降次思想在求值中的應(yīng)用

王安海

對于求某些高次代數(shù)式的值，我們一般是采取靈巧變形來求解，但此法太靈活，以致不好把握.這里介紹一種簡便易行的解法——降次法．

一、什么是降次式

形如x2=ax+b的式子稱為降次式，它可把高次式逐步轉(zhuǎn)化為一次式或常數(shù)，從而達到降次的目的.

二、怎樣得到降次式

方法1：移項.如由x2－5x+4=0移項，可得降次式x2=5x－4.

方法2：去分母.如由a－=-1，可知a≠0，兩邊同乘以a得a2－1=-a，再移項得降次式a2=-a+1.

方法3：平方去根號.如由x=，可得2x=+1.故2x-1=.兩邊平方，得4x2－4x+1=5.再整理得x2=x+1.

三、如何運用降次式

例1 若a2－3a+1=0，求的值.

解：由a2－3a+1=0，得a2=3a-1.

∴ a3=a2·a=（3a－1）·a=3a2－a=3（3a－1）－a=8a－3.

a6=（a3）2=（8a－3）2=64a2－48a+9=64（3a－1）－48a+9=144a－55.

∴ ===.

例2 已知x=，求2x4+3x3+2 007的值.

解：由x=，知2x+1=.兩邊平方、整理，得x2=1－x.

∴ x3=x2·x=（1－x）·x=x－x2=x－（1－x）=2x－1.

x4=x3·x=（2x－1）·x=2x2－x=2（1－x）－x=2－3x.

∴ 2x4＋3x3+2 007=2（2－3x）+3（2x－1）+2 007=2 008.

由此可見，用降次法求高次代數(shù)式的值遠比靈活變換求值要“實用”得多.根據(jù)所給條件得到降次式是解決此類問題的關(guān)鍵．此法新穎別致，應(yīng)用廣泛，望同學(xué)們細心體會.