形不銹鋼片，并求出這個正方形不銹鋼片的邊長.

解：有如下兩種剪裁方案：①正方形一邊落在斜邊AB上.②正方形兩邊分別落在△ABC兩直角邊上.下面比較哪種方案剪裁出的正方形面積更大．

方案①：如圖9，設(shè)正方形為EFGH，其邊長為x cm.又設(shè)CD為AB邊上的高，CD交EH于點M.

由勾股定理得AC=4 cm.

∵ CD·AB=AC·BC=2S△ABC， ∴ CD= cm．

因EH∥AB，△CEH∽△CAB，故=，即=.解得x=.

方案②：如圖10，設(shè)正方形為CDEF，其邊長為y cm.易知AC＝4 cm．因EF∥AC，△BEF∽△BAC，

∴ =，=.解得y=.

∵ x=，y=，＞，

∴ 應(yīng)選方案②，這時正方形不銹鋼片的邊長為 cm.